Fórum: GEOMETRIA

Köszönöm a segítségedet HoA

Vázlat: Javaslom a párhuzamos szelők - egyik - tételének egy "megfordítását" : párhuzamosok közötti párhuzamos szakaszok egyenlőek --> párhuzamosok közötti egyenlő szakaszok vagy párhuzamosak vagy ugyanakkora szöget zárnak be a párhuzamosakkal. Ebből adódik, hogy az átlók felezik egymást, és mivel egyenlőek a hat csúcs az átlók metszéspontjától félátlónyi távolságra van, tehát egy körön vannak.

Sziasztok! A segítségeteket szeretném kérni az alábbi feladat megoldásában: Bizonyítsuk be,hogy egy hatszög szemben fekvő oldalai párhuzamosak és a szembenfekvő csúcsokat összekötő átlók egyenlőek egymással, akkor a hatszög csúcsai egy körön vannak. A hatszög nem biztos hogy szabályos hatszög.

Köszönöm szépen.

Szép ábra, köszönöm, hogy fölraktad.

Kedves Sirpi! Kérdésed, hogy "miért a szögfelezőkre?" teljesen jogos. A DEF háromszög (és a hasonló eljárással létrehozott GHI, JKL háromszögek is) mindig hasonló az ABC háromszöghöz, nem kell, hogy a B,C pontokból az A-ból szögfelezőre bocsássunk merőlegest, elegendő egy A-ból induló, és a szemközti oldalt metsző egyenes, sőt, akár a szemközti oldallal párhuzamos is lehet. A szögfelezős változat nyilván egyszerűbb, a hasonlóság arányát könnyebb fölírni.

Bocsánat, egy feltételt kihagytam a fölvetett feladatból. Az A pontbeli belső szögfelezőre a B és C pontokból bocsátunk merőlegest. Hiába, kezdő vagyok.

Ezután állítsunk merőlegeseket az A-ból induló belső szögfelezőkre ...

Melyik pontból (és miért szögfelezőkre?)

Üdvözlet mindenkinek! Új hozzászólóként szeretnék egy feladatot, illetve problémát fölvetni: Az ABC háromszög A csúcsából bocsássunk merőlegest a szemben levő oldalra, a merőleges talppontja legyen D. Ezután állítsunk merőlegeseket az A-ból induló belső szögfelezőkre, a talppontok itt E és F. Hasonlóképpen szerkesztjük meg a C és B pontokból kiindulva a GHI és JKL háromszögeket. Az könnyen igazolható, hogy DEF, GHI és JKL mindegyike hasonló az ABC háromszöghöz, de ezen háromszögek területének összege lehet-e pl. az ABC háromszög területével egyenlő, annak a fele stb., illetve mennyi a három terület összegének maximuma?

Na végre, azt hittem nem lesznek válaszok, de úgy látom, nem sok ember képzelőerejét mozgatta meg a felvetett kérdés.

Igen, ez lesz az. Találtam egy fényképet is a neten ennek a fizikai megvalósításáról:

Valami ilyesmi. A jégoldó spray teteje jégkaparóval.

Rajzoljátok vagy írjátok le azt a 3 dimenziós tárgyat, melyet különbözőképpen elforgatva és megvilágítva az ábrán látható árnyképeket produkálná.

Következzen inkább csak egy kis útmutatás, remélem, utána könnyebb lesz megoldanod a feladatot.

1. Legyen a szabályos n-szög középpontja O, két szomszédos csúcsa A és B. A szabályos n-szög helyett vizsgáljuk az ABO egyenlő szárú háromszöget. Ebben a háromszögben milyen adat R és milyen adat r? Ha ezt meggondoltad, akkor legyen F az AB szakasz felezőpontja, és vizsgáljuk (például) az AFO háromszöget. Ez a háromszög derékszögű (miért?), így bármelyik oldalát könnyedén kiszámíthatjuk szögfüggvények segítségével. Ha már látod, hogy az ABO háromszög milyen adatai R és r, akkor ennek a háromszögnek az oldalhosszai elvezetnek a R-re és r-re vonatkozó formulákhoz.

A terület kiszámításához is elég az ABO háromszög területét meghatároznod. (Hányszorosa ennek a szabályos n-szög területe?)

2. Az előző formulákba n=8-at kell behelyettesíteni. Ehhez pi/8 szögfüggvényeinek pontos értékére van szükséged. Ez egy nevezetes szög (45 fok) fele, ezért a félszögek szögfüggvényeire vonatkozó képletek (nézz utána!) alapján kaphatod meg a szükséges formulákat.

3. Itt szintén az 1. feladatban nyert képletekbe kell behelyettesíteni. A szögfüggvények pontos értékei csak n=5 és n=10 esetén nem annyira ismertek. Ezek közül nyilván elég az egyiket kiszámítani. (A másik a kétszeres szögre vagy félszögre vonatkozó képletek alapján adódik.) n=10 esetén például a 18 fokos szög szögfüggvényeire lesz szükség. Az erre vonatkozó számításokhoz segítség: annak az egyenlő szárú háromszögnek, amelynek alapon nyugvó szögei 72 fokosak, az alapja és a szára az aranymetszés szerint aránylik egymáshoz, azaz arányuk (gyök(5)-1)/2.

Innen ilyenekért nem fognak kitiltani (feltéve, hogy nem valamely aktív KöMaL-feladathoz kapcsolódik a kérdésed:)), tudunk ,,ilyesmiről'' beszélgetni.

