Fórum: Érdekes matekfeladatok

Legyen f az egész számegyenesen értelmezett deriválható függvény és tegyük fel, hogy az

határérték létezik és véges.

Igaz-e, hogy létezik a

határérték? Véges-e? Igaz-e, hogy A=B? Igaz-e, hogy

Szia! A (c)-t meg lehet oldani úgy is, hogy mindhárom alakzat 8-szög (és összefüggő és mindent szét lehet szedni).

A (b) ennyire nem "bonyolult". Persze nem egyszerű, és nem tudom hogy lehet rájönni. Én megoldással együtt láttam a feladatokat. Aki szeretné, itt egy segítség.

Az összefüggőséget tényleg meg lehet oldani, valahogy így. Ez akkor feltehetően a (c) kérdésedre lenne a válasz, kivéve, hogy nem lehet mind a három darabot szétszedni.

A (b) kérdésre feltehetően valami olyasmit lehet csinálni, mint a kínai karikáknak a címer alakú fadarabokból álló változata. A plusz feltételeidet talán úgy lehetne megoldani, hogy mindig újabb, bonyolultabb példányt helyezünk el a régi rejtvény mellé egyre kisebb méretben.

Nem megy ez ma. Szóval, az elrendezés foglalható be egy konstans sugarú körbe. És mondjuk legyen még egy feltétel, hogy az n+1 elemű elrendezés egy alakzat hozzávételével keletkezik az n eleműből (a többi változatlan helyen és méretben marad).

Valóban

Sziasztok!

Éreztem, hogy nem vagyok elég pontos :-(

Sirpi: 1 mozgatás := 1 eltolás (tetszőleges hosszú vektorral) vagy 1 forgatás (tetszőleges középpont körül tetszőleges szöggel) De amúgy ugyanaz a válasz mindhárom kérdésre akkor is ha forgatást nem engedünk meg, csak eltolást.

Jonas: Ügyes példa! És meglehet csinálni összefüggő darabokkal is (a többinél is ugyanaz a válasz, akkor is ha feltesszük, hogy összefüggőek a darabok).

A b. példában valami olyasmit akartam megfogalmazni (nem sikerült), hogy ne azért legyen nagy a lépésszám, mert "nagyok a távolságok" az elrendezésben. Pl. Jonas példájában sok lépés kell, de ehhez kellett egy nagyon hosszú alakzat (a zöld). Valahogy az alakzatok egymáshoz viszonyított arányát akartam megfogni (A "legkisebb alakzat" helyett persze azt kellett volna írnom, hogy "mindegyik alakzat" de így is hülyeség).

b. még egyszer, másképp:

- S(n) exp.

- Mindegyik alakzat egy < 100 oldalú sokszög.

- Az alakzat belefoglalható egy 100 sugarú körbe.

Ez mondjuk így nem működik, mert nem lehet minden darabot szétszedni.

A képen látható szerkezet három darabból áll, és ha elég hosszúra csináljuk, csak nagyon sok lépésben lehet a piros darabot kiszedni. Ha még hozzáveszünk mindhárom darabhoz egy nagy kört úgy, hogy ne akadályozza a darabok mozgatását, de azért nagyon távol se legyen, akkor meg lehet oldani az átmérős feltételt is.

A (b) kérdésre. Ha minden idomban elhelyezhető egy r sugarú kör, de az egész elrendezést magába foglalja egy R sugarú kör, ahol R/r konstans, akkor nyilván konstans sok idom van, mert több kis kör nem fér el a nagy körben. Így aztán az eredeti kérdést pontosítanod kéne.

Azt kell először eldönteni, hogy ilyen feltétellel konstans sok idommal lehet-e tetszőlegesen nagy minimális lépésszámot elérni. Ha nem szükséges, hogy az idomok összefüggőek legyenek, akkor szerintem lehet.

Azt, hogy “a legkisebb síkidomban elhelyezhető egy r sugarú kör”, úgy érted, hogy minden síkidomban elhelyezhető egy ilyen kör? Mert a legkisebb nem egész egyértelmű.

Pontosan mit értesz mozgatáson? Ha két síkidomom van, az egyik egy egységnégyzet, a másik pedig egy egységnégyzetekből kirakott labirintus (a négyzetek alkotják a falakat), és berakom a kisnégyzetet valahova a labirintus belsejébe, akkor ezt a konfigurációt 1, vagy csak nagyon sok mozgatással tudom szétszedni? Tehát a mozgatás történhet tetszőleges pályán vagy csak egyenesen? Lehet-e forgatni szétszedés közben?

Amúgy valami ilyesmivel biztos el lehet érni exponenciális hosszt.

504.feladat Helyezzünk el n db síkidomot a síkon. Legyen S(n), hogy hány db mozgatással tudjuk őket "szétszedni" (akkor mondjuk, hogy szét vannak szedve, ha 1 eltolással bármely 2 egymástól bármilyen messzire elvihető). Van-e olyan elhelyezés alkalmas síkidomokra, hogy:

a. S(n) n polinomja, de annak eldöntése, hogy szétszedhető-e NP-teljes

b. S(n) nagyságrendje eⁿ. Továbbá a legkisebb síkidomban elhelyezhető egy r sugarú kör, az elhelyezést magában foglalja egy R sugarú kör és R/r konstans (nem függ n-től)

c. n=3, K tetszőleges poz. egész és S(n)>K

A legkisebb olyan kezdőérték, amelyből indulva kettes ciklusba kerülünk, az n=40. (Itt elég 11 lépés.)

