Fórum: Valaki mondja meg!

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93]

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.

[1724] Fálesz Mihály

2012-03-23 10:45:42

A minimum egyszerűen kijön a számtani-mértani közepekből és a $|\sin x+\cos x|\le\sqrt2$ egyenlőtlenségből.

$2^{\sin x}+2^{\cos x} \ge 2\sqrt{2^{\sin x}\cdot2^{\cos x}} \ge 2^{1-\sqrt2/2}.$

Előzmény: [1718] Lóczi Lajos, 2012-03-21 21:33:58

[1723] TLevi	2012-03-23 10:31:49
Igen...megneztem az [1705]-ot, de meg jobban kodben talaltam magam...
Előzmény: [1712] SmallPotato, 2012-03-19 08:54:53

[1722] spongya

2012-03-22 23:24:12

"Ha sikerülne elemi eszközökkel belátni, hogy 2^sin(x) alulról konkáv, ..."

Nekem + az jött ki, hogy $[0;\frac13]$ -ban 2^sin(x) alulról konvex. Sőt, a konvexitási tartomány jobbra még kicsit szélesíthető is. Vagy rosszul látom?

Előzmény: [1720] HoA, 2012-03-22 20:05:27

[1721] Lóczi Lajos

2012-03-22 22:56:02

Valamilyen a>1 esetén tekintsük az a^sin (x)+a^cos (x) függvényt a [0,2 $\pi$ ) intervallumon. Ha pl. a=2, akkor f-nek pontosan 2 szélsőértékhelye van.

Van olyan a>2 érték, amikor ez nem igaz? Mi az "első" ilyen kritikus érték?

[1720] HoA	2012-03-22 20:05:27
Mivel cos(x)=sin( $\pi$ /2-x) , a két tagfüggvény egymás tükörképe az x= $\pi$ /4 egyenesre, összegük erre a tengelyre szimmetrikus. Ha sikerülne elemi eszközökkel belátni, hogy 2^sin(x) alulról konkáv, akkor mindkét tagfüggvény meredeksége folyamatosan csökken [0; $\pi$ /2] -ben , így összegüké is, ami a szimmetria miatt $\pi$ /4 -beli maximumot jelent.
Előzmény: [1719] Hölder, 2012-03-22 12:21:33

[1719] Hölder	2012-03-22 12:21:33
Én egy kicsit máshogy közelítettem meg a dolgot, bár el kell ismerjem, először én is úgy próbáltam, mint te. Szóval 2 a sinx-ediken /(sinx) = 2 a cos x-ediken /cosx (nyilván sinx= 0 és cosx=0 nem jöhet szóba, ezért nyugodtan oszthatunk vele).És itt érdemes bevezetni a g(x) =2 az x-ediken /x függvényt, ezt vizsgálni a [-1,1]-ban, hiszen az argumentumok sinx és cos x. Ha megnézed, ennek 1/ln 2-ben lesz szélsőértéke, ami 1-nél nagyobb, tehát előtte monoton a függvény, amiből adódik, hogy sinx=cosx, azaz tgx=1, innen jönnek a szélsőértékek, de ez sajnos nem elemi megoldás, és valahogy úgy érzem valami nagyon trükkös elemi megoldás is van, csak én nem találtam meg. Amúgy hogy lehet itt matematikai dolgokat beírni?
Előzmény: [1718] Lóczi Lajos, 2012-03-21 21:33:58

[1718] Lóczi Lajos

2012-03-21 21:33:58

Érdekes, hogy deriválással könnyen meghatározható az 5 $\pi$ /4-nél lévő minimum (csak egy Bolzano-tétel -- ez az a szélsőérték, ami neked is kijött már elemi módszerekkel), de a $\pi$ /4-nél lévő maximummal meg kellett egy kicsit küzdenem.

