[69] lorantfy | 2003-11-13 23:22:51 |
Az 5. feladatra: még nem írtunk megoldást. Az eredeti szöveg: Adott 100 láda mindegyikben 1000 db 2 grammos 1 forintos, kivéve egyet amiben 1 grammosak az 1 forintosok. Legkevesebb hány mérésből tudjuk eldönteni melyik ládában vannak a selejtes egy forintosok, ha minden láda ugyanúgy néz ki, és csak egy egykarú mérlegünk van.
Aki nem ismeri annak érdemes átgondolni a trükköt: Sorszámozzuk meg a ládákat 1-100-ig és minden ládából tegyünk fel a mérlegre annyi forintost amennyi a láda sorszáma. Ezt mérjük le. Ha minden ládában 2 grammos érmék lennének akkor (1+100)x100 = 10100 grammot kellene mérnünk. Amennyivel kevesebbet mérünk annyi a keresett láda sorszáma.Tehát egy mérés elegendő.
Az eredeti kitűző – Sch Zoli – nehezítése:
15. feladat: Hány mérés szükséges, ha a 100 közül két ládában vannak 1 grammos forintok.
|
Előzmény: [6] SchZol, 2003-11-01 22:12:06 |
|
[68] lorantfy | 2003-11-13 23:16:47 |
Kedves Lajos!
Örülök, hogy feltetted a megoldást. Úgy néz ki a „fiatalok” tényleg nem harapnak erre a témára. A „spin” szóhasználatból arra következtetek, hogy talán Te is olvastad a Fizikai Szemlében megjelent cikket (21 éve) Ha esetleg valakinek meglenne elektronikus formában köszönettel venném:
MARX GY., GAJZÁGÓ É., GNÄDIG P., ZÁMBÓ V.: A bűvös kocka univerzuma - Fizikai Szemle 32 (1982) 73-77
|
Előzmény: [59] Hajba Károly, 2003-11-13 00:09:23 |
|
|
|
[65] Lóczi Lajos | 2003-11-13 18:57:33 |
Álljon itt a háromszöges feladat egy általánosítása: az alapon fekvő szögek a 80o helyett legyenek , a 60o-os BAE szög helyett legyen , a 70o-os ABD szög pedig legyen most ; ezekről tehát azt tesszük fel csak, hogy 0<<90o, 0<<, 0<<. Jelölje továbbá a keresett BDE szöget . A rövidség kedvéért egy x szög tangensét jelölje x.
Ekkor elemi koordinátageometriai érvelés mutatja, hogy
ahol .
Az =80o, =60o, =70o értékeket behelyettesítve, "némi" algebrai egyszerűsítés után például az alábbi alakot kapjuk (ki-ki maga is megpróbálkozhat eljutni idáig):
13. feladat. Bizonyítsuk be, hogy a fenti kifejezés jobb oldala cos 20o.
|
Előzmény: [63] Kós Géza, 2003-11-13 14:25:51 |
|
[64] jenei.attila | 2003-11-13 17:28:42 |
Ötletes a hivatkozott KÖMAL-ban közölt 18 szöges megoldás, bár abban a feladatban az ABD szög 50 fok. Valószínűleg a módszer alkalmazható akkor is, mikor ABD szög=70 fok. Kiváncsi lennék a 18 szöges megoldástól független megoldásra ABD=50 fok esetén.
|
Előzmény: [63] Kós Géza, 2003-11-13 14:25:51 |
|
|
[62] lorantfy | 2003-11-13 13:51:17 |
Kedves Csillag és Attila!
Szép a megoldás! Egy ábrát megérdemel.
|
|
|
[61] jenei.attila | 2003-11-13 10:34:03 |
Szia Csillag!
