Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: GEOMETRIA

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[962] S.Ákos2007-12-30 12:06:40

Legyen az egyszerűség kedvéért \overline{BC}=1 és 2CBA\angle=CAB\angle=2\alpha; valamint x:=\overline{AC} y:=\overline{BD}

A szinusztétel értelmében

\frac{2\cos\alpha\sin\alpha}1=\frac{\sin\alpha}{x}

Innét x=\frac 1{2\cos\alpha}. Mivel 3\alpha<180o, ezért BDC derékszögű hsz mindig létezik, így felírható: y=\frac{\overline{BC}}{\cos\alpha}=\frac{1}{\cos\alpha} így a keresett \frac xy arány \frac xy=\frac{\frac 1{2\cos\alpha}}{\frac{1}{\cos\alpha}}=\frac12 (Remélem nem néztem el semmit)

Előzmény: [961] BohnerGéza, 2007-12-30 01:01:09
[961] BohnerGéza2007-12-30 01:01:09

A komáromi Selye János Magyar Tannyelvű Gimnázium Cornides István Emlékversenyének ( 2007.12.07 ) egy szép feladatát ajánlom:

128. feladat: Az ABC hegyesszögű háromszögben az A-nál lévő szög a B-nél lévő kétszerese. A C-ben a BC-re állított merőleges AB-t D-ben metszi. Mennyi az AC / BD arány?

[960] BohnerGéza2007-12-15 14:51:59
Előzmény: [959] Cogito, 2007-12-14 17:02:50
[959] Cogito2007-12-14 17:02:50

Kedves HoA!

A feladatot pár napja én is megoldottam, csak az idő hiányzott, hogy letisztázva közölhető állapotba hozzam. Egyetértek azzal, hogy ez a kör a keresett mértani hely abban az esetben, ha a feladatot az ABC síkra szűkítjük. A részleteket most mellőzve nekem az jött ki, hogy a mértani helynek eleget tévő P pontokra teljesül, hogy

\vec{PC} \cdot \vec{PD}=0 (1)

, ahol a C pontnak O-ra való középpontos tükörképe D. Mint látható, itt (egyrészt) azon pontok halmazáról van szó, melyekből a CD szakasz derékszög alatt látszik. Ez pedig az a C és D pontok nélküli gömbfelület, amely az Általad kapott kör CD körüli megforgatásával áll elő. Itt is igaz (másrészt) hogy a C és D pont is a mértani helyhez tartozik, hiszen a P\equivC, vagy P\equivD esetben egy-egy nullvektor miatt teljesül (1). A levezetés itt is megfordítható, tehát a teljes gömbfelület a keresett mértani hely.

Ez az általános megoldás, hiszen a feladat szövege megengedi, hogy P-t térbeli pontnak tekintsük, a levezetés(ek) pedig ennek az értelmezésnek is eleget tesznek.

Előzmény: [958] HoA, 2007-12-14 08:26:03
[958] HoA2007-12-14 08:26:03

Hát ha senki... Legyen az AB szakasz felezőpontja O, \vec{OA} ={\bf t} , \vec{OC} = {\bf c} . Ekkor \vec{OB} ={\bf -t} , \vec{CA} = \vec{OA} - \vec{OC} = {\bf t-c} , \vec{CB} = \vec{OB} - \vec{OC} = {\bf -t-c} , \vec{CA} \cdot \vec{CB} = ( {\bf t-c} ) \cdot ( {\bf -t-c} ) = ({\bf c-t})\cdot ( {\bf c+t} ) = {\bf c^2 - t^2 } . Legyen \vec{OP} ={\bf p}. Ekkor az előzőhöz hasonlóan \vec{PA} \cdot \vec{PB} = {\bf p^2 - t^2 } A feltételi egyenlet szerint p2=c2, a keresett P pontok tehát az O körüli |c| sugarú körön helyezkednek el, és mivel a műveletek megfordíthatók, a kör minden pontja megfelel.

Előzmény: [957] BohnerGéza, 2007-12-09 23:40:09
[957] BohnerGéza2007-12-09 23:40:09
[956] szegeddiák2007-11-28 21:32:57

Sziasztok...segítségre lenne szükségem néhány feladatjoz..ha vki meg tudja oldani ezeket kérem rakja fel vagy vegye fel velem a kapcsolatot.Igazán sürgős lenne mert pénteken ebből zh-t írok.köszi előre is

tehát a feladatok: kocka élén áll ábrázolni Monge féle ábrázolással csúcsán álló , élén álló oktaéder ábrázolása monge féle ábrázolással teraéder lapján , csúcsán és élén áll szintén monge ábrázolással.

[955] HoA2007-11-28 10:19:55

Úgy látom nem érdekelt senkit, vagy túl egyszerű volt? A súlyvonal tulajdonságából következik, hogy AM=2.A'O=2.R.cos\alpha R = \frac{AM}{2 \cdot cos \alpha} AM hossza és \alpha tehát R-et meghatározza, így a keresett kör középpontok az A körüli R sugarú körön vannak.

