Fórum: GEOMETRIA

Szia HoA!

Persze, jól gondolod.

A Word-höz van MathType egyenletszerkesztőm, azzal jóval gyorsabban lehet egyenleteket írni, mint TeX-ben.

Mikor készen van kifényképezem a vágólapra Print Screen-nel aztán Paint-ben gif formátumban elmentem.

Még átlátszóvá lehetne tenni, akkor feltöltve a sárga háttérre és nem lenne keretes.

Milyen programmal állítod elő ezt az ízléses dokumentum formátumot? Jól gondolom, hogy ez a doku képernyőfotója?

Helyes. És ha a gömbök sugara egyenlő?

4

Valóban, HoA-nak igaza van, figyelmetlen voltam, a befogó-tétel adja f-et!

Lehetne szögfv-ek nélkül, de röviden:

Modosítok. A gömbök diszjunktak természetesen.

Különben mindegy, két gömb elég, ha érintik egymást, és az érintési pontban van a fényforrás.

A gömbök metszhetik egymást?

Legalább hány gömb képes teljesen leárnyékolni egy pontszerű fényforrást? (a fényforrás nem lehet a gömbök belsejében)

Az előző hozzászólás utolsó mondatai természetesen úgy értendők, hogy itt Q nem az ellipszis pont, hanem az F - ből e-re bocsátott merőleges és a Thálesz-kör metszéspontja.

116.és117.feladat: Két "segédtétel" : 1) Az x tengely B pontjából merőlegest bocsátunk az O-n átmenő m meredekségű egyenesre, a talppont legyen C. C merőleges vetülete az x tengelyre A. Ekkor . Jelöljük ezt az arányt q-val. 2) Tekintsük ismertnek az alábbi ellipszis pontokat eredményező eljárást: A közös O középpontú k1 és k2 köröket metsző O-n áthaladó e egyenest O körül forgatjuk, a körökkel alkotott metszéspontok P₁ ill. P₂. A P₁-n át az y tengellyel és P₂-n át az x tengellyel párhuzamos egyenesek metszéspontja Q. Belátható, hogy az így adódó Q pontok egy ellipszisen találhatók.

Eredeti feladatunk r sugarú k körének P pontjából az O-n átmenő 0<m<1 meredekségű e egyenesre bocsátott m_e egyenes talpponja legyen M, az x tengellyel alkotott metszéspontja A. A P-ből a -m meredekségű f egyenesre bocsátott m_f egyenes talpponja legyen N, az x tengellyel alkotott metszéspontja C. P merőleges vetülete az x tengelyen B. APC egyenlőszárú, magassága PB, így OB = (OA + OC)/2. Ha M x tengelyre merőleges vetülete D, N-é F és az MN szakasz Q felezőpontjáé E, az 1. segédtétel szerint OF=q^.OC, OD=q^.OA, így OE=(OD+OF)/2=q^.(OA+OC)/2=q^.OB. QE és OP metszéspontja legyen R. OR=q^.OP, Q rajta van az OP egyenes és az O középpontú, qr sugarú kör R metszéspontjából az x tengelyre bocsátott merőlegesen.

Q -nak az y tengelyre vett vetületét vizsgálva hasonló eredményre jutunk, csak ott az 1. segédtétel szerint fellépő meredekség m helyett 1/m, így az adódó kicsinyítési arány . Q rajta van az OP egyenes és az O középpontú, sr sugarú kör S metszéspontjából az y tengelyre bocsátott merőlegesen. A Q pontok tehát a 2. segédtételben leírt ellipszis pontjai, ahol a generáló körök sugarai ( az ellipszis tengelyei ) qr illetve sr.

[775] ábráján a T pont az OEP derékszögű -ben éppen az 1. segédtételben leírt módon jön létre, tehát OT = qr = a. Mivel q+s =1, TE = OE - OT = r ( 1 - q ) = sr = b.

Az f-re vonatkozó állítás téves: Legyen a [775] ábráján OE és FQ metszéspontja U. Nem QU, hanem QO lesz f-el egyenlő. Bizonyítás: Az egységsugarú OE körben , ahol az m meredekségű egyenes irányszöge. Az OQE derékszögű -ben OQ OU és OE = 1 mértani közepe, vagyis . Másrészt az ellipszisben f²=a²-b², esetünkben . Tehát f²=OQ² ; f = OQ

Az ellipszis nagytengelyét r sugarú körnek az x tengellyel való R₁ pontból az e és f egyenesekre bocsájtott merőlegesek talppontjait összekötő szakasz K₁ felezőpontjának O-től való távolsága adja. Tehát a nagytengely OK₁.

A kistengelyt hasonlóan az R₂ pontból származtatva OK₂ adja.

A Thálesz-körben lévő OEP háromszög egybevágó az OR₁N₁ és az OR₂N₂ háromszögekkel, mert szögeik megegyeznek és átfogójuk r hosszú. Tehát megfelelő részháromszögeik is egybevágóak.

Így az ellipszis nagytengelye: a=OK₁=OT, kistengelye: b=OK₂=TE. Tehát r=a+b.