Szép megoldás, gratulálok. Egy két apróbb megjegyzést tennék. Amikor felírtad, hogy GD=GF=GE, innen már azonnal következik, hogy GDE szög = GED szög = 50 fok, de ADB szög = 30 fok, amiből EDB szög = 20 fok. Csak egy kis egyszerűsítés. Az én megoldásom is hasonló, megtartva a Te jelöléseidet, a következő: DC/GD=CB/CE=AB/GE. A GE félegyenesen vegyük fel H pontot úgy, hogy GH=GC legyen. Ekkor EH=GH-GE=GB-GF=FB=AB. Vagyis DC/GD=AB/GE=EH/GE miatt CH párhuzamos DE-vel. De GCH szög=GHC szög= 50 fok (mivel GC=GH) =GDE szög. EDB szög=GDE szög -ADB szög= 50-30=20 fok. A TeX-hel még nem tudok rendesen bánni, legközelebb azért megpróbálom.
|
Előzmény: [57] Csillag, 2003-11-12 22:20:02 |
|
[60] Hajba Károly | 2003-11-13 00:31:47 |
Ha (46) Jenei Attila geometriai feladata a 10. és (52) Bubu kérdése a 11. akkor
12. feladat: Kössük össze 12 darab, folytonos, a kiinduló pontba visszazáródó és a külső pontsoron túl nem nyúló egyenes szakasszal (azaz egy 12 szakaszból álló hurokkal) az alábbi 49 pontot.
HK
|
|
|
[59] Hajba Károly | 2003-11-13 00:09:23 |
Kedves László!
Úgy tűnik nekem, hogy csak ketten vagyunk jelen abból a generációból, kiket elbűvölt a bűvös kocka, habár jelenleg is kapható. Ezért is ill., hogy Mihály kérésére csökkenjen a megoldatlan feladatok száma, válaszolok a bűvös kockás feladatra.
Megoldás a 9. feladatra:
Az eredeti kockán található oldaléleknek két állásuk lehetséges, alaphelyzet ill. (180°-os) elforgatottság. Nevezzük 0 ill. 1/2 spinnek. Egy rendesen összeállított kocka spinjei mindig egész számot adnak ki, tehát első ránézésre a bűvös hasáb rendellenesen lett összeállítva, ami persze nem igaz, mivel alaphelyzetből és 0 spinnel lett összekeverve.
Ha jobban megnézzük az ábrát, látható, hogy a hasáb forma miatt 4 oldalél "le lett vágva", így azoknak csak egy színűk van, de ha 180°-kal elforgatom, önmagába tér vissza. Így e 4 elemnél a 0 és 1/2 spin teljesen egyformának tűnik. Ha az összekeverés előtt egy aszimetrikus jellel meg lettek volna jelölve, akkor 1 vagy 3 elem 1/2 spin elfordulást mutatna.
Hajba Károly
|
Előzmény: [43] lorantfy, 2003-11-08 15:50:59 |
|
[58] lorantfy | 2003-11-12 22:31:25 |
Kedves Lajos!
Nekem az 1 km helybenjárás kelet felé az nem tetszik, de miközben gondolatban ráhúztál a határesetre megálltál-e n-szer az 1/n sugarú köröknél és beidomítottad-e a medvét, hogy menjen körve n-szer kelet felé? Mert ha igen tiéd a Nagy Polarbear emlékérem. Persze mindig kicsit közelebbről kell elindítani a medvét. ( A felülnézeti ábrán a távolságok nem arányosak!)
Sirpinek gratula a jó ötletért!
|
|
|
[57] Csillag | 2003-11-12 22:20:02 |
Üdv Mindenkinek!
Sajnos ábrát nem tudok rajzolni, de egy megoldást elmondok a geometria példához: E tükörképe a C-nél levő szögfelezőre G. A C-nél levő szögfelező és az AE metszéspontja F. GD=GF, mert
(szögfelezőtétel többszöri felhasználása, GCB=GBC=20o)
Tehát GD=GF=GE=FE(mert GEF szabályos háromszög). BGA=40,FGD=140,GDF=20,DF||CB,FDB=DBC=10,DGE=80,GDE=50,BDE=GDE-GDF-FDB=20.
Vagyis a keresett szög 20 fokos.
