Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: GEOMETRIA

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[1194] BohnerGéza2009-03-31 20:48:12

A Surányi János emlékverseny 2. feladata alapján.

147. feladat: Érintse a k kör az AB egyenest az A pontban és legyen C a k egy A-tól különböző pontja, F az AB szakasz felezőpontja. Az FC messe még k-t az I pontban, az A-nak a BI-re eső merőleges vetülete D.

Bizonyítandó, hogy CF felezi a DFB szöget.

[1193] HoA2009-03-28 14:32:44

144.b feladathoz: Az ABC háromszögön belüli P pontokra a talpponti DEF háromszögben a megfelelő pontok hat különböző helyzetben lehetnek szabálytalan hegyesszögű háromszög esetén, lásd [1190] ábráját. A [1189]-ben vázolt szerkesztést elvégezve mind a hat pontra kapunk megoldást az ábra szerint.

Előzmény: [1192] BohnerGéza, 2009-03-25 04:35:44
[1192] BohnerGéza2009-03-25 04:35:44

a 144. feladattal kapcsolatban:

HoA nagy ötlete után példát mutatok az adott ABC háromszöghöz olyan P pont szerkesztésére, amelyhez adott QRS háromszöghöz hasonló talpháromszög tartozik:

Az ábra Q’PS’ szöge 180 fok-alfa, egyenlő a QP’S szöggel, így P’ számára adott vonal a QS szakasz 180 fok-alfa szögű látóköre. Hasonlóan pl. az RQ 180 fok-béta látóköre is, így P’ szerkeszthető.

A Pa pont SP’ távolságra van az AC-től és QP’-re az AB-től. P-nek az APa-n (és hasonlóan a BPb-n) kell lenni. …

Természetesen több megoldása lehet (van) a feladatnak. 144.b feladat: Adjuk meg a lehetséges megoldások számát!

Előzmény: [1188] HoA, 2009-03-22 19:52:41
[1191] Maga Péter2009-03-22 22:33:02

Szia! - 2 hónap késéssel, de...

Látom, hogy már kaptál segítséget, de ha dobsz egy e-mailt, akkor tudok küldeni egy anyagot. Nem egészen elemi, de annak idején (tavaly vagy tavalyelőtt) a debreceni Fazekas Gimnázium matek önképzőkörén mondtam el, és értették, legalábbis úgy tettek:).

Előzmény: [1166] edu, 2009-01-23 09:22:12
[1190] HoA2009-03-22 20:09:30

Az ABC belsejében fekvő P pontokhoz olyan DEF háromszög tartozik, melynek egy-egy oldala P-ből \pi-\alpha ill. \pi-\beta szög alatt látszik. A 3. ábrán ezért a DEF háromszög oldalainak \pi-\alpha (zöld) ill. \pi-\beta (kék) látószögű köríveit és azok metszéspontjait vizsgáljuk. A szimmetria kedvéért feltüntettük a \pi-\gamma (lila) látószögű köríveket is, ezek természetesen áthaladnak ugyanazokon a metszéspontokon. A hat metszéspont közül az egyik DEF magasságpontja. Tudjuk, ez felel meg annak, ha P gyanánt ABC körülírt körének középpontját választjuk. Két másik metszéspont DEF első ill. második Brocard pontja (Könnyen belátható, hogy a Brocard pontokból két oldal látószöge \pi-\alpha ill. \pi-\beta) . Kérdések: DEF Brocard pontjait választva a szerkesztés eredményeként kapott P ABC-nek is Brocard pontja lesz? Kapunk-e megfelelő P pontot a 3. ábra fennmaradó három látószög-körív metszéspontjából?