117. feladat: Használjuk föl, hogy a 116. feladat mértani helye ellipszis! Bizonyítsuk, hogy ennek két (fél)tengelye és a (fél)fókusztávolság megszerkeszthető az ábrán látott módon! ( A [774]-es hozzászólás számolási eredményeinek használata nem szükséges! )

A két adott egyenes e és f, az adott kör sugara egyenlő az ábra OE szakaszával. Válasszuk úgy a jelöléseket, hogy az FOE szög ne legyen nagyobb derékszögnél, messe az OE Thálesz-köre FOE szögfelezőjét P-ben. A P-ből e-re állított merőleges talppontja T. Tehát igazolandó, hogy a=OT, b=TE, valamint az F-ből e-re állított merőleges szakasznak a Thálesz-körbe eső része f!

Látható, hogy egyik egyenest vektorral eltolva a mértani hely pontjai vektorral tolódnak el. Így aztán legegyszerűbb, ha mindkét egyenes a kör középpontján megy át.

116. feladat. Egy ábra az általános esethez:

Mégegy segítség: Hogyan változik a Q pontok mértani helye, ha az egyik egyenest önmagával párhuzamosan d távolsággal eltoljuk?

Nézzünk először egy spec. esetet. Amikor a két egyenes, AB és BC merőlegesek egymásra. Ekkor a talppontok felezőpontja egyben PB szakasz felezőpontja is. Igy a keresett mértani hely a kör B középpontú felére kicsinyített képe.

Köszönöm HoA szép megoldását!

A [756]. hozzászólásban a teljes indukcióra utaltam. Talán érdemes lehet azzal is végiggondolni a feladatot.

Nagyon szép észrevétel, de mielőtt valaki összekapcsolná a Simson-egyenessel:

klevente feladata, 116. feladat: Adott egy kör és két egyenes. A kör P pontjából állítsunk merőlegest az egyenesekre, a talppontok közti felezőpont legyen Q. Bizonyitandó, a Q pontok mértani helye ellipszis, ha P végigfut a körön.

Jó!!!!

Egy háromszög köré írt kör tetszőleges P pontjából állítsunk merőlegeseket a háromszög oldalegyeneseire. Közismert, hogy ezen merőlegesek talppontjai kollineárisak, ez az ún. Simson-egyenes.

Vizsgáljuk valamelyik két talppont összekötő szakasza felezőpontjának mértani helyét, ha P befutja a köréírt kört. A GeoGebra programmal nézve ez szinte bizonyosan ellipszis.

Kérdések: a) tud-e valaki arról, hogy ez a tény (sejtés) ismertnek számít-e a matematikában? b) tudná-e valaki bizonyítani vagy cáfolni?

Koncz Levente

114** feladat Vizsgáljuk az l_i hosszúságú r_i rúdra ható erőket. A rúdra hat a feladatban adott F_i külső erő és a csuklókban a szomszédos rudak G_i1 és G_i2 kényszerereje. Bontsuk fel az erőket rúdirányú és a rúdra merőleges összetevőkre. G_i1 és G_i2 rúdirányú összetevői egymás ellentettjei, mert a rúd nyugalomban van és más rúdirányú erő nem hat rá. G_i1 és G_i2 rúdra merőleges összetevői egyenlőek és nagyságúak, mert a rúd másik végére vonatkozó nyomatékuk l_i karon egyensúlyt tart F_i erő karon kifejtett nyomatékával. Megállapíthatjuk tehát, hogy G_i1 és G_i2 egyenlő nagyságűak. Mivel a csuklókban a rudak azonos nagyságú erővel hatnak egymásra, a szomszédos rúdra hatő kényszererő is akkora, mint G_i1 és G_i2 és így tovább : az összes csuklóban ugyanakkora erők hatnak. Legyen ennek az erőnek a nagysága G.

Tekintsük a szomszédos, l_i és l_j hosszúságú r_i és r_j rudakra ható erőket. Válasszuk úgy az ábrán az erő mértékegységét, hogy a rúd hosszával arányos F_i és F_j erőket éppen l_i és l_j hosszú vektorral ábrázoljuk. Az r_i rúdra a Q csuklóban ható G_i erő rúdra merőleges összetevője F_i/2=l_i/2 . Rajzoljuk meg Q-ban a sokszög belseje felé mutató, G_i-re merőleges, G hosszúságú G_n vektort, G_i 90 fokos elforgatottját. Ennek r_i irányába eső összetevője l_i/2, tehát O végpontja rajta van r_i felező merőlegesén. De a G_n vektort úgy is tekinthetjük, mint az r_j rúdra Q-ban ható G_j erö -90 fokos elforgatottját. Mivel G_j erö r_j -re merőleges összetevője l_j/2 nagyságú, G_n -nek r_j irányába eső összetevője is ekkora, vagyis O rajta van r_j felező merőlegesén is. Vagyis a P,Q,R pontok egy G sugarú körön vannak. A gondolatmenetet a következő R csuklóra alkalmazva azt kapjuk, hogy a Q,R, S pontok is egy G sugarú körön vannak. A két kör azonos: középpontjuk QR felező merőlegesén a sokszög belseje felé Q-tól és R-től G távolságra lévő O pont. Az eljárást folytatva adódik, hogy a csuklók húrsokszöget alkotnak.

Az állítás igazsága egy szép integrálgeometriai képletből rögtön következik. Egy konvex síkbeli alakzat kerületét ugyanis az

integrál adja meg, ahol w() az alakzat szélességfüggvénye, azaz w() a konvex alakzatot közreszendvicselő és az x-tengellyel szöget bezáró két párhuzamos egyenes távolsága.