Fórum: GEOMETRIA

A Surányi János emlékverseny 2. feladata alapján.

147. feladat: Érintse a k kör az AB egyenest az A pontban és legyen C a k egy A-tól különböző pontja, F az AB szakasz felezőpontja. Az FC messe még k-t az I pontban, az A-nak a BI-re eső merőleges vetülete D.

Bizonyítandó, hogy CF felezi a DFB szöget.

144.b feladathoz: Az ABC háromszögön belüli P pontokra a talpponti DEF háromszögben a megfelelő pontok hat különböző helyzetben lehetnek szabálytalan hegyesszögű háromszög esetén, lásd [1190] ábráját. A [1189]-ben vázolt szerkesztést elvégezve mind a hat pontra kapunk megoldást az ábra szerint.

a 144. feladattal kapcsolatban:

HoA nagy ötlete után példát mutatok az adott ABC háromszöghöz olyan P pont szerkesztésére, amelyhez adott QRS háromszöghöz hasonló talpháromszög tartozik:

Az ábra Q’PS’ szöge 180 fok-alfa, egyenlő a QP’S szöggel, így P’ számára adott vonal a QS szakasz 180 fok-alfa szögű látóköre. Hasonlóan pl. az RQ 180 fok-béta látóköre is, így P’ szerkeszthető.

A Pa pont SP’ távolságra van az AC-től és QP’-re az AB-től. P-nek az APa-n (és hasonlóan a BPb-n) kell lenni. …

Természetesen több megoldása lehet (van) a feladatnak. 144.b feladat: Adjuk meg a lehetséges megoldások számát!

Szia! - 2 hónap késéssel, de...

Látom, hogy már kaptál segítséget, de ha dobsz egy e-mailt, akkor tudok küldeni egy anyagot. Nem egészen elemi, de annak idején (tavaly vagy tavalyelőtt) a debreceni Fazekas Gimnázium matek önképzőkörén mondtam el, és értették, legalábbis úgy tettek:).

Az ABC belsejében fekvő P pontokhoz olyan DEF háromszög tartozik, melynek egy-egy oldala P-ből - ill. - szög alatt látszik. A 3. ábrán ezért a DEF háromszög oldalainak - (zöld) ill. - (kék) látószögű köríveit és azok metszéspontjait vizsgáljuk. A szimmetria kedvéért feltüntettük a - (lila) látószögű köríveket is, ezek természetesen áthaladnak ugyanazokon a metszéspontokon. A hat metszéspont közül az egyik DEF magasságpontja. Tudjuk, ez felel meg annak, ha P gyanánt ABC körülírt körének középpontját választjuk. Két másik metszéspont DEF első ill. második Brocard pontja (Könnyen belátható, hogy a Brocard pontokból két oldal látószöge - ill. -) . Kérdések: DEF Brocard pontjait választva a szerkesztés eredményeként kapott P ABC-nek is Brocard pontja lesz? Kapunk-e megfelelő P pontot a 3. ábra fennmaradó három látószög-körív metszéspontjából?

A második ábrán a H₂ DEF háromszög oldalainak a háromszög belseje felé eső (zöld) , (kék) ill. (lila) látószögű köríveit és azok metszéspontjait vizsgáljuk. Az R pont jó lenne az 1. ábra P pontjának, csak és sorrendje fordított. Ezért szerkesztésünk alapja a H₂ háromszög H₃ tükörképe. Legyen EDR szög = . Vegyük fel az 1. ábrán az AC szakasz C-n túli meghosszabbításán a D’ pontot. A D’-pontban AC-re emelt merőlegessel annak A-t tartalmazó oldalán szöget bezáró egyenes és AB metszéspontja E’ . A H₃ –hoz hasonló D’E’F’ H₄ háromszöget A-ból vetítsük úgy, hogy F’ F képe BC-re essen. Ekkor a H₄ ( = H₂ ) DEF háromszög megfelel, P az AC-re D-ben és az AB-re E-ben emelt merőlegesek metszéspontja. Kérdések: Kapunk-e így megoldást a szemközti, A csúcsú végtelen síktartományban? A 2. ábra (, ) látószögű Q pontja ad-e megoldást az 1. ábra AB szakaszának C-t nem tartalmazó oldalán lévő síktartományban ? Hát a C csúcsú végtelen síktartományban? A 2. ábrán DEF piros körülírt körének D-t nem tartalmazó EF ívén minden pontból a DEF háromszög egy-egy oldala ill. szög alatt látszik. Megfelenek-e ezek a pontok R szerepére?

