Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: GEOMETRIA

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[1405] HoA2010-04-07 08:30:25

A feladattal kapcsolatban felteszek egy kérdést a "Valaki mondja meg" témához. Aki még gondolkodik a megoldáson, ne olvassa el!

Előzmény: [1404] m2mm, 2010-04-06 18:47:47
[1404] m2mm2010-04-06 18:47:47

Üdv!

Egy egységsugarú körbe írt szabályos n-szög egyik csúcsát összekötjük az összes többivel. Bizonyítsuk be, hogy e szakaszok hosszainak szorzata éppen n.

[1403] HoA2010-03-30 16:50:55

Két megjegyzés:

1) Jogos az észrevétel, a kitűzés így lett volna korrekt: Adott két szakasz, a és b , b>0 , 0\lea\leb ...

2) Vegyük észre, hogy a jobboldalt \phi függvényének q=f(\phi) tekintve az szimmetrikus a \phi=22,5o;q=1/2 pontra, vagyis f(45o-\phi)=1-f(\phi) , ami BohnerGéza megoldásában is tükröződik.

Ez és a nevezőben szereplő 1+tg(\phi) talán indokolják, hogy a kifejezést tg(\phi) és tg(45o-\phi) szerepeltetésével alakítsuk át.

 \frac{a}{b} = \frac{cos 2\phi}{1 + tg \phi} =  \frac{cos^2 \phi - sin^2 \phi}{1 + tg \phi} = \frac{1 - tg^2 \phi}{(1 + tg^2 \phi)(1 + tg \phi)} = \frac{1 - tg \phi}{1 + tg \phi} / \frac{1 + tg^2 \phi}{1 + tg \phi} = \frac{1 - tg \phi}{1 + tg \phi} / \frac{1 - tg \phi + tg \phi + tg^2 \phi}{1 + tg \phi} = \frac{1 - tg \phi}{1 + tg \phi} / \left( \frac{1 - tg \phi }{1 + tg \phi} + tg \phi\right)

, amiből a.tg\phi=(b-a).tg(45o-\phi) . Ennek alapján a szerkesztés: Vegyük fel a b hosszúságú AB szakaszt, A-ból B felé mérjük rá az a hosszúságú AT szakaszt. T-ben emeljünk m merőlegest AB-re, ennek T-től különböző pontja legyen C. Az ABC\Delta A-nál lévő szöge megfelel \phi-nek, ha a B-nél lévő szög 45o-\phi , vagyis ha C-nél 135o-os szög van. C tehát m és az AB szakasz 135o-os látószögű körívének metszéspontja.

Hogyan kapcsolódik a fenti átalakítás a B. 4244 feladathoz?

Előzmény: [1390] BohnerGéza, 2010-03-16 13:03:46
[1402] BohnerGéza2010-03-29 18:22:35

Egyelőre csak ennyit: írjunk 2fí helyett 90 fok - étát.

Előzmény: [1390] BohnerGéza, 2010-03-16 13:03:46
[1401] Hajba Károly2010-03-21 22:04:33

A könyvet a Typotex 2001-ben újra kiadta, de már elfogyott. Egy részét e-könyv formájában be lehet szerezni vagy antikváriumban kutakodni.

Ha küldtök címet, beszkennelem a feladatot és a megoldást.

[1400] Róbert Gida2010-03-21 17:58:54

A körös és a félsíkos példa a 40. Körre az optimális d, félsíkra (1+\sqrt 3 + \frac 76 \pi)d, ez utóbbi bizonyítás nélkül. (d a kör átmérője, illetve másiknál a félsík és a turista távolsága legfeljebb d).

Előzmény: [1398] HoA, 2010-03-21 09:36:06
[1399] Maga Péter2010-03-21 14:49:09

Mi egy példányt kölcsön tudunk adni. Írjál mailt, ha érdekel.

Előzmény: [1398] HoA, 2010-03-21 09:36:06
[1398] HoA2010-03-21 09:36:06

A téma iránt érdeklődőknek javaslok két magyar nyelvű anyagot:

Tóth Gábor: Bellman feladata KÖMAL 1982. 7. szám 53. oldal

és az ebben hivatkozott

Skljarszkij-Csenov-Jaglom: Válogatott feladatok és tételek ... 2/2 Geometriai egyenlőtlenségek ... 40. feladat

Remélem, a fórum olvasói számára hozzáférhetőek. ( Nekem a könyvet nem sikerült megszereznem, ha egy bemásolás erejéig valakitől kölcsönkaphatnám, megköszönném )