GB
|
Előzmény: [46] jenei.attila, 2003-11-10 10:44:46 |
|
[56] Lóczi Lajos | 2003-11-12 19:38:44 |
Tetszetős ez a megoldás... Kérdezném, kinek mi a véleménye e megoldás alábbi határesetéről: az északi sarkponttól 1 km-re délfelé kezdi meg az útját; 1 km-t északra haladva bejut az É sarkra, kelet felé onnan nem tud (mert nem lehet) haladni, tehát nem mozdul, majd dél felé 1 km-t ballag és visszajut a kezdőpontba.
Azaz, elfogadjuk-e "1 km keletre haladásnak" azt, ha valahol nem lehet kelet felé haladni.
Másik megjegyzésem: hogyan lehetne (formálisan, esetleg rajz nélkül) bizonyítani, hogy több lehetséges útvonal nincsen? (Hiszen az első megoldás is meggyőzőnek tűnt.)
Azzal is érdekes -- és minden bizonnyal sokmegoldású -- feladatokat lehetne gyártani, ha pl. a megtett távolságok összemérhetők/meghaladják a bolygó (fél)kerületét.
|
Előzmény: [55] Sirpi, 2003-11-12 14:58:22 |
|
[55] Sirpi | 2003-11-12 14:58:22 |
Lorybetti: a feltételek csak úgy teljesülhetnek, ha a medve kezdetben pontosan a déli sarkponton áll, majd halad É fele, K fele és D fele és visszajut a déli sarkpontra.
Nem csak így lehet... Vegyünk az északi sarkpont közelében egy olyan szélességi kört, aminek kerülete osztja az 1km-t, és a kiindulópont ettől 1km-rel délre legyen. Ebben az esetben az É, K, D út triviálisan a kezdőpontba vezet, és akkor mégse pingvint találtunk :-) Vagyis az eredeti feladat is értelmes, nem kell permutálni az irányokat.
S
|
Előzmény: [50] lorybetti, 2003-11-10 22:23:48 |
|
|
|
[52] Bubu | 2003-11-12 01:14:45 |
Rendbonto leszek, elnezest erte... Szoval a billiardgolyos feladat (amit egyebkent anno GY peldakent lekuzdottem:)) egy kulonleges matematikai kepzettseggel nem biro (erettsegi), de egyebkent feletteb intelligens rokonomat "megihlette". Azt allitja, hogy 5 meressel 12 golyobol ki tud valasztani 2 db eltero tomegut! Precizebben: van 12 kulsore egyforma golyo. 10 tomege megegyezik, kettoje elter (hogy milyen "iranyban" es mennyire, azt nem tudjuk). Egy ketkaru merleg segitsegevel valasszuk ki a ket kulonc golyot ot meressel. A megoldasrol sejtelmem sincs, de a hetvegen fogok vele foglalkozni. Aki barmilyen reszeredmenyt/otletet tud, az mailezzen legyen szives!
|
|
[51] lorantfy | 2003-11-11 23:00:51 |
A tevés feladat megoldása:
Az osztószámok: k , l, m, a tevék száma: n és k < l < m < n.
A végakarat teljesítésének szükséges feltétele a kölcsönkért 1 tevével:
Mindkét oldalt elosztva (n+1) –el és –et mindkét oldalhoz hozzáadva:
Ezt az egyenletet kell megoldanunk a 0 < k < l < m < n+1 : egész számok feltétellel.
Látszik, hogy k = 2, ugyanis k = 3 esetén a lehető legkisebb l, m, n+1 értékekre is az összeg 1-nél kisebb:
Már csak három ismeretlenünk van:
emiatt l lehetséges értékei: l = 3, l = 4
Kezdjük l = 3–mal:
és 6 < m < 12 ( az összeg felének reciprokánál kisebb)
Tehát (m-6) osztója 36-nak.
m = 7, n+1 = 42, n = 41 jó megoldás,
m = 8, n+1 = 24, n = 23 jó megoldás,
m = 9, n+1 = 18, n = 17 jó megoldás,
m = 10, n+1 = 15, n = 14 NEM jó megoldás, mert nem egész szám.
l = 4 a következő eset
és 4 < m < 8 ( az összeg felének reciprokánál kisebb)
Tehát (m-4) osztója 16-nak.
m = 5, n+1 = 20, n = 19 jó megoldás,
m = 6, n+1 = 12, n = 11 jó megoldás.