Vagyis a kérdésem az, hogy hogyan lehetne minél egyszerűbben belátni, hogy a

tg(x)=2^{sin (x)-cos (x)}

egyenletnek a [0,2 $\pi$ ] intervallumban pontosan 2 gyöke van? (Az x $\in$ ( $\pi$ /2,2 $\pi$ ] intervallum tehát könnyű, ami szerintem nem látszik egyszerűen, az az x $\in$ [0, $\pi$ /2) tartomány.)

Előzmény: [1717] Hölder, 2012-03-20 20:46:47

[1717] Hölder	2012-03-20 20:46:47
Igen, erről. köszi, hogy beírtad. ha valakinek van megoldása, azt szívesen olvasnám (elemi bizonyítás).
Előzmény: [1716] Sirpi, 2012-03-20 11:20:00

[1716] Sirpi

2012-03-20 11:20:00

Tehát erről lenne szó?

2^sin x+2^cos x

Előzmény: [1715] Hölder, 2012-03-20 10:31:26

[1715] Hölder

2012-03-20 10:31:26

Sziasztok!

Van egy feladat, amire próbáltam elemi (differenciálás nélküli) megoldást is keresni, de nem találtam. Ha nektek van megoldásotok, amiben pl. közepek, Jensen-egyenlőtlenség szerepel, stb., tehát elemibb eszközök, akkor azt ossza meg velem is.

A feladat: keressük meg a 2 a sin x-ediken +2 a cos x-ediken függvény maximumát!

megjegyzés: a minimumra van elemi megoldás (közepek), a maximumot pedig "nyilván" 45 foknál veszi fel.Elnézést, hogy nem szépen írtam be a feladatot.

[1714] Róbert Gida	2012-03-19 16:08:26
De, igazad van.
Előzmény: [1713] Sirpi, 2012-03-19 08:56:23

[1713] Sirpi	2012-03-19 08:56:23
Ezt nem úgy értetted, hogy a_i a normális szám első i tizedesjegyéből alkotott szám legyen?
Előzmény: [1709] Róbert Gida, 2012-03-18 23:21:44

[1712] SmallPotato	2012-03-19 08:54:53
[1705]-öt nézted?
Előzmény: [1711] TLevi, 2012-03-19 07:12:46

[1711] TLevi	2012-03-19 07:12:46
Az [1691] - es egyenletet kell nezni..
Előzmény: [1702] jonas, 2012-03-16 20:47:33

[1710] Sirpi	2012-03-18 23:56:27
Köszi! A 7,5 elég jónak tűnik annak ismeretében, hogy a 9-jegyű számokig én is hasonló értékeket kaptam a hsz-emben.
Előzmény: [1708] Kemény Legény, 2012-03-18 20:35:35

[1709] Róbert Gida	2012-03-18 23:21:44
Például a normális számokra A=B=4.5 http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_number (az a_i ekkor a normális szám i-edik számjegye legyen).
Előzmény: [1706] Sirpi, 2012-03-17 23:21:36

[1708] Kemény Legény

2012-03-18 20:35:35

733...3²=5377...7288...89

még jobb választás, erre B $\ge$ 7.5 jön ki. Ez már közel lehet a megoldáshoz, ugyanis az OEIS adatbázisban A069665 néven további elemei is meg vannak adva a sorozatnak, amik kb. ilyen átlagot produkálnak (de nincs semmi dokumentum a további referenciák között).

Előzmény: [1707] Kemény Legény, 2012-03-18 20:27:15

[1707] Kemény Legény

2012-03-18 20:27:15

Nem biztos, hogy közelebb visz a megoldáshoz - már ha egyáltalán megválasztható a kérdés - de négyzetszámok esetén B $\ge$ 6, ugyanis

533...3²=2844...4088...89,

ahol n db 3-as követi az 5-öst, illetve n-1 db 4-es és 8-as van egymás mellett az eredményben. Talán szerencsésebb próbálkozással ennél jobb is található, idő hiányában nem vizsgáltam tovább, amint 4.5-nél jobbat találtam, megálltam.

Előzmény: [1706] Sirpi, 2012-03-17 23:21:36

[1706] Sirpi

2012-03-17 23:21:36

Találtam egy új problémát, nem tudom, mennyire van kivesézve.