Előzmény: [1396] jonas, 2010-03-17 09:53:10
[1397] HoA2010-03-17 16:27:31

Igen, a probléma különböző alakú erdőkre ismert. Én azzal a változattal találkoztam először, ahol az erdő egy félsík és azt tudom, hogy a szélétől max. R méterre vagyok, de a határegyenes irányát nem tudom. Mi az a legrövidebb útvonal, amit követve ( tetszőleges kezdőirányban indulva ) biztosan kijutok az erdőből? Mint a hivatkozott cikk elejéből látható, a másik kivesézett eset a két, adott távolságú párhuzamos közötti erdősáv.

http://www.jstor.org/pss/4145038

Előzmény: [1396] jonas, 2010-03-17 09:53:10
[1396] jonas2010-03-17 09:53:10

Ezt nem értem. Ha az erdő kör alakú, akkor elég 2R hosszan egyenesen előre mennik, és kijutsz. Érdekesebb lenne, ha mondjuk az erdő egy félsík, és felteszed, hogy a kezdeti állapotban legfeljebb R mélységig vagy benne.

Előzmény: [1392] psbalint, 2010-03-16 22:51:13
[1395] psbalint2010-03-16 23:58:07

a körvonalon elindulás nekem nem jutott eszembe. ha jól számoltam, akkor a négyzetes esetre R(1+2gyök2), a szabályos háromszögesre pedig R(1+2gyök3) jön ki, szóval mindegyiknél jobb az R*pi. egyébként ez az R*pi csak egy (jó) ötlet, vagy bizonyított, hogy ez az optimális?

Előzmény: [1394] BohnerGéza, 2010-03-16 23:32:35
[1394] BohnerGéza2010-03-16 23:32:35

[1392]: Jó lett volna, ha támpontként a szükséges utat a felvetett esetekhez megadtad volna. Egy egyszerű tipp: helyünkön átmenő R sugarú körön elindulva R-szer pí út alatt biztosan kiérünk.

Előzmény: [1392] psbalint, 2010-03-16 22:51:13
[1393] BohnerGéza2010-03-16 23:10:57

Csak egy kép az [1391]-re:

Előzmény: [1391] psbalint, 2010-03-16 21:53:51
[1392] psbalint2010-03-16 22:51:13

meg még eszembe jutott valami, amit valószínűleg itt olvastam, de nem találom. adott egy R sugarú erdő, amiben el vagyunk veszve. milyen útvonalat járjunk be, hogy bárhol is vagyunk az erdőben, kijussunk belőle (a legrövidebb út)? valaki tudja, hol lett ez a feladat tárgyalva? vagy a megoldást? én most utánagondolva csak addig jutottam, hogy berajzoltam a körbe egy négyzetet meg egy szabályos háromszöget, melyeknek 3 ill. 2 csúcsát érintve (a középpontjukból indulva) egy-egy jó úthoz jutunk, ahogy látom, és amelyek közül a négyzetes tűnik rövidebbnek. ez lenne a jó megoldás? miért? miért nem? hilfe!

[1391] psbalint2010-03-16 21:53:51

Egy feladat, kérdés, vagy valaki mondjon rá valamit: Rajzoljunk egy lapra egy S betűt, de úgy, hogy szép függőleges legyen, és két félkörből tevődjön össze, melyeknek az átmérője legyen 1 egység. Kössük össze az S betű legmagasabban fekvő pontját a szimmetriaközéppontjával, és ennek a szakasznak a felezőpontja legyen F. Elkezd lefelé csúszni a szakasz az S betűn úgy, hogy a fölső végpontja szép lassan a szimmetriaközéppontba halad, míg a másik végpont is végig az S betűn marad (a hossza végig 1 egység) és végül eléri az S betű alját. Milyen utat jár be az F?

[1390] BohnerGéza2010-03-16 13:03:46
Előzmény: [1388] HoA, 2010-03-12 16:30:06
[1389] HoA2010-03-14 10:17:54

A "Majd tökölgetek milliméter-papírral és egy körzővel" mondatból arra következtetek, hogy barátunk nem abban tévedett, hogy a kör legtávolabbi pontja van 22 cm-re, hanem abban, hogy a húr hossza 395 cm. Nem hinném, hogy 4 méteres milliméterpapíron dolgozna. Ezért inkább azt hiszem, a húr csak 395 mm és akkor a legtávolabbi kör-pont lehet 22 cm = 220 mm-re, hiszen az több, mint 197,5 mm. Az általad leírt megoldás menete természetesen ekkor is helyes, csak a számszerű eredmények lesznek mások.

Előzmény: [1386] SmallPotato, 2010-03-07 23:37:22
[1388] HoA2010-03-12 16:30:06

Régen nem volt új feladat. Mit szólnátok ehhez, mint 164. feladathoz?

