Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: GEOMETRIA

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[1785] Sinobi2013-12-19 20:06:34

Úgy gondolom, hogy egyszerűbb így. Jobb szeretem, ha egy feladatban egyáltalán nem kell felírni képletet, egyenletet, ilyesmit.

Egyébként azt hiszem, se a a négy ponton átmenő kúpszeletek középpontjánál, se a négy egyenesen átmenő kúpszeletek középpontjánál (ez utóbbi lényegesen egyszerűbb) nem kell felírni egy darab egyenletet se, ki lehet geometriázni mindkettőt, de teljes (leírt) megoldásom még nincs.

Más feladat: adott egy parabola (fókuszával, vezéregyenesével) és három pontja. Szerkeszd meg a három ponton átmenő körrel vett negyedik metszéspontját!

Hasonlóan: adott egy hiperbola/ellipszis fókuszaival és három pontjával, szerkeszd meg a három ponton átmenő körrel vett negyedik metszéspontját. Adott két tetszőleges kúpszelet három metszésponttal, szerkeszd meg a negyedik metszéspontjukat.

Előzmény: [1784] HoA, 2013-12-14 07:30:16
[1784] HoA2013-12-14 07:30:16

A "pontosan két parabolához" nem kell a húrnégyszög. Ahhoz elég a párhuamos oldalakkal nem rendelkező konvex négyszög. A húrnégyszög a merőleges tengelyű parabolákhoz kell.

Előzmény: [1782] Sinobi, 2013-12-13 21:01:40
[1783] jonas2013-12-14 00:09:57

Ez jól hangzik, átgondolom.

Előzmény: [1782] Sinobi, 2013-12-13 21:01:40
[1782] Sinobi2013-12-13 21:01:40

Az úgy volt, hogy egy konvex négy pont húrnégyszögbe affinítható (az affinitás parabola, és parabolaszámtartó), és ha már húrnégyszög, akkor pontosan két parabola megy rajta keresztül. Az irányuk az négyszög átlóinak szögfelezőinek irányai. Ez elég elemi módszerekkel kijön.

Előzmény: [1777] jonas, 2013-12-13 12:35:46
[1781] HoA2013-12-13 17:18:07

Megtaláltam. Projektív geometria [59] és környéke.

Előzmény: [1778] HoA, 2013-12-13 12:53:34
[1780] jonas2013-12-13 15:25:34

Igen, az én megfogalmazásom is pontatlan. Az állítás csak úgy teljesül, ha a feladatban a párhuzamos egyenespárokat is elfajult parabolának számítod.

Előzmény: [1778] HoA, 2013-12-13 12:53:34
[1779] Cogito2013-12-13 15:21:26

...hha

:-)

Előzmény: [1778] HoA, 2013-12-13 12:53:34
[1778] HoA2013-12-13 12:53:34

Úgy emlékszem ez nemrég volt itt a fórumon. Még azt is beláttuk, hogy a négyszög húrnégyszög iff a parabolák tengelye merőleges egymásra. ( A megfogalmazás így egy kicsit pontatlan. Négyzetre például már csak szimmetria okokból sem valószínű. )

Előzmény: [1777] jonas, 2013-12-13 12:35:46
[1777] jonas2013-12-13 12:35:46

Ha már itt tartunk, be tudjátok ezt látni? Én nem tudok rá bizonyítást, de szeretnék rá hallani.

Adott a síkon négy pont, amelyek egy konvex négyszög csúcsai. Lássuk be, hogy pontosan két parabola megy át rajtuk.

Előzmény: [1776] Sinobi, 2013-12-11 18:15:18
[1776] Sinobi2013-12-11 18:15:18

Adott a síkon négy pont. Tekintsük az összes kúpszeletet, amelyek áthaladnak ezen a négy ponton. Mi az ilyen tulajdonságú kúpszeletek középpontjának mértani helye?

Adott a síkon négy egyenes. Tekintsük az összes kúpszeletet, amelyek érintik ezt a négy egyenest. Mi az ilyen tulajdonságú kúpszeletek középpontjának mértani helye?