Legyen a₁,a₂,... egy végtelenbe tartó egész számsorozat, és számjegyátlagának liminf-je legyen A, limsup-ja B.

Ekkor nyilván 0 $\leq$ A $\leq$ B $\leq$ 9, de nevezetes sorozatoknál tudunk ennél többet is mondani?

Például ha a_n=n², akkor A = 0, és B $\geq$ 4,5, de B-re van jobb? Az 1, 2, stb. jegyű számokra a maximális számjegyátlag így alakul (optimum, számjegyátlaga):

9 9.000000

49 6.500000

289 6.333333

6889 7.750000

97969 8.000000

698896 7.666667

9696996 7.714286

79869969 7.875000

876988996 7.777778

És ha a_n=2ⁿ, arra tud valaki bármi építő jellegűt?

[1705] SmallPotato	2012-03-16 21:23:22
Itt találsz egy számítási segédletet; a paramétereket beírva azonnali eredményt kapsz.
Előzmény: [1700] TLevi, 2012-03-16 11:07:46

[1704] SmallPotato

2012-03-16 21:21:14

Gyanús volt a képlet, utánakerestem (ha már a közzétevő titkot csinál belőle).

A Colebrook–White-képletről van szó; a D az egyenértékű csőátmérő (teljes keresztmetszetben kitöltött cső esetében a valódi belső átmérő); Re a Reynolds-szám, amely a viszkozitás, a csőátmérő és az áramlási sebesség függvényében több nagyságrendet fog át.

A legszebb, hogy a szócikkben szerepel is, hogy az egyenlőséget a $\lambda$ csősúrlódási tényező iteratív kiszámítására használják.

Előzmény: [1703] jonas, 2012-03-16 20:50:24

[1703] jonas	2012-03-16 20:50:24
Várj csak, most sem a D, sem a Re nem konstans? Azt legalább tudod, nagyjából milyen tartományban változhatnak?
Előzmény: [1700] TLevi, 2012-03-16 11:07:46

[1702] jonas	2012-03-16 20:47:33
Azért még egy kérdésem van. A [1691] vagy a [1690] egyenletet kell nézni? Esetleg külön-külön mindkettő érdekel? Kemény Legény az előbb észrevette, hogy ezek különböznek.
Előzmény: [1700] TLevi, 2012-03-16 11:07:46

[1701] Lóczi Lajos

2012-03-16 13:23:44

A válasz már kétszer elhangzott korábban a kérdésedre: nincs "egyszerű megoldás erre az egyenletre", csak olyan, amelyik speciális függvényt tartalmaz. (És ez nem azon múlik, hogy valakinek milyen "mennyiségű és milyenségű" matematikai ismerete van -- az egyenlet fajtája ilyen.)

Az a program (pl. Excel), amelyet a konkrét számolásra szeretnél használni, tud a (korábban már említett) Lambert-féle W-függvénnyel dolgozni? Ha igen, felírok egy formulát, amelyet a D és Re paraméterekkel tudsz manipulálni és az egyenlet megoldását adja $\lambda$ -ra.

Előzmény: [1700] TLevi, 2012-03-16 11:07:46

[1700] TLevi

2012-03-16 11:07:46

Igen, az lg tízes alapú logaritmust jelent. Igen, a 2,51 és 3,71 konstansokat csak három jegy pontosan ismerem. Tovabb folytatnam ... a lambdat meg mindig nem sikerul kifejeznem (kello mennyisegi es milyensegu matematikai ismereteim hianya miatt). Tehat, ha kapnek egy egyszeru megoldast erre az egyenletre (pl. igy: lambda egyenlo..... - tehat nem "1/gyok lambda egyenlo.....), az megint nagyon jo lenne ha ezt parametrikusan tudnam valtoztatni a tobbi valtozo (D es Re) fuggvenyeben (pl. Excelbe beirt keplettel). Megegyszer: sajnos a matek nem az erossegem!

Tisztelettel TLevi

Előzmény: [1698] jonas, 2012-03-15 09:17:19

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?