Ha O-t és az MA irányt rögzítjük, a megfelelő háromszögek A csúcsába mutató sugár vektorok \phi irányszögére - az MA = A'O iránytól mérve

\alpha-\pi<\phi<\pi-\alpha , az ábrán barnával jelölt CAB körív.

Az MA szakaszt rögzítve a CAB körív minden P pontjába mutató OP vektornak megfelel egy vele ellentétes irányú , a lehtséges Q körülírt kör középpontokba mutató AQ vektor. Így a feladat megoldását az A körüli R sugarú kör azon pontjai adják, melyeknek irányszöge A-ból ( ismét MA irányhoz mérve )

\alpha<\phi<2.\pi-\alpha ( lila körív )

Előzmény: [944] bohmajster, 2007-11-24 13:12:45
[954] Hajba Károly2007-11-28 08:11:00

Még mindig kevés az infó. A négyzet melyik egyenese az egyenes és melyik pontja a pont? Mikorra kellene? Péntekre tudnám elkészíteni a segédábrát, de majd az 'ábrázoló geometriában', oda való.

Előzmény: [953] tyotyke, 2007-11-28 07:52:38
[953] tyotyke2007-11-28 07:52:38

Szia! Igen elhamarkodottan írtam le a dolgokat.Egy pont és egy egyenes két képéről van szó, és ebből kell egy kockát szerkesztenünk, csak a négyzetet azért irtam, mert az már 2-es és onnantól kezdve a magasságvonalak szerkesztésével a kocka csak néhány lépés. Fel kell vennünk egy első fővonalat......stb., leforgatotott háromszögből berajzoljuk a valódi kocka oldalhosszát.....Ezek lépések a szerkesztésből. Remélem igy már érthető!!!:) Köszönöm a segítséget,érdeklődést! Üdv!

[952] HoA2007-11-27 18:47:11

Szia! Biztos vagy te abban, hogy ez két egyenes és két pont a síkban? Nem egy ábrázoló feladatról van szó és egy pont és egy egyenes két vetületét látjuk? ( Ehhez javasolnám az "ábrázoló geometria" témakört ). És mi a feladat? Hogy kell egy (vagy két?) pontból és egyenesből négyzetet és kockát szerkeszteni? Az ábrázoló esetben el tudok képzelni olyan feladatot, hogy szerkesszünk négyzetet, melynek egyik csúcsa az adott pont, oldalegyenese/átlóegyenese az adott egyenes. Vagy szerkesszünk kockát, melynek egyik csúcsa az adott pont, egyik élének/lapátlójának/testátlójának egyenese az adott egyenes. Ezek egyike a feladat?

Előzmény: [950] tyotyke, 2007-11-27 12:18:55
[951] tyotyke2007-11-27 12:22:12
[950] tyotyke2007-11-27 12:18:55

Sziasztok! Végig néztem a forum hozzászólásokat és meg kell hogy állapítsam, hogy itt profik társalognak! Ebből adódóan jött az ötletem, hogy a Ti segítségeteket fogom kérni és remélem segítetek is nekünk! Egy zh feladat megoldására lennénk kiváncsiak, szerkesztővonalak ábrázolásával és némi magyarázattal.A feladat általában egy tetszőlegesen adott két egyenes és két pont a síkban, amiből először egy négyzetet, majd abból egy kockát kell szerkeszteni. Megpróbálom a kiinduló ábrát csatolni, remélem sikerül. Segítségeteket előre is köszönöm!

[949] BohnerGéza2007-11-26 22:40:07

Jogos! Én is mindenkinek ajánlom a végiggondolását!

Előzmény: [948] HoA, 2007-11-26 15:17:06
[948] HoA2007-11-26 15:17:06

Nagyon szép megoldás a "ha derékszögű, akkor..." irányra. Használható-e ez vagy hasonló ábra a másik irányra?

Előzmény: [947] BohnerGéza, 2007-11-26 13:20:09
[947] BohnerGéza2007-11-26 13:20:09

A feladatot a következő érdekes észrevétel miatt tűztem ki:

Legyen ABC C-nél derékszögű. Tükrözzünk a C-n nem átmenő szögfelezőkre! Például Ca' a C-nek az A-hoz tartozó külső szögfelezőre való tükörképe. Ekkor AC egyenes képe AB lesz és BC képe a Ca'-n átmenő AB-re merőleges egyenes, amely érint a b és c indexű hozzáírt köröket. ....