Előzmény: [1749] Sinobi, 2013-10-30 20:58:07
[1775] Sinobi2013-11-28 21:28:47

Mivel A'B'C< + CB'C'< = 60 fok, ezért A'B'C'< kisebb kell legyen 60 foknál... Én is ezzel a remek ellenbizonyítással kaptam a feladatot.

Annyit tennék még hozzá, hogy a szemlélet szerint A'B', B'C', C'D' és D'A' szakaszok ugyanakkorák, de a szemlélet nem indokolja hogy A'C' és B'D' is ugyanakkora legyen velük, szögekről meg pláne nem mond semmit.

Na de mekkorák a szögei?

Előzmény: [1774] HoA, 2013-11-28 13:29:02
[1774] HoA2013-11-28 13:29:02

Miért ne lenne A'B'C'D' is szabályos? Az A'BB' stb háromszögek egybevágók, 1 és 2 hosszú oldalaik 120 fokos szöget zárnak be.

Előzmény: [1773] Sinobi, 2013-11-28 08:04:56
[1773] Sinobi2013-11-28 08:04:56

ABCD egy egységnyi oldlélű szabályos tetraéder. Legyen A' az A pont B-re vonatkozó tükörképe, B' a B pont C-re vonatkozó tükörképe, s.í.t. ciklikusan!

Határozzuk meg az így kapott A'B'C'D' tetraéder élszögeit.

[1772] Kardos2013-11-26 18:22:59

Köszönöm!

Tényleg szuper volt és érdekes :)

Előzmény: [1770] w, 2013-11-24 00:00:56
[1771] w2013-11-24 11:59:46

B.4562-re egy érdekes megközelítés:

Tekintsük azt az E középpontú 90 fokos \phi forgatva nyújtást, amire \phi(A)=C. Legyen az ACE_\Delta képe a CXE_\Delta! Ekkor X olyan pont, melyre AC és CX merőleges egymásra (hisz a forgatás szöge 90 fokos), továbbá AEX\angle=AEC\angle+90o=180o. Vagyis X rajta van a BC és AE egyenesen is, emiatt X=B és így \phi(C)=B. Tehát az AC egyenes képe a BC egyenes, amiért F képe, Y, a BC egyenesen van. Mivel viszont a BC egyenes D és Y pontjára is igaz, hogy FED\angle=90o=FEY\angle, ezért D=Y kell legyen. Ha pedig F az ACE kör középpontja, akkor D középpontja lesz a \phi(ACE)=CBE körnek. Tehát BDE_\Delta egyenlő szárú lesz.

[1770] w2013-11-24 00:00:56

1. A megoldás \binom n 4, mert az AC és BD átló pontosan akkor metszi egymást, ha ABCD négyszög konvex (lehetne konkáv és hurkolt is), és annyi konvex négyszög van, amennyiféle csúcsnégyes választható ki.

2. A mértani hely egy szakasz, két parabolaív és egy negyedkörív. Ennek belátása egészen triviális, rád hagyom.

Előzmény: [1767] Kardos, 2013-11-21 18:24:23
[1769] Kardos2013-11-23 19:27:29

Ohh de jó tényleg, az így ment, a másikra valami ötlet? :)

Előzmény: [1768] Sinobi, 2013-11-23 12:39:35
[1768] Sinobi2013-11-23 12:39:35

Definiáld a térbeli inverzió esetén a szögtartóságot, és bizonyítsd be!

[1767] Kardos2013-11-21 18:24:23

Hát ezt még mindig nem látom át, de majd gondolkodom rajta

Előzmény: [1766] w, 2013-11-21 18:08:36
[1766] w2013-11-21 18:08:36

Az 1. feladatra segítség: vegyél tetszőleges két átlót: AC-t és BD-t, majd nézd meg az ABCD négyszöget. ;-)

A 2. feladatban a két félegyenes legyen az x-tengely és az y-tengely nemnegatív része. A mértani helyet egyenként keresd meg a négy síknegyedben.

Előzmény: [1765] Kardos, 2013-11-21 17:10:08
[1765] Kardos2013-11-21 17:10:08

Hali mindenkinek! Valaki tudna ezekben segíteni!?

1) Adott egy konvex n szög. Hány olyan átlópárja van, amelyek a sokszög belsejében metszik egymást.

2) Adott két közös kezdőpontú egymásra merőleges két félegyenes. Mi azon pontok mértani helye a síkban, amelyeknek a két félegyenestől mért távolságának összege állandó?