Előzmény: [1186] BohnerGéza, 2009-03-19 19:55:52
[1189] HoA2009-03-22 20:04:53

A második ábrán a H2 DEF háromszög oldalainak a háromszög belseje felé eső \alpha (zöld) , \beta (kék) ill. \gamma (lila) látószögű köríveit és azok metszéspontjait vizsgáljuk. Az R pont jó lenne az 1. ábra P pontjának, csak \beta és \gamma sorrendje fordított. Ezért szerkesztésünk alapja a H2 háromszög H3 tükörképe. Legyen EDR szög = \delta. Vegyük fel az 1. ábrán az AC szakasz C-n túli meghosszabbításán a D’ pontot. A D’-pontban AC-re emelt merőlegessel annak A-t tartalmazó oldalán \delta szöget bezáró egyenes és AB metszéspontja E’ . A H3 –hoz hasonló D’E’F’ H4 háromszöget A-ból vetítsük úgy, hogy F’ F képe BC-re essen. Ekkor a H4 ( = H2 ) DEF háromszög megfelel, P az AC-re D-ben és az AB-re E-ben emelt merőlegesek metszéspontja. Kérdések: Kapunk-e így megoldást a szemközti, A csúcsú végtelen síktartományban? A 2. ábra (\alpha, \beta) látószögű Q pontja ad-e megoldást az 1. ábra AB szakaszának C-t nem tartalmazó oldalán lévő síktartományban ? Hát a C csúcsú végtelen síktartományban? A 2. ábrán DEF piros körülírt körének D-t nem tartalmazó EF ívén minden pontból a DEF háromszög egy-egy oldala \beta ill. \gamma szög alatt látszik. Megfelenek-e ezek a pontok R szerepére?

Előzmény: [1186] BohnerGéza, 2009-03-19 19:55:52
[1188] HoA2009-03-22 19:52:41

Nevezzük a megfelelő P pont vetületei által meghatározott háromszöget P talpponti háromszögének. Mit állapíthatunk meg az adott ABC háromszög oldalegyenesei által hét tartományra osztott sík egyes részeiben a P-ből a talpponti háromszög csúcsaiba vezető szakaszok által bezárt szögekről? Az 1. ábráról leolvasható, hogy 2-2 tartományban ezek a szakaszok egymással nem egymás szögtartományába eső , szokásos szögmérési irányban mért ( \alpha,\gamma) , ( \gamma,\beta ) illetve ( \beta,\alpha ) szögeket zárnak be. A háromszög belsejében a megfelelő szakaszok szöge pl. ( \pi\alpha,\pi\beta )

A keresendő P pontok lehetséges helyzetét vizsgáljuk nem az ABC, hanem a talpponti, DEF háromszöghöz képest. Ezzel a keresett P pontok megszerkesztésének egy lehetséges útját is kijelöljük. Általános hegyesszögű ( 45, 60 75 fokos ) háromszöget választottam. ( Majd meg kell vizsgálni, hogy módosulnak az eredmények egyenlőszárú, egyenlőoldalú, derékszögű, tompaszögű, vagy akár más általános hegyesszögű háromszög esetében. ) Ha van megfelelő P pont az 1. ábra BC szakaszának A-t nem tartalmazó oldalán lévő síktartományban, akkor P-ből a DEF háromszög egy-egy oldala \beta ill. \gamma szög alatt látszik, mégpedig úgy, hogy P DEF egy-egy oldalának \beta ill. \gamma látószögű, a háromszög belseje felé eső körívén van. ( Mikor jöhetnek szóba a külső körívek? )

Előzmény: [1186] BohnerGéza, 2009-03-19 19:55:52
[1187] fityfiritty2009-03-21 20:17:29

Köszönöm.

Itt egy új, a számozottak között 146. feladat:

A hegyesszögű APD\Delta AP, illetve PD oldalának tetszőleges pontja rendre B, illetve C. Az ABCD négyszög átlói a Q pontban metszik egymást. M1, illetve M2 rendre az APD\Delta, illetve a BPC\Delta magasságpontja. Az ABQ és CDQ háromszögek körülírt köreinek Q-tól különböző metszéspontja legyen X, a BCQ és ADQ háromszögekre ugyanígy kapott pont pedig legyen Y. Bizonyítsuk be, hogy: ha az M1, M2 és X pontok egy e egyenesre esnek, akkor Y \ine.

Előzmény: [1182] HoA, 2009-03-16 16:59:04
[1186] BohnerGéza2009-03-19 19:55:52

A 144. feladathoz: Az ábrán látható két olyan (a két kék ponthoz tartozó) az eredetihez hasonló "talpháromszög", melyekben az AB-nek megfelelő oldal az AB és az AC egyenest köti össze.

Az előző hozzászólás ábráján is két ilyen van, a zöld és a barna ponthoz tartozó. ...?

Előzmény: [1185] BohnerGéza, 2009-03-19 17:53:44
[1185] BohnerGéza2009-03-19 17:53:44

A 144. feladathoz: Az ábrán látható három, az eredetihez hasonló "talpháromszög".

