|
[952] jonas | 2005-06-05 20:39:58 |
Megpróbálom.
Tegyük fel, hogy az f folytonos függvény az egész R-en értelmezett, és minden értéket pontosan kétszer vesz fel.
Vegye fel az y0 számot az x0 és x1 pontokban, ahol x0<x1. Tekintsük az (x0,x1) intervallumot! Mivel itt f nem veszi fel x0-t, vagy csak y0-nál nagyobb, vagy csak y0-nál kisebb értéket vesz fel. Szimmetriaokokból tegyük fel, hogy csupa nagyobbat vesz fel. Ezen a középső intervallumon a függvénynek van maximuma, mégpedig az x2 pontban, ahol f(x2)=y2.
Legyen y3 a másik pont, ahol f(y3)=x2. A szimmetria miatt feltehetjük, hogy y2<y3
Két eset lehetséges.
Vagy x2<x3<x1, de ekkor az (y2,y3) intervallumban f értéke kisebb y2-nél, de nagyobb y0-nál. De az ilyen értékeket f a közbülsőérték-tétel miatt az (y0,y2) és az (y3,y1) intervallumon is mind felveszi, tehát legalább három helyen is, ami ellentmondás.
Ha viszont x1<x3, akkor f az (y0,y2), (y2,y1) és az (y1,y3) intervallumon is felveszi az összes (x2,x3)-beli értéket, ami lehetetlen.
|
Előzmény: [951] Lóczi Lajos, 2005-06-05 19:29:33 |
|
|
|
[949] Lóczi Lajos | 2005-06-04 15:56:10 |
Igen, igazad van, a [946]-ban kétszer is tévedtem: persze "-" helyett ott "+"-t akartam írni, másrészt rosszul láttam, hogy "nem igaz" -- szerintem is jó a képlet, amit írtál.
|
Előzmény: [948] 2501, 2005-06-03 19:49:31 |
|
[948] 2501 | 2005-06-03 19:49:31 |
Megpróbálom indokolni, hogy
(ahol az alsó egészrész) szerintem miért működik. Bontsuk fel két függvény összegére:
grafikonja egy n hosszúságú "fokokból" álló, növekedő "lépcső", melyben a "fokok" az egészeknél kezdődnek. tulajdonképpen x törtrésze (írhattam volna -et is), tehát a grafikonja negyvenöt fokos, és 1 magas "sörtékből" áll. A kettő összegének grafikonján a "sörték" rákerülnek a "lépcsőfokokra", és minden fokon éppen n darab lesz.
|
Előzmény: [944] 2501, 2005-06-02 21:51:06 |
|
|
[946] Lóczi Lajos | 2005-06-03 16:48:28 |
175. feladat. Adjunk meg olyan folytonos valós függvényt, amelynek értelmezési tartománya az egész számegyenes és minden értéket pontosan kétszer vesz fel.
|
|
[945] Lóczi Lajos | 2005-06-03 16:45:44 |
(A kérdőjeles egyenlőség nem igaz.)
Másrészt nem is működnek jól a képletek, pl. a bal oldali esetén (ha [.] jelöli az alsó egészrészt (=floor)), akkor pl. a felet 3-szor veszi fel, de az egész értékeket csak kétszer.
|
Előzmény: [944] 2501, 2005-06-02 21:51:06 |
|
[944] 2501 | 2005-06-02 21:51:06 |
Aggodalomra semmi ok, mára befejeztem.
|
|
[943] 2501 | 2005-06-02 20:57:45 |
Megint nem jó, csak f2(x) jó. :o(
|
|
[942] 2501 | 2005-06-02 20:43:40 |
Ahol floor(x) az a legnagyobb egész szám, amely nem nagyobb x-nél. Így biztosan jó.
|
|
[941] 2501 | 2005-06-02 19:38:23 |
Mégsem jó, pl. f2(x) három helyen 0. :o)
|
|
[940] 2501 | 2005-06-02 19:07:11 |
174.
fn(x) = x - [x] mod n
Ez leírja az egész függvénycsaládot. Legalábbis most jónak tűnik. :o)
|
|
[939] Lóczi Lajos | 2005-06-01 13:40:51 |
174. feladat. Adjunk meg olyan valós függvényt (ha van), amelynek értelmezési tartománya is és értékkészlete is az egész R, és minden értéket pontosan
a.) kétszer
b.) háromszor
c.) négyszer
vesz fel.
|
|
[938] Lóczi Lajos | 2005-05-18 21:12:23 |
173. feladat. Adjuk meg az összes olyan pozitív x,y,z számot, melyekre teljesül, hogy
xy=yz=zx.
(A feladat más, mint a régebbi hasonló kinézetű társa.)
|
|
[937] Lóczi Lajos | 2005-05-18 15:56:07 |
A "nem létezik" helyett persze jobb "nem létezik véges"-et mondani. (Én talán annyival gondoltam egyszerűbbre, hogy f(x)=1 és is megfelelnek ellenpéldaként a 171. feladatban.)
Ennyi előkészítés után végre következhet a tényleges feladat.
172. feladat. Legyenek f és g olyan, az egész számegyenesen értelmezett, deriválható függvények, hogy és .
Igaz-e, hogy ekkor ?
|
Előzmény: [936] nadorp, 2005-05-18 07:50:32 |
|
[936] nadorp | 2005-05-18 07:50:32 |
Úgy látszik, az analízis nem túl népszerű. Az alábbi megoldás biztos nem a legegyszerűbb, de általános.
A válasz nem, ugyanis legyen p(x)az egész számegyenesen deriválható függvény, és tegyük fel, hogy ( ilyen pld. e-x).
Legyen f(x)=ep(x)-p(x) és g(x)=p(x). Ekkor:
nyilván nem létezik, viszont
|
Előzmény: [934] Lóczi Lajos, 2005-05-10 16:57:48 |
|
|
[934] Lóczi Lajos | 2005-05-10 16:57:48 |
Rendben, gondoltam, hogy ezzel semmi gond nem lesz. Akárcsak ezzel:
171. feladat. Tegyük fel, hogy . Igaz-e, hogy ekkor ?
(Ezután már csak egy variánsom lesz, ami az igazi feladat.)
|
Előzmény: [931] nadorp, 2005-05-10 11:05:27 |
|
[933] levi | 2005-05-10 13:52:19 |
nem tud vki vmi olyan könyvet/bármit ami a 4,5,...dimenziós geometriával foglalkozik? elkezdett érdekelni a dolog, gondoltam itt biztos tud vki vmi ilyet ajánlani...
|
|
|
|
[930] neo | 2005-05-10 01:07:15 |
Http://matek2005.fw.hu
|
|
[929] Lóczi Lajos | 2005-05-10 00:23:57 |
Gratulálok, nekem is ezek az értékek jöttek ki (bár én sehol sem használtam geometriai meggondolásokat -- vannak példák arra, hogy az analógiáink magas dimenzióban nem működnek), úgyhogy azért a többieknek is maradhat még annyi a feladatból, hogy vagy igazoljuk a geometriai érvelésedet, vagy geometriától függetlenül oldjuk meg a problémát.
|
Előzmény: [928] levi, 2005-05-09 23:50:42 |
|