Fórum: GEOMETRIA

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78]

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.

[962] S.Ákos	2007-12-30 12:06:40
Legyen az egyszerűség kedvéért $\overline{BC}=1$ és 2CBA $\angle$ =CAB $\angle$ =2 $\alpha$ ; valamint $x:=\overline{AC}$ $y:=\overline{BD}$ A szinusztétel értelmében $\frac{2\cos\alpha\sin\alpha}1=\frac{\sin\alpha}{x}$ Innét $x=\frac 1{2\cos\alpha}$ . Mivel 3 $\alpha$ <180^o, ezért BDC derékszögű hsz mindig létezik, így felírható: $y=\frac{\overline{BC}}{\cos\alpha}=\frac{1}{\cos\alpha}$ így a keresett $\frac xy$ arány $\frac xy=\frac{\frac 1{2\cos\alpha}}{\frac{1}{\cos\alpha}}=\frac12$ (Remélem nem néztem el semmit)

Előzmény: [961] BohnerGéza, 2007-12-30 01:01:09

[961] BohnerGéza

2007-12-30 01:01:09

A komáromi Selye János Magyar Tannyelvű Gimnázium Cornides István Emlékversenyének ( 2007.12.07 ) egy szép feladatát ajánlom:

128. feladat: Az ABC hegyesszögű háromszögben az A-nál lévő szög a B-nél lévő kétszerese. A C-ben a BC-re állított merőleges AB-t D-ben metszi. Mennyi az AC / BD arány?

[960] BohnerGéza	2007-12-15 14:51:59


Előzmény: [959] Cogito, 2007-12-14 17:02:50

[959] Cogito

2007-12-14 17:02:50

Kedves HoA!

A feladatot pár napja én is megoldottam, csak az idő hiányzott, hogy letisztázva közölhető állapotba hozzam. Egyetértek azzal, hogy ez a kör a keresett mértani hely abban az esetben, ha a feladatot az ABC síkra szűkítjük. A részleteket most mellőzve nekem az jött ki, hogy a mértani helynek eleget tévő P pontokra teljesül, hogy

$\vec{PC} \cdot \vec{PD}=0$

(1)

, ahol a C pontnak O-ra való középpontos tükörképe D. Mint látható, itt (egyrészt) azon pontok halmazáról van szó, melyekből a CD szakasz derékszög alatt látszik. Ez pedig az a C és D pontok nélküli gömbfelület, amely az Általad kapott kör CD körüli megforgatásával áll elő. Itt is igaz (másrészt) hogy a C és D pont is a mértani helyhez tartozik, hiszen a P $\equiv$ C, vagy P $\equiv$ D esetben egy-egy nullvektor miatt teljesül (1). A levezetés itt is megfordítható, tehát a teljes gömbfelület a keresett mértani hely.

Ez az általános megoldás, hiszen a feladat szövege megengedi, hogy P-t térbeli pontnak tekintsük, a levezetés(ek) pedig ennek az értelmezésnek is eleget tesznek.

Előzmény: [958] HoA, 2007-12-14 08:26:03

[958] HoA	2007-12-14 08:26:03
Hát ha senki... Legyen az AB szakasz felezőpontja $O, \vec{OA} ={\bf t} , \vec{OC} = {\bf c}$ . Ekkor $\vec{OB} ={\bf -t}$ , $\vec{CA} = \vec{OA} - \vec{OC} = {\bf t-c}$ , $\vec{CB} = \vec{OB} - \vec{OC} = {\bf -t-c}$ , $\vec{CA} \cdot \vec{CB} = ( {\bf t-c} ) \cdot ( {\bf -t-c} ) = ({\bf c-t})\cdot ( {\bf c+t} ) = {\bf c^2 - t^2 }$ . Legyen $\vec{OP} ={\bf p}$ . Ekkor az előzőhöz hasonlóan $\vec{PA} \cdot \vec{PB} = {\bf p^2 - t^2 }$ A feltételi egyenlet szerint p²=c², a keresett P pontok tehát az O körüli \|c\| sugarú körön helyezkednek el, és mivel a műveletek megfordíthatók, a kör minden pontja megfelel.
Előzmény: [957] BohnerGéza, 2007-12-09 23:40:09

[957] BohnerGéza	2007-12-09 23:40:09

[956] szegeddiák

2007-11-28 21:32:57

Sziasztok...segítségre lenne szükségem néhány feladatjoz..ha vki meg tudja oldani ezeket kérem rakja fel vagy vegye fel velem a kapcsolatot.Igazán sürgős lenne mert pénteken ebből zh-t írok.köszi előre is

tehát a feladatok: kocka élén áll ábrázolni Monge féle ábrázolással csúcsán álló , élén álló oktaéder ábrázolása monge féle ábrázolással teraéder lapján , csúcsán és élén áll szintén monge ábrázolással.