A barna és a kék pont a háromszög Brocard-pontja. Azt nem nagyon nehéz bizonyítani, hogy a hozzájuk tartozó talpháromszögek megfelelnek a feladatnak, hogy ez a kettő egybevágó azt nehezebb.

A körülírt kör kp-jához tartozó középvonali háromszög is jó.

Az ábra zöld pontja is jó. ...?

Előzmény: [1173] BohnerGéza, 2009-02-16 20:08:53
[1184] HoA2009-03-18 12:06:30

Lenne egy kis gyakorlati problémám, úgy vélem ehhez a témához tartozik:

Adottak egy "majdnem derékszögű" háromszög a, b, c oldalai. Keressük meg a legjobban közelítő derékszögű háromszöget abban az értelemben, hogy

(a+\Deltaa)2+(b+\Deltab)2=(c+\Deltac)2

teljesüljön, úgy, hogy \Deltaa2+\Deltab2+\Deltac2 minimális legyen.

Előzmény: [1183] SmallPotato, 2009-03-17 22:57:39
[1183] SmallPotato2009-03-17 22:57:39

Találtam egy olyan irodalmat, amelyik talán érthetően vezeti le a dolgot. A 60-61. oldalakon van a Téged érintő/érdeklő rész. Ott y,x1,x2 változókról beszél, ezek a Te példádban (sorrendben) z,x,y.

A mintafeladatodat megcsináltam ezeknek az egyenleteknek a segítségével (a 61. oldal tetején a három egyenlet - mint egyenletrendszer - megoldása), és Excelben is (LIN.ILL függvény). Az eredmények teljesen megegyeznek.

A regressziós sík egyenlete a kis példádra, 6 értékes jegyre:

z=0,744949x+27,6667y-5898,09

Írj mailt, megküldöm az Excel-táblát.

Előzmény: [1181] david20, 2009-03-16 12:01:19
[1182] HoA2009-03-16 16:59:04

Microsoft Visio. Sajnos nem tudok ingyenes változatról :-(

Előzmény: [1178] fityfiritty, 2009-03-11 12:17:28
[1181] david202009-03-16 12:01:19

Üdvözöllek!

Elolvastam a linkelt doksikat, és sok példát is találtam a neten, de valahogy nem akar kijönni...

Tudna valaki egy kis példán keresztül segíteni a "regressziós sík" kiszámításában az alábbi pontokra.

Előre is köszönöm.

Előzmény: [1177] SmallPotato, 2009-03-11 01:09:43
[1180] lorantfy2009-03-15 10:47:04
Előzmény: [1154] farkasb, 2008-12-05 16:47:37
[1179] Gábor19052009-03-11 22:54:12

Üdv. A következő kérdésre szeretnék választ kapni: Van-e olyan konvex 5, vagy attól többszög, aminek több mint 4 belső szöge 120°, vagy attól kisebb. Minden ötlet nagyon érdekel! Előre is köszönöm.

[1178] fityfiritty2009-03-11 12:17:28

Helló, HoA!

A h.f.-ekhez szívesen használnék ilyen progit, amivel ez a rajz készült. Mi a neve? Köszi, előre is.

Előzmény: [1170] HoA, 2009-02-05 20:03:36
[1177] SmallPotato2009-03-11 01:09:43

Hogy a pontok mennyire pontosan vannak egy körvonalon, az - szerintem - gyakorlatilag mindegy. Ami nem mindegy: hogy egy síkban vannak-e. Ha nincsenek, akkor regressziós síkot kell keresni. (Ellenkező esetben nyilván bármelyik 3 pont kifeszíti a keresett síkot.) Regressziós sík megtalálására az irodalomban (pl. itt) találsz több megközelítést is (kiemelés tőlem):

"... egy, a megadott pontokhoz leginkább simuló általános kiegyenlítő sík egyenletét határozza meg, úgy, hogy a pontok és a sík közötti z irányú távolságok négyzetösszegét minimalizálja ..."

vagy

"... a megadott pontokhoz legjobban simuló kiegyenlítő sík egyenletét számítja ki úgy, hogy a pontok és a sík közötti merőleges távolságok négyzetösszegét minimalizálja ..."

Amit még találtam hirtelen: A regressziószámítás gyakorlati kérdései

Ha a regressziós egyenes megkeresésének módját ismered (így van vajon?), nem sok gondod lesz a síkkal sem.

