Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: GEOMETRIA

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[946] HoA2007-11-26 10:29:32

A másik irány egyszerűbb. Ha a háromszög derékszögű és ismertnek vesszük, hogy a csúcsokból az érintőkörökhöz húzott érintőszakaszok hossza s, s-a, s-b, s-c , akkor az ábrán pirossal jelölt, érintőszakaszokból és sugarakból álló deltoidok itt négyzetek lesznek, ezért

\varrho=s-c;\varrhoa=s-b;\varrhob=s-a;\varrhoc=s és ezért

\varrho+\varrhoa+\varrhob=s-c+s-b+s-a=3.s-2.s=s=\varrhoc

Előzmény: [943] BohnerGéza, 2007-11-22 18:21:24
[945] Python2007-11-25 12:32:17

Legyenek a háromszög oldalai a, b, c, beírt körésnek sugara r, a hozzáírt körök sugara ra, rb, rc (pl. ra az a oldalhoz írt kör) ! Tegyük fel hogy pl. rc=r+ra+rb! Felhasználva hogy a t háromszögterületre 2t=r(a+b+c)=ra(-a+b+c)=rb(a-b+c)=rc(a+b-c)

\frac{2t}{a+b-c}=\frac{2t}{a+b+c}+\frac{2t}{-a+b+c}+\frac{2t}{a-b+c}

A nevezők a háromszög-egyenlőtlenség miatt pozitívak, felszorozva; 2t-vel osztva

(a+b+c)\left[(a-b+c)(-a+b+c)+(a+b+c)(a-b+c+-a+b+c)\right]=

=(a+b+c)(a-b+c)(-a+b+c)

Elvégezve a műveleteket

4c(c2-b2-a2)=0

Itt 4c\neq0, így c2=a2+b2, és ekkor a Pithagorasz-tétel megfordítása miatt a háromszög derékszögű.

Előzmény: [943] BohnerGéza, 2007-11-22 18:21:24
[944] bohmajster2007-11-24 13:12:45

Legyen adott AM szakasz a síkban és \alpha hegyesszög. Határozzuk meg azon ABC háromszögek körülírt körének középpontjainak halmazát, melyek A csúcsánál az \alpha szög található és az M pont az ABC háromszög magasságvonalainak metszéspontja.

[943] BohnerGéza2007-11-22 18:21:24

126. feladat:

[942] Bubóka2007-11-16 17:19:00

Rendi, igyekszem! Köszi!

Előzmény: [939] Hajba Károly, 2007-11-16 15:51:16
[941] Bubóka2007-11-16 17:17:46

NAgyon szépen köszönöm!!!!!! Elnézést, ha nem voltam elég érthető, de abszolute kezdő vagyok itt.

Előzmény: [940] HoA, 2007-11-16 16:20:18
[940] HoA2007-11-16 16:20:18

OK, helyesbítek. Tegyük fel, az adatok most már világosak. A feladat tehát így szól

1) "Bizonyítsuk be, hogy nem szerkeszthető meg a hármszög, ha adott \alpha=\pi/2, ma=1 és fb=2" , illetve

2) "Bizonyítsuk be, hogy nem szerkeszthető meg a hármszög, ha adott a=1 , ma=1 és fb=1"

Ha így van, akkor 2) megoldásának egyik lehetséges módja: Az ábra szerint az A csúcs x koordinátájával (a) fejezzük ki x-et és y-t annak alapján, hogy

x2+y2=1 és \frac{1-a}{1} = \frac{1-x}{y}

Ha jól számoltam, x = \frac{1-(1-a)^2}{1+(1-a)^2} Ezután felírjuk, hogy a felezett szöggel szemközti oldalnak a szögfelező által elvágott két darabja - és így ezek x irányú vetületei is - úgy aránylanak, mint a közrezáró oldalak hossza:

\frac{1}{\sqrt{1+a^2}} = \frac{1-x}{x-a} , persze x-et a-val kifejezve, kapunk a-ra egy magasabbfokú egyenletet. Erről kell (lehet?) megmutatni, hogy a megoldás nincs benne az adott adatokból szerkesztéssel elérhető számtestben.

Előzmény: [938] Bubóka, 2007-11-16 14:03:32
[939] Hajba Károly2007-11-16 15:51:16

Balra fenn van 5 okker gomb és a középsőben TEX tanfolyam. Tanulmányozd, ami mögötte van és fogsz tudni itt is szerkesztett szöveget beírni.

Előzmény: [938] Bubóka, 2007-11-16 14:03:32
[938] Bubóka2007-11-16 14:03:32

Valószínű nem a felfogásoddal van baj! A feladat az, az amit leírtam a 935 alatt, de sajna csak ennyi:

Bizonyítsuk be, hogy az alábbi háromszögszerkesztési feladatok nem szerkeszthetők euklidészi értelemben! A harmadfokú problémáknál vizsgáljuk, hogy megoldható-e szögharmadoló eszközzel. .... és az adatok.