Van egyáltalán kettes ciklus? A fórumon szerintem még nem szerepelt.

Csak annyi a lényeges, hogy C(x)=n, (nem érdekes, hogy fixpontnál x=n). Mert akkor n csak nagyon kevés féle szám lehet, konkrétan binomial(d+9,9), ha n legfeljebb d jegyű. Ez d=21-re is csak 14307150 (ha x az hosszabb, mint 21 jegy,akkor C(x)<x, így nem lehet fixpont), ez pedig egy perc alatt végignézhető. Egy gráf is építhető, élnek egy (x,C(x)) felel meg. Hosszabb ciklusok keresése is ugyanígy mehet, tulajdonképpen az összes kört is megkereshetnénk, diszjunkt irányított körök (esetleg kettő hosszúak) és hurokélek uniójára esik szét a gráf, hiszen minden kifok 1 a gráfban. (minden 21-nél hosszabb szám elég sok iteráció után 21-nél rövidebbre esik, így itt is elég ezeket nézni).

Kíváncsi lennék, hogy a fixpontokat milyen egyszerűsítési feltevésekkel/esetszétválasztásokkal/algoritmussal állítottad elő konkrétan.

Találtál esetleg menet közben 2-nél hosszabb ciklust? (Én eddig csak ilyenre bukkantam rá.)

Hopp, csak úgy rákerestem egy tagra a google-al, és az első találat Sloane online adatbázisában levő A047841 sorozat volt. Aszerint is 109 fixpont van.

10-es számrendszerben összesen 109 fixpont van, éspedig:

22,10213223,10311233,10313314,10313315,10313316,10313317,10313318,10313319,21322314, 21322315,21322316,21322317,21322318,21322319,31123314,31123315,31123316,31123317,31123318, 31123319,31331415,31331416,31331417,31331418,31331419,31331516,31331517,31331518,31331519, 31331617,31331618,31331619,31331718,31331719,31331819,1031223314,1031223315,1031223316, 1031223317,1031223318,1031223319,3122331415,3122331416,3122331417,3122331418,3122331419, 3122331516,3122331517,3122331518,3122331519,3122331617,3122331618,3122331619,3122331718, 3122331719,3122331819,10413223241516,10413223241517,10413223241518,10413223241519, 10413223241617,10413223241618,10413223241619,10413223241718,10413223241719,10413223241819, 41322324151617,41322324151618,41322324151619,41322324151718,41322324151719,41322324151819, 41322324161718,41322324161719,41322324161819,41322324171819,1051322314251617, 1051322314251618,1051322314251619,1051322314251718,1051322314251719,1051322314251819, 1051322325161718,1051322325161719,1051322325161819,1051322325171819,5132231425161718, 5132231425161719,5132231425161819,5132231425171819,5132232516171819,106132231415261718, 106132231415261719,106132231415261819,106132231426171819,106132231526171819, 613223141526171819,1011112131415161718,1011112131415161719,1011112131415161819, 1011112131415171819,1011112131416171819,1011112131516171819,1011112141516171819, 1011113141516171819,1111213141516171819,10713223141516271819,101112213141516171819

Ezzel kapcsolatban érdekes volt megfigyelni azt, hogy a legkisebb fixpontok minden számrendszerben csupa egyforma számjegyből állnak. (Vajon ezt a tényt külön be lehetne/lehetett volna látni a konkrét értékek ismerete nélkül?)

Kicsit átírtam a progit, hogy más számrendszerekkel is menjen. Ezeket találtam a kül. számrendszerekre:

2-es: 111, 1101001

3-as: 22, 10111, 11112, 100101, 2021102, 1011122, 10010122

4-es: 22, 1011112, 1011113, 1111213, 10213223, 10311233, 101112213

5-ös: 22, 10213223, 10311233, 10313314, 21322314, 31123314, 101111x1y (1<x<y), 10111221314

Elvileg ezekre nincs is más megoldás.

10-esre ezek a legfeljebb 8-jegyű megoldások, itt is csak pár sorozat van (3<x<y): 22, 10213223, 10311233, 1031331x, 2132231x, 3112331x, 31331x1y

És ugye igaz, hogy ha van olyan megoldás, ahol minden darabszám egyjegyű, akkor az minden magasabb számrendszerben is megoldás lesz.

Nem írtam át a progit a 2-es számrendszer kezelésére (amúgy is csak otthon van meg, ezt meg a villamoson agyaltam reggel fejben). De akkor kicsit kipofozom majd.

Érdekes, azt gondoltam, hogy a kettes számrendszerbeli kis megoldásokat számítógéppel könnyen megtalálod. Van pontosan egy kisebb is a 1101001-nél.

Ez a C függvény más számrendszerek esetén is érdekes lehet. Pl. 2-es számrendszernél szenvedtem egy kicsit, mire összehoztam a 1101001 számot (tudtok még?). Itt ugyanis nem megy a 22, mint legkisebb megoldás, ami minden más számrendszernél működik.

Igen, pont erre én is rátaláltam véletlenül, és 5 perc kísérletezés után sem találtam nagyobbat :)

Egy nagy fixpont például a 101112213141516171819. Azt nem mondom, hogy nincs ennél is nagyobb.