[955] HoA	2007-11-28 10:19:55
Úgy látom nem érdekelt senkit, vagy túl egyszerű volt? A súlyvonal tulajdonságából következik, hogy AM=2^.A'O=2^.R^.cos $\alpha$ $R = \frac{AM}{2 \cdot cos \alpha}$ AM hossza és $\alpha$ tehát R-et meghatározza, így a keresett kör középpontok az A körüli R sugarú körön vannak. Ha O-t és az MA irányt rögzítjük, a megfelelő háromszögek A csúcsába mutató sugár vektorok $\phi$ irányszögére - az MA = A'O iránytól mérve $\alpha$ - $\pi$ < $\phi$ < $\pi$ - $\alpha$ , az ábrán barnával jelölt CAB körív. Az MA szakaszt rögzítve a CAB körív minden P pontjába mutató OP vektornak megfelel egy vele ellentétes irányú , a lehtséges Q körülírt kör középpontokba mutató AQ vektor. Így a feladat megoldását az A körüli R sugarú kör azon pontjai adják, melyeknek irányszöge A-ból ( ismét MA irányhoz mérve ) $\alpha$ < $\phi$ <2^. $\pi$ - $\alpha$ ( lila körív )

Előzmény: [944] bohmajster, 2007-11-24 13:12:45

[954] Hajba Károly	2007-11-28 08:11:00
Még mindig kevés az infó. A négyzet melyik egyenese az egyenes és melyik pontja a pont? Mikorra kellene? Péntekre tudnám elkészíteni a segédábrát, de majd az 'ábrázoló geometriában', oda való.
Előzmény: [953] tyotyke, 2007-11-28 07:52:38

[953] tyotyke

2007-11-28 07:52:38

Szia! Igen elhamarkodottan írtam le a dolgokat.Egy pont és egy egyenes két képéről van szó, és ebből kell egy kockát szerkesztenünk, csak a négyzetet azért irtam, mert az már 2-es és onnantól kezdve a magasságvonalak szerkesztésével a kocka csak néhány lépés. Fel kell vennünk egy első fővonalat......stb., leforgatotott háromszögből berajzoljuk a valódi kocka oldalhosszát.....Ezek lépések a szerkesztésből. Remélem igy már érthető!!!:) Köszönöm a segítséget,érdeklődést! Üdv!

[952] HoA	2007-11-27 18:47:11
Szia! Biztos vagy te abban, hogy ez két egyenes és két pont a síkban? Nem egy ábrázoló feladatról van szó és egy pont és egy egyenes két vetületét látjuk? ( Ehhez javasolnám az "ábrázoló geometria" témakört ). És mi a feladat? Hogy kell egy (vagy két?) pontból és egyenesből négyzetet és kockát szerkeszteni? Az ábrázoló esetben el tudok képzelni olyan feladatot, hogy szerkesszünk négyzetet, melynek egyik csúcsa az adott pont, oldalegyenese/átlóegyenese az adott egyenes. Vagy szerkesszünk kockát, melynek egyik csúcsa az adott pont, egyik élének/lapátlójának/testátlójának egyenese az adott egyenes. Ezek egyike a feladat?
Előzmény: [950] tyotyke, 2007-11-27 12:18:55

[951] tyotyke	2007-11-27 12:22:12

[950] tyotyke

2007-11-27 12:18:55

Sziasztok! Végig néztem a forum hozzászólásokat és meg kell hogy állapítsam, hogy itt profik társalognak! Ebből adódóan jött az ötletem, hogy a Ti segítségeteket fogom kérni és remélem segítetek is nekünk! Egy zh feladat megoldására lennénk kiváncsiak, szerkesztővonalak ábrázolásával és némi magyarázattal.A feladat általában egy tetszőlegesen adott két egyenes és két pont a síkban, amiből először egy négyzetet, majd abból egy kockát kell szerkeszteni. Megpróbálom a kiinduló ábrát csatolni, remélem sikerül. Segítségeteket előre is köszönöm!

[949] BohnerGéza	2007-11-26 22:40:07
Jogos! Én is mindenkinek ajánlom a végiggondolását!

Előzmény: [948] HoA, 2007-11-26 15:17:06

[948] HoA	2007-11-26 15:17:06
Nagyon szép megoldás a "ha derékszögű, akkor..." irányra. Használható-e ez vagy hasonló ábra a másik irányra?
Előzmény: [947] BohnerGéza, 2007-11-26 13:20:09

[947] BohnerGéza	2007-11-26 13:20:09
A feladatot a következő érdekes észrevétel miatt tűztem ki: Legyen ABC C-nél derékszögű. Tükrözzünk a C-n nem átmenő szögfelezőkre! Például Ca' a C-nek az A-hoz tartozó külső szögfelezőre való tükörképe. Ekkor AC egyenes képe AB lesz és BC képe a Ca'-n átmenő AB-re merőleges egyenes, amely érint a b és c indexű hozzáírt köröket. ....

