Fórum: GEOMETRIA

Tisztán szerkesztő megoldás:

Az ABC háromszögben mA=100^o,mB=40^o,mC=40^o. Az AB oldalt meghosszabbítjuk BD=BC-AB-vel. Határozzuk meg az ADC szög mértékét.

Ezt a hozzászólást és levezetést is köszönöm!

A [895] feladatára. (az ábrán A és B felcserélve)

Köszönöm szépen!!!!

Legyen , Ekkor az ABC sík normális egységvektora és D_1,2=B10^.n₀.

Az ABC síkban BA-ra merőleges egységvektor - hiszen a és n₀ merőlegesek és n₀ egységnyi. Így E_1,2=B10^.n₁.

Oh, de béna vagyok. Igen az ábrán A és B fel van cserélve

Legyen adott a paralellogramma az a, b, adatokkal. A szerkesztendő X ill. Y pontok [885] szerint. A K_a Apolloniusz-kör átmérője d=b/cos és r_a=d/2 sugara szintén adottnak tekinthető. Érintse az AB-vel párhuzamos e egyenes K_a-t C₂-ben. K_a minden pontjára, így C₂-re is igaz, hogy az AC₂B felezője AB-t Y-ban metszi. Legyen ABC₂ körülírt K körének sugara R, középpontja O₂. Tudjuk, hogy a belső szögfelező a szemközti oldal felező merőlegesét a körülírt körön metszi. Legyen C₂Y és K metszéspontja Q. QC₂O₂ egyenlőszárú, mert C₂O₂=QO₂=R. C₂QO₂=OC₂Y=45 fok, tehát QO₂C₂=90 fok, ami azt jelenti, hogy O₂ e-n van.

Innen az alábbi szerkesztés adódik: Az a hosszúságú AB szakasszal párhuzamosan, tőle r_a távolságra vegyük fel az e egyenest. AB f felező merőlegesének és e-nek a metszéspontja O₂. Az O₂ középpontú, R=O₂A sugarú K kör és e (egyik) metszéspontja C₂, K és f metszéspontja ( e egyenes AB-t tartalmazó oldalán ) Q. C₂Q kimetszi AB-ből Y-t.

És az ábrán A és B felcserélendő?

Megpróbálom magyarul :)

Adott ABC pont xyz koordinátákkal. Keresett 4 db pont. -Az első kettő (D1, D2), amelyik az BA szakaszra merőleges, B-től mért távolsága +10, -10 egység, és a BD1, BD2 merőleges az ABC síkra. A másik kettő (E1, E2)pedig ugyancsak merőleges a BA szakaszra, de az ABC síkon van, és B-től mért távolsága 10 e. Itt egy szemléltető ábra is. Előre is köszönet!

Első kérdés : (ld. BohnerGézáé) Az ABC síkra merőleges vetítésre gondolsz?

Második kérdés: AZ ABC síkban fekvő, B-nél derékszögű ABC* C* csúcsát keresed, ahol BC* = 10 egység?

Nem érthető (számomra) a feladat! Azt a részt, hogy egy pont legyen merőleges egy szakaszra, azt valószínűleg más sem érti.

Az elején merőleges vetítés van?

Fogalmazd meg jól a feladatot, talán tudunk segíteni.

Kedves Fórumozók!

Ilyen nehezet kérdeztem (nem hinném), vagy túl egyszerű? Megköszönném, ha valaki tudna segíteni.

Egy újabb, elvileg egyszerű kérdésem lenne. Adott A B C pont a térben. -Hogyan határozhatom meg azt a pontot(pontokat), mely az ABC síkra vetítve a vetítősugár a B ponton menne át, és B ponttól 10 egységnyire van. -továbbá szükség lenne arra a pontra (pontokra), amelyik AB szakaszra merőleges, és a ABC síkon helyezkedik el, és B pontból indul, és 10 egységnyire van tőle. Előre is köszönet!

Átsiklottam azon, hogy BE az egység. Így kijött.

Ezzel a szerkesztéssel valami gond lehet, mert nekem nem jött ki. Én AE szakaszfelezőjébe raktam L-t, de ez lényegtelen, mert AL lesz az egység.