Adott két szakasz, a és b , 0\lea\leb . Szerkesszük meg azt a \phi szöget ( 0\le\phi\le45o ) , melyre

 \frac{a}{b} = \frac{cos 2\phi}{1 + tg \phi}

[1387] Tudorabb2010-03-08 03:23:07

Ez igen! Egy valóban kapkodó kérdésből kibogarászni a tényleges kérdést is tudást igényel. A 22 cm jelentőségét valamilyen oknál fogva figyelmen kívül hagytam, így az Attilát is félrevezettem, amit nagyon sajnálok. Válaszod tökéletesen érthető és nagyon köszönöm.

Üdv. Péter

Előzmény: [1386] SmallPotato, 2010-03-07 23:37:22
[1386] SmallPotato2010-03-07 23:37:22

Ha jól értelek, van egy kör, amelynek egy húrja 395 cm hosszú. Ez, mint Attila is írta, természetesen önmagában kevés a húrhoz tartozó középponti szög meghatározásához. (Ha belegondolsz, a kör átmérője lehetne épp 395 cm, ekkor a szög 180°, vagy mondjuk 2*395 cm, ekkor a szög 60° stb.)

Ha jól értelmezem a mondatodat, akkor a jelzett húr és a hozzá tartozó rövidebb körív felezőpontja közötti távolság 22 cm. Ekkor először kiszámíthatod a kör sugarát, abból szögfüggvénnyel a húrhoz tartozó középponti szöget és abból az ív hosszát. (Amit írsz, hogy a kör legtávolabbi pontja lenne 22 cm-re, az lehetetlen, hisz a legtávolabbi pont a kör középpontjának túloldalán van, de a kör sugara már önmagában minimum \frac {395} {2} = 197,5 cm kell hogy legyen.)

A húr felére, a húr felezőpontját a körközépponttal összekötő szakaszra és a húr végpontjából induló sugárra felírt Pitagorasz-tétellel (R-22)^2+\left(\frac {395}{2}\right)^2=R^2, ahonnan R=897,51 cm; innen a középponti szög 2arc sin \left(\frac{395}{2\cdot 897,51}\right)=25,424 fok, amivel az ív \frac{25,424}{360}\cdot 2\cdot 897,51\cdot\pi=399,53 cm.

Előzmény: [1385] Tudorabb, 2010-03-07 17:42:32
[1385] Tudorabb2010-03-07 17:42:32

Kedves Attila! Amennyiben az 1383-as kérdésre válaszoltál is köszönöm szépen a segíteni akarásodat. Majd tökölgetek milliméter-papírral és egy körzővel. Apropó. Ha ez még segítene. A két pontot összekötő egyenes és a kör legtávolabbi pontja közti távolság ca. 22cm.

Minden jót kívánok, Péter

[1384] jenei.attila2010-03-07 16:45:28

Ez túl kevés adat.

Előzmény: [1383] Tudorabb, 2010-03-07 16:09:52
[1383] Tudorabb2010-03-07 16:09:52

Üdvözöllek Benneteket! Harmincöt éve érettségiztem és a jelek szerint sokat felejtettem. Kérdéseiteket és az arra adott válaszokat olvasgatva arra következtettem, hogy a legjobb helyen járok - Nálatok. Kérdés: A körből kivágok egy cikket. A sugarak és a kör metszéspontjainak egy egyenessel összekötött távolsága adott.( 395 cm )Milyen hosszú az ív, ill. a sugár? A számításotok menete érdekelne.

Segítségeteket előre is köszönöm, Péter

[1382] HoA2010-02-27 23:06:29

Felhasználjuk, hogy ha P az ABC háromszög belsejében vagy AB oldalán ( P != A ) fekszik, akkor AP + PB < AC + CB . Legyen ugyanis az AP és BC egyenesek metszéspontja Q. Ez a BC oldal belső pontja vagy B maga. Ekkor AP + PB <= AP + PQ + QB = AQ + QB < AC + CQ + QB = AC + CB.

A feladat szerint az AC és DE húrok és ívek egyenlőek, így a hozzájuk tartozó középponti szögek is. Legyen a kör középpontja O, D tükörképe az AB átmérőre D'. D'OB\angle=DOB\angle>=DOE\angle=COA\angle Így O a CD'B háromszög belsejében vagy ( ha E = B ) CD' oldalán fekszik, a fentiek szerint tehát CB + DB = CB + BD' > CO + OD' = 1 + 1 = 2

- Vegyük észre, hogy EB nélkül is teljesül az egyenlőtlenség!

- Egyenlőséget abban az elfajuló esetben kapunk, ha C = A és D = E = B

Előzmény: [1375] m.atekoos, 2010-02-27 11:21:57
[1381] jonas2010-02-27 20:20:15

Van neki egyenlőtlenség változata nem húrnégyszögre.

Előzmény: [1379] D. Tamás, 2010-02-27 19:51:39

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]