Előzmény: [946] HoA, 2007-11-26 10:29:32
[946] HoA2007-11-26 10:29:32

A másik irány egyszerűbb. Ha a háromszög derékszögű és ismertnek vesszük, hogy a csúcsokból az érintőkörökhöz húzott érintőszakaszok hossza s, s-a, s-b, s-c , akkor az ábrán pirossal jelölt, érintőszakaszokból és sugarakból álló deltoidok itt négyzetek lesznek, ezért

\varrho=s-c;\varrhoa=s-b;\varrhob=s-a;\varrhoc=s és ezért

\varrho+\varrhoa+\varrhob=s-c+s-b+s-a=3.s-2.s=s=\varrhoc

Előzmény: [943] BohnerGéza, 2007-11-22 18:21:24
[945] Python2007-11-25 12:32:17

Legyenek a háromszög oldalai a, b, c, beírt körésnek sugara r, a hozzáírt körök sugara ra, rb, rc (pl. ra az a oldalhoz írt kör) ! Tegyük fel hogy pl. rc=r+ra+rb! Felhasználva hogy a t háromszögterületre 2t=r(a+b+c)=ra(-a+b+c)=rb(a-b+c)=rc(a+b-c)

\frac{2t}{a+b-c}=\frac{2t}{a+b+c}+\frac{2t}{-a+b+c}+\frac{2t}{a-b+c}

A nevezők a háromszög-egyenlőtlenség miatt pozitívak, felszorozva; 2t-vel osztva

(a+b+c)\left[(a-b+c)(-a+b+c)+(a+b+c)(a-b+c+-a+b+c)\right]=

=(a+b+c)(a-b+c)(-a+b+c)

Elvégezve a műveleteket

4c(c2-b2-a2)=0

Itt 4c\neq0, így c2=a2+b2, és ekkor a Pithagorasz-tétel megfordítása miatt a háromszög derékszögű.

Előzmény: [943] BohnerGéza, 2007-11-22 18:21:24
[944] bohmajster2007-11-24 13:12:45

Legyen adott AM szakasz a síkban és \alpha hegyesszög. Határozzuk meg azon ABC háromszögek körülírt körének középpontjainak halmazát, melyek A csúcsánál az \alpha szög található és az M pont az ABC háromszög magasságvonalainak metszéspontja.

[943] BohnerGéza2007-11-22 18:21:24

126. feladat:

[942] Bubóka2007-11-16 17:19:00

Rendi, igyekszem! Köszi!

Előzmény: [939] Hajba Károly, 2007-11-16 15:51:16
[941] Bubóka2007-11-16 17:17:46

NAgyon szépen köszönöm!!!!!! Elnézést, ha nem voltam elég érthető, de abszolute kezdő vagyok itt.

Előzmény: [940] HoA, 2007-11-16 16:20:18
[940] HoA2007-11-16 16:20:18

OK, helyesbítek. Tegyük fel, az adatok most már világosak. A feladat tehát így szól

1) "Bizonyítsuk be, hogy nem szerkeszthető meg a hármszög, ha adott \alpha=\pi/2, ma=1 és fb=2" , illetve

2) "Bizonyítsuk be, hogy nem szerkeszthető meg a hármszög, ha adott a=1 , ma=1 és fb=1"

Ha így van, akkor 2) megoldásának egyik lehetséges módja: Az ábra szerint az A csúcs x koordinátájával (a) fejezzük ki x-et és y-t annak alapján, hogy

x2+y2=1 és \frac{1-a}{1} = \frac{1-x}{y}

Ha jól számoltam, x = \frac{1-(1-a)^2}{1+(1-a)^2} Ezután felírjuk, hogy a felezett szöggel szemközti oldalnak a szögfelező által elvágott két darabja - és így ezek x irányú vetületei is - úgy aránylanak, mint a közrezáró oldalak hossza:

\frac{1}{\sqrt{1+a^2}} = \frac{1-x}{x-a} , persze x-et a-val kifejezve, kapunk a-ra egy magasabbfokú egyenletet. Erről kell (lehet?) megmutatni, hogy a megoldás nincs benne az adott adatokból szerkesztéssel elérhető számtestben.

Előzmény: [938] Bubóka, 2007-11-16 14:03:32
[939] Hajba Károly2007-11-16 15:51:16

Balra fenn van 5 okker gomb és a középsőben TEX tanfolyam. Tanulmányozd, ami mögötte van és fogsz tudni itt is szerkesztett szöveget beírni.

Előzmény: [938] Bubóka, 2007-11-16 14:03:32
[938] Bubóka2007-11-16 14:03:32

Valószínű nem a felfogásoddal van baj! A feladat az, az amit leírtam a 935 alatt, de sajna csak ennyi:

Bizonyítsuk be, hogy az alábbi háromszögszerkesztési feladatok nem szerkeszthetők euklidészi értelemben! A harmadfokú problémáknál vizsgáljuk, hogy megoldható-e szögharmadoló eszközzel. .... és az adatok.

Nem szerkesztésről van szó. Bocsánat, de nem tudok itt egyszerű szövegen kívűl mást "szerkeszteni", ha pedig vágólapról akarok másolni, akkor nem másolja ugyanazt.

Előzmény: [937] HoA, 2007-11-16 09:26:03

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]