Fórum: Héttusa feladatok

Egyféle színezés van. A sarokkockáknak háromszínűeknek kell lenni. Ha nézzük azt a lapot, ahol a saroknégyzet piros, akkor a négyzetek színezésénél a kék és zöld felcserélhető, de ezzel nem kapunk újabb olyan kockát, amelynek 2*13 piros négyzete van.

A Törpe-kártyacsomag feladatra programot írtam, ami szerint (kb. 1 perces futás után) maximum 12 kártya választható ki a feltételeknek megfelelően. Az alábbi háromjegyű számokban az első számjegy a törpe sorszáma, a második a sapkáé, a harmadik az eszközé (pl. 254=2. törpe, 5. sapka, 4. eszköz): 111, 112, 113, 224, 234, 244, 254, 365, 465, 565, 665, 765. Az elv viszonylag egyszerűen látható: az első 3 képen ugyanaz a törpe és a sapka, a következő 4-en a törpe és az eszköz egyezik meg, a maradék 5-ön pedig a sapka és az eszköz; a különböző "blokkok" között semmi egyezés nincs. Még gondolkodom a matematikai magyarázaton, de szabad a pálya másoknak is... :)

A Héttusa versenyen ezt a feladatot szerettem volna feladni, csak nem tudtam megoldani.

A Törpe-kártyacsomag lapjain a hét törpe szerepel. Egy lapon egy törpét látunk, akinek a fején a sapka színe adott 6 szín közül valamelyik, és a törpe kezében valamilyen eszköz van (ásó, lapát, csákány, kalapács vagy lámpa). Mind a hét törpéről minden változatban készült egy-egy kártyalap, így a kártyacsomagnak \(\displaystyle 7\cdot 6 \cdot 5=210\) lapja van.

Legfeljebb hány lapot választhatunk közülük, ha a kiválasztottak között nincs két lap, melyek pontosan egy tulajdonságban egyeznek?

(A tulajdonságok: a törpe személye, sapkája színe, a kezében lévő eszköz.)

Az erinto29 feladat olyan megoldasai, amikor a 32 bástya egyetlen kört alkot, s nem 4 különállót a1,c2,e1,g2,h4,g6,f8,h7,g5,f7,h6,g4,h2,f1,g3,h5,g7,e8,c7,a6,b8,c6,a7,c8,b6,c4,b2,d1,c3,a2,c1,b3 a1,c2,a3,c4,b6,c8,a7,c6,b8,a6,c7,e6,f8,g6,h8,f7,h6,g8,f6,h5,g3,f1,h2,f3,g1,h3,f2,d1,c3,a2,c1,b3 a1,c2,a3,c4,b6,c8,a7,c6,b8,a6,c7,e8,f6,h7,f8,g6,h8,f7,h6,f5,g3,f1,h2,f3,g1,h3,f2,d1,c3,a2,c1,b3 a1,c2,a3,b1,c3,a4,b2,d3,f2,h3,g1,f3,h2,f1,g3,h5,g7,e8,c7,a6,b8,d7,f8,g6,e7,g8,h6,f7,d8,b7,a5,b3 a1,c2,a3,b1,c3,a4,b6,c8,a7,c6,b8,a6,c7,e6,f8,g6,h8,f7,h6,g8,f6,h5,g3,f1,h2,f3,g1,h3,f2,d3,c1,b3 a1,c2,a3,b1,c3,a4,b6,c8,a7,c6,b8,a6,c7,e8,f6,h7,f8,g6,h8,f7,h6,f5,g3,f1,h2,f3,g1,h3,f2,d3,c1,b3 a1,b3,c1,a2,c3,d1,b2,c4,b6,c8,a7,c6,b8,a6,c7,e8,g7,h5,g3,f1,h2,g4,h6,f7,g5,h7,f8,g6,h4,g2,e1,c2 a1,b3,c1,a2,c3,d1,f2,h3,g1,f3,h2,f1,g3,f5,h6,f7,h8,g6,f8,h7,f6,e8,c7,a6,b8,c6,a7,c8,b6,c4,a3,c2 a1,b3,c1,a2,c3,d1,f2,h3,g1,f3,h2,f1,g3,h5,f6,g8,h6,f7,h8,g6,f8,e6,c7,a6,b8,c6,a7,c8,b6,c4,a3,c2 a1,b3,c1,d3,f2,h3,g1,f3,h2,f1,g3,f5,h6,f7,h8,g6,f8,h7,f6,e8,c7,a6,b8,c6,a7,c8,b6,a4,c3,b1,a3,c2 a1,b3,c1,d3,f2,h3,g1,f3,h2,f1,g3,h5,f6,g8,h6,f7,h8,g6,f8,e6,c7,a6,b8,c6,a7,c8,b6,a4,c3,b1,a3,c2 a1,b3,a5,b7,d8,f7,h6,g8,e7,g6,f8,d7,b8,a6,c7,e8,g7,h5,g3,f1,h2,f3,g1,h3,f2,d3,b2,a4,c3,b1,a3,c2

https://github.com/tugyu/erinto33 helyen közzétettem a programot, ami a feladatnak megfelelő összes megoldást kikeresi kiszűrve a forgatással fedésbe hozhatók többszörös megjelenítését, de megtartva a tengelyes tükörképeket Ha csak a 25 megoldás képét szeretnéd látni https://github.com/tugyu/erinto33/blob/main/erinto33.jpg

A 2. kérdéshez egy másféle gondolatmenet arra, hogy 16-nál több nem lehetséges.