Nevezzük a megfelelő P pont vetületei által meghatározott háromszöget P talpponti háromszögének. Mit állapíthatunk meg az adott ABC háromszög oldalegyenesei által hét tartományra osztott sík egyes részeiben a P-ből a talpponti háromszög csúcsaiba vezető szakaszok által bezárt szögekről? Az 1. ábráról leolvasható, hogy 2-2 tartományban ezek a szakaszok egymással nem egymás szögtartományába eső , szokásos szögmérési irányban mért ( ,) , ( , ) illetve ( , ) szögeket zárnak be. A háromszög belsejében a megfelelő szakaszok szöge pl. ( –,– )

A keresendő P pontok lehetséges helyzetét vizsgáljuk nem az ABC, hanem a talpponti, DEF háromszöghöz képest. Ezzel a keresett P pontok megszerkesztésének egy lehetséges útját is kijelöljük. Általános hegyesszögű ( 45, 60 75 fokos ) háromszöget választottam. ( Majd meg kell vizsgálni, hogy módosulnak az eredmények egyenlőszárú, egyenlőoldalú, derékszögű, tompaszögű, vagy akár más általános hegyesszögű háromszög esetében. ) Ha van megfelelő P pont az 1. ábra BC szakaszának A-t nem tartalmazó oldalán lévő síktartományban, akkor P-ből a DEF háromszög egy-egy oldala ill. szög alatt látszik, mégpedig úgy, hogy P DEF egy-egy oldalának ill. látószögű, a háromszög belseje felé eső körívén van. ( Mikor jöhetnek szóba a külső körívek? )

Köszönöm.

Itt egy új, a számozottak között 146. feladat:

A hegyesszögű APD AP, illetve PD oldalának tetszőleges pontja rendre B, illetve C. Az ABCD négyszög átlói a Q pontban metszik egymást. M₁, illetve M₂ rendre az APD, illetve a BPC magasságpontja. Az ABQ és CDQ háromszögek körülírt köreinek Q-tól különböző metszéspontja legyen X, a BCQ és ADQ háromszögekre ugyanígy kapott pont pedig legyen Y. Bizonyítsuk be, hogy: ha az M₁, M₂ és X pontok egy e egyenesre esnek, akkor Y e.

A 144. feladathoz: Az ábrán látható két olyan (a két kék ponthoz tartozó) az eredetihez hasonló "talpháromszög", melyekben az AB-nek megfelelő oldal az AB és az AC egyenest köti össze.

Az előző hozzászólás ábráján is két ilyen van, a zöld és a barna ponthoz tartozó. ...?

A 144. feladathoz: Az ábrán látható három, az eredetihez hasonló "talpháromszög".

A barna és a kék pont a háromszög Brocard-pontja. Azt nem nagyon nehéz bizonyítani, hogy a hozzájuk tartozó talpháromszögek megfelelnek a feladatnak, hogy ez a kettő egybevágó azt nehezebb.

A körülírt kör kp-jához tartozó középvonali háromszög is jó.

Az ábra zöld pontja is jó. ...?

Lenne egy kis gyakorlati problémám, úgy vélem ehhez a témához tartozik:

Adottak egy "majdnem derékszögű" háromszög a, b, c oldalai. Keressük meg a legjobban közelítő derékszögű háromszöget abban az értelemben, hogy

(a+a)²+(b+b)²=(c+c)²

teljesüljön, úgy, hogy a²+b²+c² minimális legyen.

Találtam egy olyan irodalmat, amelyik talán érthetően vezeti le a dolgot. A 60-61. oldalakon van a Téged érintő/érdeklő rész. Ott y,x₁,x₂ változókról beszél, ezek a Te példádban (sorrendben) z,x,y.

A mintafeladatodat megcsináltam ezeknek az egyenleteknek a segítségével (a 61. oldal tetején a három egyenlet - mint egyenletrendszer - megoldása), és Excelben is (LIN.ILL függvény). Az eredmények teljesen megegyeznek.

A regressziós sík egyenlete a kis példádra, 6 értékes jegyre:

z=0,744949x+27,6667y-5898,09

Írj mailt, megküldöm az Excel-táblát.

Microsoft Visio. Sajnos nem tudok ingyenes változatról :-(

Üdvözöllek!

Elolvastam a linkelt doksikat, és sok példát is találtam a neten, de valahogy nem akar kijönni...

Tudna valaki egy kis példán keresztül segíteni a "regressziós sík" kiszámításában az alábbi pontokra.

Előre is köszönöm.

Üdv. A következő kérdésre szeretnék választ kapni: Van-e olyan konvex 5, vagy attól többszög, aminek több mint 4 belső szöge 120°, vagy attól kisebb. Minden ötlet nagyon érdekel! Előre is köszönöm.

Helló, HoA!

A h.f.-ekhez szívesen használnék ilyen progit, amivel ez a rajz készült. Mi a neve? Köszi, előre is.