Előzmény: [1176] david20, 2009-03-10 13:12:11
[1176] david202009-03-10 13:12:11

Üdvözlök Mindenkit!

Egy kis segítségre lenne szükségem.

Adott egy térbeli koordináta rendszer, és 600 pont (X,Y,X), amik megközelítőleg (nem pontosan) egy kör körvonalán helyezkednek el. A kör síkja nem párhuzamos az XY síkkal.

A pontok a koordináta rendszerben való ábrázolása a képen látható.

Hogyan lehetne ezekre a pontokra egy síkot illeszteni?

Minden segítséget nagyon szépen köszönök.

David20

david20x@gmail.com

[1175] BohnerGéza2009-03-07 22:11:08

145. feladat:

[1174] HoA2009-02-25 17:27:42

Legyen a P pont ABC \Delta -re vonatkozó Simson egyenese s. Mivel a Feuerbach kört M-ből kétszeresére nagyítva a k körülírt kört kapjuk, a feladat második, A1B1C1 háromszöge ABC középponti háromszögének M-ből vett kétszeres nagyítása, vagyis ABC 180o-os elforgatottja a körülírt kör O középpontja körül. Forgassuk el az ABC \Delta-et és P-t 180o-kal O körül. ABC \Delta A1B1C1\Delta-be, P pedig k átellenes P1 pontjába kerül, s képe a vele párhuzamos s1 egyenes lesz, s1 így a P1 pont A1B1C1\Delta-re vonatkozó Simson egyenese . Ha most P1-et O körül 180o-kal elforgatva P-be visszük, A1B1C1\Delta-re vonatkozó Simson egyenese [1170] (1) szerint 90o-kal fordul el, új helyzete s2 merőleges lesz s1-re és így s-re is.

Előzmény: [1172] BohnerGéza, 2009-02-05 23:48:17
[1173] BohnerGéza2009-02-16 20:08:53

144. feladat: Adott háromszög esetén határozzuk meg azon pontok halmazát, melyeknek a három oldalegyenesre eső merőleges vetülete az eredetihez hasonló háromszöget határoz meg.

[1172] BohnerGéza2009-02-05 23:48:17

HoA szép megoldása - az (1) tétel ismerete - után már könnyebb a következő feladat!

143/2. feladat: Bizonyítandó, hogy egy nem derékszögű háromszögnek és a magasságpontja oldalfelezőpontokra vonatkozó tükörképei által kapott háromszögnek ugyanazon ponthoz tartozó Simson-egyenese merőleges egymásra!

Előzmény: [1170] HoA, 2009-02-05 20:03:36
[1171] HoA2009-02-05 20:07:30

Helyesbítek: GH az A pont DEF háromszögre vonatkozó Simson egyenese.

Előzmény: [1170] HoA, 2009-02-05 20:03:36
[1170] HoA2009-02-05 20:03:36

Azért nem várok egy hetet, mert az alábbi megoldás nem csak a középiskolai anyagra támaszkodik, kihasználja a Simson egyenesnek azt a tulajdonságát, hogy

a körülírt kör két , P és Q pontjához tartozó Simson egyenes szöge megegyezik a körülírt kör PQ ívéhez tartozó középponti szög felével. (1)

Ennek alapján elég az állítást a körülírt kör tetszőleges P pontjára belátni, hiszen P-t bármely más pontba mozgatva a két vizsgált háromszögre vonatkozó Simson egyenes ugyanazzal a szöggel fordul el, tehát megtartják merőlegességüket. Legyen az ABC háromszög magasságpontja M, az AM, BM, CM magasságoknak a körülírt körrel alkotott másik metszéspontjuk rendre D,E,F. ACF és EBA szögek egyenlőek, mert egy \alpha szögű derékszögű háromszög harmadik szögei. Ezért az AE és AF ívek egyenlőek, és a hozzájuk tartozó EDA és ADF kerületi szögek is. Legyen P = A. Ekkor az ABC háromszögre vonatkozó Simson egyenes az AD magasságvonal. A-ból ED-re és FD-re bocsátott merőleges talppontja G és H. ADG és ADH egybevágó derékszögű háromszögek, G és H egymás tükörképei AD-re, ezért GH, az A pont EFG háromszögre vonatkozó Simson egyenese merőleges AD-re.

Talán tud valaki közvetlen, az (1) tételt nem felhasználó megoldást.

Előzmény: [1169] BohnerGéza, 2009-02-04 14:46:10

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]