 Úgy látom, hogy a probléma nem mozgatta meg senki fantáziáját, viszont nem szeretném, ha így félben maradna, ezért elmondok két megoldást, amelyek ugyan mindketten a teljes valószínűség tételén alapulnak, de mégis különbözőek.
1. megoldás:
Legyen \(\displaystyle A_m\) az az esemény, hogy az első \(\displaystyle k\) háremhölgy között a legszebb szépségindexe \(\displaystyle m\). Határozzuk meg ennek valószínűségét a klasszikus \(\displaystyle (\frac{kedvező~esetek~száma}{összes~esetek~száma})\) képlettel! \(\displaystyle m\) értékei nyilván \(\displaystyle k,k+1,...,n\) lehetnek.
Az összes esetek száma nyilván \(\displaystyle n!\)
A kedvező esetek számához a következőképpen jutunk:
1. az első \(\displaystyle k\) háremhölgy kiválasztását úgy kezdjük, hogy kiválasztjuk az \(\displaystyle m\) szépségindexűt, és választunk hozzá még \(\displaystyle k-1\)-et a kevésbé szépek közül. Ezek száma nyilván \(\displaystyle m-1\) tehát ezt a kiválasztást \(\displaystyle \binom{m-1}{k-1}\) féleképpen tehetjük meg.
2. az első \(\displaystyle k\) háremhölgyet \(\displaystyle k!\) féle sorrendben helyezhetjük el, míg a maradék \(\displaystyle n-k\) háremhölgyet \(\displaystyle (n-k)!\) féle sorrendben.
3. így a kedvező esetek száma: \(\displaystyle \binom{m-1}{k-1}k!(n-k)!\)
Ezek alapján \(\displaystyle A_m\) valószínűsége: \(\displaystyle P(A_m)=\frac{\binom{m-1}{k-1}k!(n-k)!}{n!}=\frac{\binom{m-1}{k-1}}{\binom{n}{k}}\).
Legyen \(\displaystyle B\) az az esemény, hogy Szindbádnak sikerül kiválasztania a legszebb háremhölgyet.
Ha az első \(\displaystyle k\) háremhölgy között a legszebb szépségindexe \(\displaystyle m\), akkor Szindbád abban az esetben tudja kiválasztani a legszebbet, ha az \(\displaystyle m\) szépségindexű háremhölgynél szebbek közül a legszebb jön először. Az \(\displaystyle m\) szépségindexű háremhölgynél szebbek száma \(\displaystyle n-m\) és mindegyikük egyenlő valószínűséggel jön elsőnek, így annak valószínűsége, hogy a legszebb jön először \(\displaystyle \frac{1}{n-m}\).
Így \(\displaystyle P(B|A_m)=\frac{1}{n-m}\), illetve \(\displaystyle 0\), ha \(\displaystyle m=n\) (hiszen Szindbád hoppon marad). A teljes valószínűség tétele alapján
\(\displaystyle P(B)=\sum_{m=k}^{n-1} \frac{1}{n-m}\frac{\binom{m-1}{k-1}}{\binom{n}{k}}=\frac{1}{\binom{n}{k}} \sum_{m=k}^{n-1} \frac{\binom{m-1}{k-1}}{n-m}\)
2. megoldás:
Legyen \(\displaystyle C_i\) az az esemény, hogy a legszebb hölgy \(\displaystyle i\)-ediknek érkezik. Nyilván ennek valószínűsége \(\displaystyle \frac{1}{n}\), hiszen minden helyen egyforma valószínűséggel érkezhet. Legyen \(\displaystyle B\) az az esemény, hogy Szindbádnak sikerül kiválasztania a legszebb háremhölgyet. Nézzük meg, mennyi a valószínűsége annak, hogy Szindbád a legszebbet választja, ha az \(\displaystyle i\)-ediknek érkezik, azaz keressük \(\displaystyle P(B|C_i)\) értékét!
1. Ha \(\displaystyle i\leq k\), akkor nyilván Szindbád nem tudja kiválasztani a legszebbet, hiszen az elment az orra előtt az első \(\displaystyle k\) között (hoppon marad), így \(\displaystyle P(B|C_i)=0\)
2. Ha \(\displaystyle i>k\), akkor Szindbád akkor választja a legszebbet, ha az előtte érkező \(\displaystyle i-1\) hölgy közül a legszebb benne van az első \(\displaystyle k\)-ban, tehát a lehetséges \(\displaystyle i-1\) azonos valószínűségű lehetőség közül \(\displaystyle k\) kedvező van. Így \(\displaystyle P(B|C_i)=\frac{k}{i-1}\).
Így a teljes valószínűség tétele alapján
\(\displaystyle P(B)=\sum_{i=k+1}^{n} \frac{k}{i-1}\frac{1}{n}=\frac{k}{n}\sum_{i=k+1}^{n}\frac{1}{i-1}\)
Következmények:
1. Ha mindkét megoldás hibátlan, akkor
\(\displaystyle \frac{1}{\binom{n}{k}} \sum_{m=k}^{n-1} \frac{\binom{m-1}{k-1}}{n-m}=\frac{k}{n}\sum_{i=k+1}^{n}\frac{1}{i-1}\)
ami a 2023-09-29-én közreadott Egy érdekes egyenlőség.
2. \(\displaystyle \int_k^n \frac{1}{x} dx < \sum_{i=k+1}^{n}\frac{1}{i-1}< \int_{k-1}^{n-1} \frac{1}{x} dx\), azaz \(\displaystyle \ln(\frac{n}{k}) < \sum_{i=k+1}^{n}\frac{1}{i-1}<\ln(\frac{n-1}{k-1})\), így \(\displaystyle \frac{k}{n}\ln(\frac{n}{k}) < \frac{k}{n}\sum_{i=k+1}^{n}\frac{1}{i-1}<\frac{k}{n}\ln(\frac{n-1}{k-1})\), ezért, ha \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}\ln(x)\) , akkor \(\displaystyle P(B)\approx f(\frac{n}{k})\). Mivel \(\displaystyle f(x)\) maximuma \(\displaystyle x=e\)-nél van, ezért Szindbád akkor választja ki legnagyobb eséllyel a legszebb hölgyet, ha \(\displaystyle \frac{n}{k}\approx e\). Mivel \(\displaystyle f(e)=\frac{1}{e}\), ezért \(\displaystyle P(B) < \frac{1}{e}\).
Az utolsó kérdésre a válasz megtalálása nem igényel újabb gondolatot, ezért csak leírom:
\(\displaystyle P(\xi = m)=\sum_{i=k+1}^{m} \frac{\binom{m-1}{i-1}}{\binom{n}{i}}\frac{1}{i}\frac{k}{i-1},\)
ha \(\displaystyle m=k+1, k+2, ..., n\) és
\(\displaystyle P(\xi = 0)=\frac{k}{n}\)
| 