A feladatokat nem lövöm le. Nem tudom, hogy van-e egyáltalán olyan látogatója a fórumnak, aki még életében nem gondolta meg az ismertetett formulákat...

Javaslom az oldalon található TeX tanfolyam elvégzését, már ezeket a bevezető képleteket is kellemetlen ebben a formában olvasni.

Sziasztok! Ahányszor csak kérdezek, vagy nicket regisztrálok az index fórumon, annyiszor kitörlik kérdésemet és kitiltanak. Most a matematika-elsősegély topikból tiltottak ki az alábbi kérdések miatt.

1. Bizonyítsuk be, hogy az a oldalhosszúságú szabályos n szög köré írt kör sugara R=a/(2sin(pi/n)), beírt kör sugara r=a/2tg(pi/n) terülte S=nar/2 2. Mutassuk meg 1. felhasználásával, hogy a szabályos nyolcszögre R=agyök(1+(gyök2)/2), r=a(1+gyök(2))/2, S=2a**2(1+gyök(2)) 3. Töltse ki az alábbi táblázatot: n, R,r,S, ahol n =3,4,5,6,10 (A fenti alakhoz hasonlóan adja meg a formulákat!)

Tudunk itt ilyesmiről beszélgetni?

jogos...de legalább tesztelve lett az egyenlet :-)

és még az sem kell hozzá, ugyanis látható az egyenletből, hogy kisebb távolsághoz nagyobb szög tartozik, emiatt a legkisebb x-hez legalább 60 fokos szög tartozik.

Az 60^o feltétel két okból sem lehet a diszkusszió része. Egyrészt, mert a diszkusszió csak a kezdetben adott x,y,z mennyiségeket tartalmazhatja. Másrészt mert felesleges feltétel, ugyanis az xy és xz feltételből egyszerű számolással adódik, hogy az f(t) függvényre , azaz 60^o

Azért írjuk le, hogy 60°. (Diszkusszió.)

Rendben, így már meggyőztél.

Köszönöm Neked, Péternek és Róbert Gidának is. Üdv: gubanc

A 2)-höz: Így egyszerűbb volt a számítás, mert meg lehetett spórolni a 4R-es szorzó többszöri leírását.

Köszönöm a részletes "helyretételt". A dorgálást megérdemlem, hiszen egy félreértés miatt árnyékra vetődtem és előbb írtam, mint gondolkoztam. Több tanulság van, az egyik, hogy késő éjszaka, hullafáradtan nem szabad matekoznom ... .

Nem állt szándékomban megbántani, főleg nem Téged, hiszen korábban és most is nagy élvezettel olvastam, olvasom frappáns levezetéseidet, megoldásaidat. Elnézést, ha megbántottalak volna. Üdv: gubanc

Az "álbizonyítás" megjegyzésed kissé erős...De ettől függetlenül:

1). Idézet tőlem: "nálam minden x,y,z távolságra van megoldás ( az más kérdés, hogy ez szerkeszthető-e)"

Ezzel azt a félrértést szeretném eloszlatni, hogy én csak a megoldhatóságot ( diszkussziót ) vizsgáltam, nem a geometriai szerkeszthőséget.

2.) Az eredeti feladat szerint: Szerkesszük meg a háromszöget, ha adottak a beírt kör középpontjának a csúcsoktól mért távolságai.

Nem értem, minek kell feltenni, hogy R=1/4. Adott három független adat, szerkesszük meg a háromszöget ( felejtsd most el a hasonlóságot)

3.) "A (*) tartományon kívül eső szögek nem adnak megoldást."

Ez értelmetlen, mert a (*) tartományba nem szögek, hanem szakaszok hosszai esnek.

4.)"A leírtak következménye: az általad előállított f függvény a t = 0 helyen nincs értelmezve, hiszen > 0 egyben > 0-t is jelenti"

Már dehogy nincs értelmezve a t=0 és t=1 helyen, félreértésben vagy. Az, hogy megoldásként csak 0 és 1 közti megoldást fogadunk el, attól még a függvény értelmezve van a végpontokban és a Bolzano-tétel is használható rá. ( Így keletkeznek a "Híres álcáfolatok" ).

Fordítva gondolkozzál, a Bolzano-tétel csak egy eszköz. Az egyenletrendszer megoldásából adódik, hogy ha ennek a függvénynek van (0;1)-beli zéróhelye, akkor az megadja értékét. A Bolzano-tétel ( vagy általában az, hogy zárt intervallumon folytonos függvény tetszőleges két felvett értéke közti értéket is felvesz) csak biztosítja a gyök létezését. A 0 sugarú körrel való "bűvészkedés" helyett pedig tekintsd az f függvényt az [;1-] intervallumon, ahol olyan kicsi pozitív szám, hogy f()<0 és f(1-)>0 és egyből megszűnnek az értelmezésbel gondjaid.

5.) "Egyébként jó, hogy ez a probléma is felmerült, mert roppant tanulságosnak tartom"

Akkor tanulj belőle.

"Azt mondod, hogy ha egy racionális együtthatós harmadfokú egyenletnek nincs racionális gyöke, akkor a gyökei nem szerkeszthetőek?"

Igen.

Arra, hogy egy szám nem szerkeszthető, elégséges feltételt ad az, hogy a minimálpolinomjának a foka nem kettőhatvány. Márpedig azok a rac. együtthatós harmadfokú polinomok, amiknek nincs rac. gyökük, irreducibilisek.