Előzmény: [946] HoA, 2007-11-26 10:29:32

[946] HoA	2007-11-26 10:29:32
A másik irány egyszerűbb. Ha a háromszög derékszögű és ismertnek vesszük, hogy a csúcsokból az érintőkörökhöz húzott érintőszakaszok hossza s, s-a, s-b, s-c , akkor az ábrán pirossal jelölt, érintőszakaszokból és sugarakból álló deltoidok itt négyzetek lesznek, ezért $\varrho$ =s-c; $\varrho$ _a=s-b; $\varrho$ _b=s-a; $\varrho$ _c=s és ezért $\varrho$ + $\varrho$ _a+ $\varrho$ _b=s-c+s-b+s-a=3^.s-2^.s=s= $\varrho$ _c

Előzmény: [943] BohnerGéza, 2007-11-22 18:21:24

[945] Python

2007-11-25 12:32:17

Legyenek a háromszög oldalai a, b, c, beírt körésnek sugara r, a hozzáírt körök sugara r_a, r_b, r_c (pl. r_a az a oldalhoz írt kör) ! Tegyük fel hogy pl. r_c=r+r_a+r_b! Felhasználva hogy a t háromszögterületre 2t=r(a+b+c)=r_a(-a+b+c)=r_b(a-b+c)=r_c(a+b-c)

$\frac{2t}{a+b-c}=\frac{2t}{a+b+c}+\frac{2t}{-a+b+c}+\frac{2t}{a-b+c}$

A nevezők a háromszög-egyenlőtlenség miatt pozitívak, felszorozva; 2t-vel osztva

$(a+b+c)\left[(a-b+c)(-a+b+c)+(a+b+c)(a-b+c+-a+b+c)\right]=$

=(a+b+c)(a-b+c)(-a+b+c)

Elvégezve a műveleteket

4c(c²-b²-a²)=0

Itt 4c $\neq$ 0, így c²=a²+b², és ekkor a Pithagorasz-tétel megfordítása miatt a háromszög derékszögű.

Előzmény: [943] BohnerGéza, 2007-11-22 18:21:24

[944] bohmajster	2007-11-24 13:12:45
Legyen adott AM szakasz a síkban és $\alpha$ hegyesszög. Határozzuk meg azon ABC háromszögek körülírt körének középpontjainak halmazát, melyek A csúcsánál az $\alpha$ szög található és az M pont az ABC háromszög magasságvonalainak metszéspontja.

[943] BohnerGéza	2007-11-22 18:21:24
126. feladat:

[942] Bubóka	2007-11-16 17:19:00
Rendi, igyekszem! Köszi!
Előzmény: [939] Hajba Károly, 2007-11-16 15:51:16

[941] Bubóka	2007-11-16 17:17:46
NAgyon szépen köszönöm!!!!!! Elnézést, ha nem voltam elég érthető, de abszolute kezdő vagyok itt.
Előzmény: [940] HoA, 2007-11-16 16:20:18

[940] HoA	2007-11-16 16:20:18
OK, helyesbítek. Tegyük fel, az adatok most már világosak. A feladat tehát így szól 1) "Bizonyítsuk be, hogy nem szerkeszthető meg a hármszög, ha adott $\alpha$ = $\pi$ /2, m_a=1 és f_b=2" , illetve 2) "Bizonyítsuk be, hogy nem szerkeszthető meg a hármszög, ha adott a=1 , m_a=1 és f_b=1" Ha így van, akkor 2) megoldásának egyik lehetséges módja: Az ábra szerint az A csúcs x koordinátájával (a) fejezzük ki x-et és y-t annak alapján, hogy x²+y²=1 és $\frac{1-a}{1} = \frac{1-x}{y}$ Ha jól számoltam, $x = \frac{1-(1-a)^2}{1+(1-a)^2}$ Ezután felírjuk, hogy a felezett szöggel szemközti oldalnak a szögfelező által elvágott két darabja - és így ezek x irányú vetületei is - úgy aránylanak, mint a közrezáró oldalak hossza: $\frac{1}{\sqrt{1+a^2}} = \frac{1-x}{x-a}$ , persze x-et a-val kifejezve, kapunk a-ra egy magasabbfokú egyenletet. Erről kell (lehet?) megmutatni, hogy a megoldás nincs benne az adott adatokból szerkesztéssel elérhető számtestben.

Előzmény: [938] Bubóka, 2007-11-16 14:03:32

[939] Hajba Károly	2007-11-16 15:51:16
Balra fenn van 5 okker gomb és a középsőben TEX tanfolyam. Tanulmányozd, ami mögötte van és fogsz tudni itt is szerkesztett szöveget beírni.
Előzmény: [938] Bubóka, 2007-11-16 14:03:32

[938] Bubóka

2007-11-16 14:03:32

Valószínű nem a felfogásoddal van baj! A feladat az, az amit leírtam a 935 alatt, de sajna csak ennyi:

Bizonyítsuk be, hogy az alábbi háromszögszerkesztési feladatok nem szerkeszthetők euklidészi értelemben! A harmadfokú problémáknál vizsgáljuk, hogy megoldható-e szögharmadoló eszközzel. .... és az adatok.

Nem szerkesztésről van szó. Bocsánat, de nem tudok itt egyszerű szövegen kívűl mást "szerkeszteni", ha pedig vágólapról akarok másolni, akkor nem másolja ugyanazt.

Előzmény: [937] HoA, 2007-11-16 09:26:03

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?