Nem szerkesztésről van szó. Bocsánat, de nem tudok itt egyszerű szövegen kívűl mást "szerkeszteni", ha pedig vágólapról akarok másolni, akkor nem másolja ugyanazt.

Előzmény: [937] HoA, 2007-11-16 09:26:03
[937] HoA2007-11-16 09:26:03

Lehet, hogy kicsit nehéz a felfogásom, de nekem még így sem világos. Légy szíves írd le magyarul, mi a két feladat, valahogy így:

1) Szerkesszünk háromszöget, ha adott \alpha=\pi/2, ma=1 és fb=2

2) Szerkesszünk háromszöget, ha adott a=1,ma=1 és fb=1

Előzmény: [936] Bubóka, 2007-11-16 06:59:56
[936] Bubóka2007-11-16 06:59:56

Egyetemi jegyzetben található, a szerkesztő általi sajátos jelölési mód (szerintem)A jobb oldalon az "a" oldal a magasság, illetve a szögfelező adatai vannak. A p- pí akar lenni, így (el lett írva) nem a oldal hanem alfa szög.

Előzmény: [935] HoA, 2007-11-15 14:19:10
[935] HoA2007-11-15 14:19:10

Én sem tudom, mennyire egyezményesek, pedig nem akarom ide írni hány éve foglalkozom szerkesztési feladatokkal. Honnan vetted ezt a jelölést és mit jelent? A baloldalakat majdnem megmagyaráztad - ha jól sejtem az a oldal, az ma magasság és a fb szögfelező adott. De mit jelentenek a jobboldalak?

Előzmény: [934] Bubóka, 2007-11-11 19:58:01
[934] Bubóka2007-11-11 19:58:01

Üdv Mindenkinek!

Segítséget szeretnék kérni a következő feladathoz.Nagyon fontos lenne!

Bizonyítsuk be, hogy az alábbi háromszögszerkesztési feladatok nem szerkeszthetők euklidészi értelemben! A harmadfokú problémáknál vizsgáljuk, hogy megoldható-e szögharmadoló eszközzel.

1. (a, ha, wb ) = ( p/2, 1, 2 )

2. (a, ha, wb ) = ( 1, 1, 1 )

Nem tudom mennyire egyezményesek ezek a jelek, a w - a szögfelezőt, h- a magasságot jelentené.

[933] sakkmath2007-11-07 17:51:31

Megoldásra ajánlom a következő feladatot.

Az R pont a K középpontú kör PQ húrjának felezéspontja. Bizonyítsuk be, hogy az ábra szerinti elrendezésben SY>RX. Elnézést, a rajz most csak ilyenre sikeredett :(

[932] farkasb2007-11-05 21:38:21

Kedves HoA!

Pontosan érted, hogy mire gondoltam! Köszönöm szépen, nagyszerű megoldás!

Előzmény: [930] HoA, 2007-11-05 10:34:54
[931] Fálesz Mihály2007-11-05 13:48:22

Egyáltalán nem fitymálni akartam a mátrixos megközelítést. A gyakorlatban is mátrixokat használnak (pl. a számítógépes grafikában).

* * *

Nézzük meg inkább a kvaterniós megoldást.

Legyen u egy egységvektor, \varphi egy szög és

 q = \cos\frac\varphi2 + \sin\frac\varphi2 \cdot u,

tehát q az a kvaternió, aminek skalár része \cos\frac\varphi2, vektor része pedig \sin\frac\varphi2 \cdot u. Nézzük meg, mit csinál a következő leképezés:

 x \mapsto q\cdot x\cdot \overline{q}.

Az x kvaterniót felírhatjuk a+bu+v alakban, ahol a,b skalárok, v pedig egy u-ra merőleges vektor. Legyen w=u×v a v elforgatottja u körül derékszöggel; némi számolás után kijön, hogy

 q \cdot a \cdot \overline{q} = a\cdot |q|^2 = a,

 q \cdot u \cdot \overline{q} = 
\left( \cos\frac\varphi2 + \sin\frac\varphi2\cdot u\right)
u \left( \cos\frac\varphi2 - \sin\frac\varphi2\cdot u\right) =

=
\left( -\sin\frac\varphi2 + \cos\frac\varphi2\cdot u\right)
\left( \cos\frac\varphi2 - \sin\frac\varphi2\cdot u\right) =
\left( \cos^2\frac\varphi2 + \sin^2\frac\varphi2\right) u 
= u

és

 q \cdot v \cdot \overline{q} = 
\left( \cos\frac\varphi2 + \sin\frac\varphi2\cdot u\right)
v \left( \cos\frac\varphi2 - \sin\frac\varphi2\cdot u\right) = \left( \cos\frac\varphi2\cdot v + \sin\frac\varphi2\cdot w\right)
\left( \cos\frac\varphi2 - \sin\frac\varphi2\cdot u\right)=

 =
\left(\cos^2\frac\varphi2-\sin^2\frac\varphi2\right)v+
2\cos\frac\varphi2\sin\frac\varphi2\cdot w =
\cos\varphi\cdot v+\sin\varphi\cdot w,

tehát

 q(a+bu+v)\overline{q} = a+bu+(\cos\varphi\cdot v+\sin\varphi\cdot w).