Összesen 5 megoldást találtunk!
|
|
[50] lorybetti | 2003-11-10 22:23:48 |
Kedves Fálesz Mihály!
Egyetértek Veled, így szeretném csökkenteni a megoldatlan példák számát.A medvés példa- Fizban 22.es hozzászólása A szöveg így szólt: "Elindul Észak felé, és megy 1 km-t. Ezután elfordul Kelet felé, és megint megtesz 1 km-t. Aztán Délnek fordul, és -ki gondolta volna- megtesz még 1 km utat. Ezután a medve visszajut a P pontba."
A feladat megoldása: a feltételek csak úgy teljesülhetnek, ha a medve kezdetben pontosan a déli sarkponton áll, majd halad É fele, K fele és D fele és visszajut a déli sarkpontra. Tartok töle, hogy Fizban rosszul írta az irányokat, mert így a medve fekete-fehér színű és Pingvin névre hallgat. Ha jegesmedvéről lenne szó-ami persze fehér: az irányok sorrendje: D, K és É vagy K, É, D vagy É, D, K (utóbbi két esetben csak érinti az északi sarkpontot)
Értékes megjegyzés: A medve olyan gömbi háromszögben mozog, melynek minden szöge derékszög. Lehet hogy Bolyait is ez ihlette meg?
|
|
[49] Fálesz Mihály | 2003-11-10 18:10:51 |
Sziasztok,
Kicsit kezdenek elburjánzani a meg nem oldott feladatok. Pillanatynilag a következőkre nincs még teljes megoldás:
-- 2. feladat (9 pont), 2. hozzászólás
-- 3. feladat (emberevők) [3]
-- 5. feladat (100 láda pénz) [6]
-- milyen színű a medve [22]
-- tevék [26]
-- Rubik-hasáb [43]
-- mekkora az EDB szög [46-47]
Összesen 7, ami túl sok. Azt javaslom, hogy most egy darabig ne írjunk új feladatokat, inkább ezekere lássunk megoldást, és a továbbiakban is törekedjünk arra, hogy ne legyen egyszerre - mondjuk - háromnál több megoldatlan feladat.
F.M.
|
|
[48] Sirpi | 2003-11-10 14:18:59 |
Ez a szummafelcserélés tökéletes megoldás, gratula, én is így csináltam (mellesleg azért nem így adtam fel, mert így sokkal könnyebb, csupán a 2, 3, 5, 8 kitevőket kivéve szerintem nehezebb feladatot kapunk.
|
Előzmény: [40] Pach Péter Pál, 2003-11-07 23:14:59 |
|
[47] lorantfy | 2003-11-10 11:21:06 |
Egy ábra a lenti feladathoz. (Imádom az Euklides programot!)
|
|
|
[46] jenei.attila | 2003-11-10 10:44:46 |
Egy geometria feladat: Az ABC egyenlő szárú háromszög AB alapon fekvő szögei 80 fokosak. A-ból az alappal 60 fokos szöget bezáró egyenes a BC szárat E pontban, B-ből az alappal 70 fokos szöget bezáró egyenes az AC szárat D pontban metszi. Mekkora az EDB szög?
|
|
[45] Hajba Károly | 2003-11-10 01:19:09 |
> köszönöm, hogy ilyen szép táblázatos formában feltetted az eredményt
Tanulom a TeX-et. :o)
> Te biztosan emlékszel még a RUBIK kockára
Mi az, hogy emlékszem! Engem a gimi 3. osztályában ért (ma 11. o.), s a kockám nemegyszer a tanári asztalon vészelte át az óra második felét több más kockával egyetemben. Így az ábrád öt percnyi tanulmányozása után rájöttem a "trükk"-re, de hagyok mást is gondolkodni.
|
Előzmény: [43] lorantfy, 2003-11-08 15:50:59 |
|