Amilyen arányban növelem a négyzet kerületét, olyan arányban nő az oldalhossza is. Így elég csak az egyik oldalhosszat vizsgálni. Megnövelem 4 méterrel, de ez egyben azt is jelenti, hogy a háromszorosára nőt. Ha valamit háromszorosára növelek, az azt jelenti, hogy még kétszer hozzáadom önmagához (1+2=3). Azaz a 4 méter az eredeti hossz kétszerese, így az eredeti hossz a 4 méter fele, azaz 2 méter.

Ha egy négyzet olkdalhosszát4m -rel növeljük,kerülete háromszorosára nő.mekkora az eredeti négyzet oldalhossza?

Bocs , az utolsó mondat helyesen : "Ekkor az egész A*CB' és az ennek A*C oldalán fekvő A' pont is f -nek ezen az oldalán van,..."

Belátjuk, hogy ha a nem egyenlőszárú, pontosabban ha ABAC , akkor BC'=CB' és B'A'=C'A' egyszerre nem állhat fenn. Legyen az ABC -ben AC>AB, CB'=BC', BB' és CC' metszéspontja P, PA és BC metszéspontja A'. A Ceva tétel szerint BA'^.CB'^.AC'=A'C^.B'A^.C'B CB' = C'B -vel egyszerűsítve BA'^.AC'=A'C^.B'A . AC>AB miatt B'A>AC' és így A'C<BA' , vagyia A' a BC oldal A* felezőpontja és C között van.

A C'BA* és az A*CB' két oldalban megegyezik, de a közrezárt szög - mint az ABC nagyobb oldalával szemközti szög - az előbbiben () nagyobb mint az utóbbiban () . Ezért a cosinus tétel szerint C'A*>B'A*. A* tehát a B'C' f felező merőlegesének ugyanazon az oldalán van, mint B'. Ekkor az egész A*BC' és az ennek A*C oldalán fekvő A' pont is f -nek ezen az oldalán van, vagyis B'-höz közelebb, mint C' -höz , A'B'<A'C' , amit bizonyítani akartunk.

Itt egy "szerkesztő megoldás", igaz, használ némi projektív geometriát. A [874] hozzászólás alapján olyan egyeneseket keresünk az A és B pontokon keresztül, amelyek "száraktól mért dőlésszöge egyenlő ellentétes irányban" (1), és a metszéspontjuk CD-n van. Az (1) tulajdonságú egyenesek - mivel egymáshoz projektív, A ill. B tartójú sugársorok egymásnak megfelelő egyenesei - metszéspontjai egy hiperbolán vannak, melyre A és B illeszkedik. Ha ennek a hiperbolának három további tetszőleges pontját megszerkesztjük (K, L, M), akkor a hiperbola és a CD egyenes metszéspontjai szerkeszthetőek. (Természetesen ezt a szerkesztést - Steiner-szerkesztés - körzővel-vonalzóval picit hosszabb megcsinálni, mint géppel.)

Amíg nem születik igazi szerkesztő megoldás, addig itt van egy , az eddigieknél talán egyszerűbb, számítást követő szerkesztés.

Legyen adva a paralellogramma az AB = a , BC = b oldalhosszakkal és az A-nál lévő szöggel. Vegyük fel az ABX Apollonius körét. Középpontja legyen O, Y-nal szemközti pontja Z. Az XYZ derékszögű ből YZ=d=b/cos , ami adatainkból számítható/szerkeszthető. Mivel az Apollonius kör pontjaira az A-tól és B-től mért távolságok aránya állandó, YB-t x-el jelölve felírható :

Rendezve x-re másodfokú egyenletet kapunk, melynek megoldása: Mivel x a-nál és d-nél is rövidebb, ezért -nél is, tehát csak a negatív előjelet kell figyelembe venni. x szerkeszthető pl így: Vegyük fel a d hosszúságú YZ Z-n túli meghosszabbítására az a hosszúságú ZT szakaszt. Z-ben emeljünk merőlegest YT-re, forgassuk rá Z-ből ZT-t, a metszéspont legyen U. Ekkor , ezt Y-ból leforgatva YT-re a metszéspont legyen V. Ha W a VT szakasz felezőpontja, VW = WT = x.

Sziasztok!

Tudnátok segíteni a következő feladatban:

Adva van egy egy háromszög,felveszünk benne egy p pontot. Összekötjük a csúcsokat a szembelévő oldallal a p ponton keresztül.A metszéspontok rendre A', B',C'. Tudjuk továbbá,hogy C(B)'=B(C)',vmint B'A'=A'C'. Mutassuk meg h a háromszög egyenlőszárú.

Köszönettel: Zsolt