A skalár rész és az u-val párhuzamos vektor komponens nem változik, az u-ra merőleges vektor komponens pedig elfordul \varphi szöggel. Vagyis a művelet elforgatja a vektor részt u körül \varphi szöggel.

Előzmény: [928] BohnerGéza, 2007-11-05 01:57:56
[930] HoA2007-11-05 10:34:54

Kedves farkasb!

Remélem, értem mire gondolsz. [906] szerint legyen ezúttal \vec{AB} = \bf{b} és \vec{AC} = \bf{c}. Az ABC sík normális egységvektora \bf{n}_0 = \frac{b \times c} {| b \times c |} . Az ABC síkban AB-ra merőleges egységvektor \bf{n}_1 = \frac{n_0 \times b}{|b|} , a b irányú egységvektor \bf{n}_2 = \frac{b}{|b|} . Ekkor \vec{AB} alfa szögű elforgatottjának összetevői az ABC síkban {\bf b'} = \vec{AB'} = |b|\cdot cos \alpha \cdot {\bf n}_2 + |b| \cdot sin \alpha \cdot {\bf n}_1 . A keresett pont koordinátái az eredeti rendszerben  B' = A + \vec{AB'}. Megjegyzések: 1) Látható, hogy \alpha=0 -ra B' = B 2) Vigyázni kell az irányításra! Ha ABC körüljárása az óramutató irányával ellentétes, az \alpha szöggel történő elforgatás is az lesz, és fordítva.

Előzmény: [925] farkasb, 2007-11-04 21:31:19
[929] BohnerGéza2007-11-05 02:05:36

Elfelejtettem: A számítógépnek nem kell tudni, hogy mátrixokkal számol! Neki a 6 (térben 12) paraméter kiszámítási módját, és azok felhasználását kell megadnunk.

Előzmény: [928] BohnerGéza, 2007-11-05 01:57:56
[928] BohnerGéza2007-11-05 01:57:56

Beismerem, a kvaterniókkal nem foglalkoztam, csak a síkbeliekkel, azaz a komplex számokkal. (remélem nem tévedek)

Az előző hozzászólásomban leírtak a komplex számok segítségével történő forgatásnál is kellenek (eltolás - forgatás - visszatolás) kivonás - szorzás - visszaadás alakban. Talán szebb, de a számítógép számára ugyanannyi lépés.

A sik összes egyenes és osztóviszony tartó leképezése megadható olyan speciális mátrixszal, melynek utolsó sora 0,0,1, (utolsó oszlopa pedig az origó képe és az 1-es.) azaz hat paramétert kell meghatározni. Az (x;y) képét a mátrixot az (x;y;1) oszlopvektorral szorozva kapjuk. Ez 4 szorzást és 6 összeadást jelent. (Térben 9 szorzás és 12 összeadás.)

Előzmény: [927] Fálesz Mihály, 2007-11-04 23:07:02
[927] Fálesz Mihály2007-11-04 23:07:02

Forgatni kvaterniókkal is lehet, úgy sokkal szebb.

Előzmény: [926] BohnerGéza, 2007-11-04 22:46:22
[926] BohnerGéza2007-11-04 22:46:22

Az O-t helybenhagyó leképezések egyszerűbbek, ezért ilyen az általános módszer.

Egy-egy speciális eset lehet egyszerűbb, de mindenképpen ajánlom az általánossal való foglalkozást.

Előzmény: [925] farkasb, 2007-11-04 21:31:19
[925] farkasb2007-11-04 21:31:19

Lehet, hogy félreértettük egymást, vagy csak számomra tűnik túl bonyolultnak a megoldás, ezért a félreértés elkerülése végett feltöltök egy ábrát. Lényegében a Keresett B' pont rajta van a síkon, és az AB köríven, és mondjuk AB szakasztól 55 fokkal van elforgatva.

Előzmény: [923] BohnerGéza, 2007-11-02 04:49:24
[924] Bubóka2007-11-02 13:02:27

Tisztelt Fórumozók!

Segítségeteket kérném! A napokban hallottam a geogebráról. Valaki küldjön már nekem legyen szíves egy feladatot (ami esetleg egy nyomvonalat is tartalmaz) és annak megoldását, amit a geogebrával készített el.

Köszi!

[923] BohnerGéza2007-11-02 04:49:24

A megfelelő forgatás szögének meghatározását és mátrixát, ha szükséges, megírom.

Előzmény: [922] farkasb, 2007-11-01 10:52:36
[922] farkasb2007-11-01 10:52:36

Kedves Fórumozók!

Ismételten segítségre szorulok. Adott ABC pont xyz koordinátákkal, ami meghatároz egy síkot. A pont körül hogyan tudom a síkban elforgatni B-t egy tetszőleges szöggel?

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]