Hogy a pontok mennyire pontosan vannak egy körvonalon, az - szerintem - gyakorlatilag mindegy. Ami nem mindegy: hogy egy síkban vannak-e. Ha nincsenek, akkor regressziós síkot kell keresni. (Ellenkező esetben nyilván bármelyik 3 pont kifeszíti a keresett síkot.) Regressziós sík megtalálására az irodalomban (pl. itt) találsz több megközelítést is (kiemelés tőlem):

"... egy, a megadott pontokhoz leginkább simuló általános kiegyenlítő sík egyenletét határozza meg, úgy, hogy a pontok és a sík közötti z irányú távolságok négyzetösszegét minimalizálja ..."

vagy

"... a megadott pontokhoz legjobban simuló kiegyenlítő sík egyenletét számítja ki úgy, hogy a pontok és a sík közötti merőleges távolságok négyzetösszegét minimalizálja ..."

Amit még találtam hirtelen: A regressziószámítás gyakorlati kérdései

Ha a regressziós egyenes megkeresésének módját ismered (így van vajon?), nem sok gondod lesz a síkkal sem.

Üdvözlök Mindenkit!

Egy kis segítségre lenne szükségem.

Adott egy térbeli koordináta rendszer, és 600 pont (X,Y,X), amik megközelítőleg (nem pontosan) egy kör körvonalán helyezkednek el. A kör síkja nem párhuzamos az XY síkkal.

A pontok a koordináta rendszerben való ábrázolása a képen látható.

Hogyan lehetne ezekre a pontokra egy síkot illeszteni?

Minden segítséget nagyon szépen köszönök.

David20

david20x@gmail.com

145. feladat:

Legyen a P pont ABC -re vonatkozó Simson egyenese s. Mivel a Feuerbach kört M-ből kétszeresére nagyítva a k körülírt kört kapjuk, a feladat második, A₁B₁C₁ háromszöge ABC középponti háromszögének M-ből vett kétszeres nagyítása, vagyis ABC 180^o-os elforgatottja a körülírt kör O középpontja körül. Forgassuk el az ABC -et és P-t 180^o-kal O körül. ABC A₁B₁C₁-be, P pedig k átellenes P₁ pontjába kerül, s képe a vele párhuzamos s₁ egyenes lesz, s₁ így a P₁ pont A₁B₁C₁-re vonatkozó Simson egyenese . Ha most P₁-et O körül 180^o-kal elforgatva P-be visszük, A₁B₁C₁-re vonatkozó Simson egyenese [1170] (1) szerint 90^o-kal fordul el, új helyzete s₂ merőleges lesz s₁-re és így s-re is.

144. feladat: Adott háromszög esetén határozzuk meg azon pontok halmazát, melyeknek a három oldalegyenesre eső merőleges vetülete az eredetihez hasonló háromszöget határoz meg.

HoA szép megoldása - az (1) tétel ismerete - után már könnyebb a következő feladat!

143/2. feladat: Bizonyítandó, hogy egy nem derékszögű háromszögnek és a magasságpontja oldalfelezőpontokra vonatkozó tükörképei által kapott háromszögnek ugyanazon ponthoz tartozó Simson-egyenese merőleges egymásra!

Helyesbítek: GH az A pont DEF háromszögre vonatkozó Simson egyenese.

Azért nem várok egy hetet, mert az alábbi megoldás nem csak a középiskolai anyagra támaszkodik, kihasználja a Simson egyenesnek azt a tulajdonságát, hogy

a körülírt kör két , P és Q pontjához tartozó Simson egyenes szöge megegyezik a körülírt kör PQ ívéhez tartozó középponti szög felével. (1)

Ennek alapján elég az állítást a körülírt kör tetszőleges P pontjára belátni, hiszen P-t bármely más pontba mozgatva a két vizsgált háromszögre vonatkozó Simson egyenes ugyanazzal a szöggel fordul el, tehát megtartják merőlegességüket. Legyen az ABC háromszög magasságpontja M, az AM, BM, CM magasságoknak a körülírt körrel alkotott másik metszéspontjuk rendre D,E,F. ACF és EBA szögek egyenlőek, mert egy szögű derékszögű háromszög harmadik szögei. Ezért az AE és AF ívek egyenlőek, és a hozzájuk tartozó EDA és ADF kerületi szögek is. Legyen P = A. Ekkor az ABC háromszögre vonatkozó Simson egyenes az AD magasságvonal. A-ból ED-re és FD-re bocsátott merőleges talppontja G és H. ADG és ADH egybevágó derékszögű háromszögek, G és H egymás tükörképei AD-re, ezért GH, az A pont EFG háromszögre vonatkozó Simson egyenese merőleges AD-re.

Talán tud valaki közvetlen, az (1) tételt nem felhasználó megoldást.