Tegyük fel, hogy sikerült legalább 17 bástyát elhelyezni a kért módon. Nevezzük középsőnek az olyan bástyát, amelynek a sorában (vagy oszlopában) van az általa ütés alatt tartott két bástya. Biztosan lesz olyan sor, amelyik legalább 3 bástyát tartalmaz. Válasszunk ki ebből a sorból egy középső bástyát. Ennek a bástyának az oszlopában nem lehet további bástya, hiszen akkor kettőnél többet tartana ütés alatt. Lesz egy olyan oszlop is, amelyik legalább 3 bástyát tartalmaz. Ennél is lesz középső bástya, amelynek sora rajta kívül más bástyát nem tartalmaz. Ha elhagyjuk az előbbi két középső bástyát az oszlopával illetve sorával együtt, akkor marad egy 7x7-es tábla, rajta legalább 15 bástyával, amelyek továbbra is pontosan két másikat kell, hogy ütés alatt tartsanak.

De most is található egy-egy sor és oszlop, amelyben legalább 3 bástya van. Az előző gondolatmenetet ismételve lennie kell 6x6-os táblának legalább 13, 5x5-ösnek legalább 11, 4x4-esnek legalább 9, 3x3-asnak legalább 7, 2x2-esnek legalább 5 bástyával. Ez utóbbi viszont biztosan lehetetlen. Ellentmondásra jutottunk, el kell vetnünk a feltevést, hogy van legalább 17 bástyát tartalmazó megfelelő elrendezés.

Danka Emma 2. kérdésére:

A kérdést csak úgy lehet érteni, hogy elhelyezés után tart minden bástya két másikat ütés alatt, ugyanis az első és második bástya lehelyezése közben azok nem üthetnek két másikat: nincs annyi bástya a táblán.

16 bástya biztosan elhelyezhető például úgy, hogy a bal felső sarokból induló első sorban és első oszlopban vannak bástyák, illetve a jobb alsó sarokban még egy. Vagy ha a főátló mentén \(\displaystyle 2\times 2\)-es elrendezésben vannak bástyák.

A bástyákat pontoknak és az ütéseket éleknek tekintve egy elhelyezés egy gráfot ad meg. Ebben a gráfban bármelyik pontból elindulva és éleken lépegetve körök alakulnak ki. Amennyiben 2 vagy több a körön egymást követő él egyenes vonalban csatlakozik egymáshoz, az kizárja az összes többi körből az azon az egyenesen levő pozíciókat, mint bástyaelhelyezési lehetőséget, és kizárja az összes olyan az egyenesre merőleges sort vagy oszlopot, ami nem szélső bástyá(k)hoz tartozik. Amennyiben 2 él derékszögben csatlakozik, az kizárja a derékszög csúcsánál lévő sort és oszlopot az összes többi körből. Ezeket összeszámolva az derül ki, hogy egy kör pontosan annyi sort és oszlopot zár ki más körökből, ahány bástya van a körön. Mivel összesen 8-8 sor és oszlop, ez alapján maximum 16 bástya helyezhető el.

5. forduló 6. feladata:

34. Pongrác, a kockafestő művész, egy kocka mindegyik lapját 49 darab egybevágó kis négyzetre osztotta, majd a kis négyzetek mindegyikét befestette pirosra, kékre vagy zöldre úgy, hogy ne legyenek azonos színű szomszédos négyzetek. (Két négyzet szomszédos, ha van közös oldala; és ez a két négyzet lehet a kocka két különböző oldallapján is.) Legkevesebb hány olyan négyzet van, amelyeket Pongrác pirosra festett?

Kérdés: hány ilyen szinezés lehetséges?

Az első kérdéshez egy elrendezés.

Már lejárt az 5. forduló beküldési határideje.

https://ematlap.hu/hettusa-2/1402-hettusa-5-fordulo-2024-junius

A feladatok felvetnek újabb kérdéseket, erre példa az 1. forduló 1. feladata (Van-e olyan szám, amelynek pontosan tíz pozitív osztója van a 20-nál nem nagyobb számok között?), amelyből Schweitzer-feladat lett.

Az 5. forduló első feladata:

29. Elhelyezhető-e 32 huszár a sakktáblán úgy, hogy mindegyik huszár pontosan két másikat tartson ütés alatt?

Dombi Péter megvizsgálta a kérdést úgy is, ha minden huszár pontosan 1 másikat támad.

Legyen ez az 1. kérdés: Elhelyezhető-e 32 huszár a sakktáblán úgy, hogy mindegyik huszár pontosan 1 másikat támad?

Danka Emma kérdése:

2. kérdés: Legfeljebb hány bástya helyezhető a sakktáblára úgy, hogy mindegyik bástya pontosan két másikat tartson ütés alatt?

A 29. feladatra igen a válasz, Makay Géza talált olyan elrendezést is, amely semmilyen szempontból sem szimmetrikus.

Javaslom, dobj be egy-egy konkrét feladatot, amit meg tudunk tárgyalni.

A Héttusa feladatmegoldó verseny 2023 júniusában indult az Érintőben (ematlap.hu).

A feladatokra sokféle szép megoldás érkezik, értékes megjegyzésekkel, általánosításokkal, háttérinformációkkal. Előkerülnek olyan kérdések, amiket érdemes megbeszélni.

Már az első forduló után látható volt, hogy hasznos lenne egy közös fórum, ahol beszélgethetünk a feladatokról (a beküldési határidő után).

Köszönjük a KöMaL-nak, hogy erre lehetőséget kaptunk.