[1764] Sinobi2013-11-19 19:04:49

szerk: a hatványvonalból az új sík ideális egyenese lesz

Előzmény: [1763] Sinobi, 2013-11-19 19:03:04
[1763] Sinobi2013-11-19 19:03:04

Ez nagyon tetszik! Bár nem sokban különbözik a másik megoldástól, mégis, talán valamivel erősebb eszközt használ.

,,van olyan térbeli inverzió, ami a k0 és u köröket párhuzamos (síkú) körökbe viszi."

Ezt talán érdemes belátni. Kérdés2: és mi igaz, ha a körök egymáson kívülre esnek? Mindegy.

Nagyrészt erre a módszerre építve álljon itt egy bizonyítás(?) az általánosított kis-Monge lemmára:

Ha adott k1, k2 körök (egymáson kívül) és egy k3 kör, amely ugyanakkora szögben metszi k1-t és k2-t, akkor az S1 S2 S3 S4 metszéspontokat összekötő egyenesek a k1 k2 körök (külső) has. pontjában (H-ban) fogják egymást metszeni.

Felveszem k4 és k5 köröket, hogy mindketten (belülről) érintsék k1 k2 köröket, és tartalmazzák k3-t. Azt fogom belátni, hogy S1 S4 x S2 S3 egyenesek S metszéspontja k3 k4 körök hatványvonalán fekszik. Ugyanígy k3 k5 körök hatványvonalán is, tehát k4 k5 körök hatványvonalán is, de k4 k5 körök hatványvonala k5 kör változtatásával változik, az egyetlen fixpontjai k1 k2 H has pontja (ez k1 k2-t érintő körökre már beláttatott) és S, amelyek következésképpen egybeesnek. (talán érdemes lett volna felvenni egy k6 kört...)

Alkalmazok egy térbeli inverziót, hogy k3 és k4 egy síkba kerüljenek, ekkor k1 és k2 ugyanakkora szögben metszik k3-t, és k4-t érintik, tehát ugyanakkorák, tehát S1 S2 S3 S4 egy húrtrapéz. Tehát S1S4 phuzamos S2S3 egyenessel. Az is igaz, hogy egy ilyen inverziónál k3 k4 hatványvonalából lesz a végtelen távoli egyenes (ezt is érdemes meggondolni), tehát S rajta van k3 k4 hatványvonalán.

Persze ez így hosszú, és bonyolult, és még hosszabb, ha kifejtem azokat, amikre épít. Most nem jut hirtelen más az eszembe, ahol alkalmazhatok egy részint szögtartó, részint ideális egyenessel operáló transzformációt, de ötleteket szívesen fogadok.

[1762] Fálesz Mihály2013-11-19 11:26:22

1. S1S2S3S4 húrnégyszög. Körülírt köre legyen u, középpontja U.

2. A k0 és u közöknek nincs közös pontja (pl. mert a k1,k2,k3,k4 körök lefedik u-t). Ebből következik, hogy van olyan térbeli inverzió, ami a k0 és u köröket párhuzamos (síkú) körökbe viszi. Vegyünk egy ilyen inverziót, a pólusa legyen X. A sík képe gömbfelület, körök és egyenesek képe a gömbre illeszkedő kör; egymást érintő görbék képei egymást érintő görbék. A k1' és k3' kör, illetve a k2' és k4' kör ugyanakkora, S1'S2'S3'S4' téglalap, T1'T2'T3'T4' négyzet.

3. Legyen S*=S1'S3'\capS3'S4' és T*=T1'T3'\capT3'T4' az u', iletve a k0' kör középpontja. X,S,S* kollneáris és X,T,T* is kollneáris. A k0',k0,u',u körök szimmetrikusak az XS*T* síkra, ezért O és U az XS*T* síkban van. S,T,O,U közös pontja az eredeti síknak és az XS*T* síknak, tehát egy egyenesen vannak.

Előzmény: [1761] HoA, 2013-11-19 10:36:57
[1761] HoA2013-11-19 10:36:57

Az ábra nagyon szép, de mi a megoldás?

Előzmény: [1760] Fálesz Mihály, 2013-11-19 00:02:16

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]