Fórum: Valaki mondja meg!

Köszönök minden választ, sokat segített.

Az általános esetben is van nevük: többszörösen tökéletes szám, lásd

$\displaystyle http://en.wikipedia.org/wiki/Multiply\_perfect\_number$

Az $\displaystyle n$ szám osztóinak összege osztva $\displaystyle n$-el (azaz az átlaguk) épp megegyezik az osztók reciprokösszegével. Ha ez a szám 2, akkor $\displaystyle n$ tökéletes szám.

Ilyen szám például a 6.

Valaki mondja meg! Vegyük egy tetszőleges természetes szám osztóit. Lehet-e ezek reciprokösszege egész szám? (Persze nem számítva azt az esetet, hogy csak magát az 1-et vesszük.

Köszönöm a gyors válaszokat! Egyébként valóban ez volt a cél. Közvetetten meg a $\displaystyle \frac{\sin \pi z}{\pi}=z\prod_{n=1}^\infty \Big(1-\frac{z^2}{n^2}\Big)$.

Szerintem ez inkább az ellenkező irány. A $\displaystyle \sum_{n=-\infty}^\infty\frac1{z-n}$ összeg tagjait azért vonjuk össze kettesével, hogy konvergens legyen. (A korlátosság meg azért fontos, hogy a Liouville-tételt alkalmazhassuk az $\displaystyle \frac1z+\sum_{n=1}^\infty\frac{2z}{z^2-n^2}-\pi\ctg(\pi z)$ függvényre.)

Frappáns.

Én már parciális törtekre bontottam:

$\displaystyle \sum \frac{1}{z-n}+\sum\frac{1}{z+n}$

Aztán integráltam: $\displaystyle \sum \ln(z^2-n^2)'$

Legyen $\displaystyle z=x+yi$, ahol tehát $\displaystyle |x|\le\frac12$ és $\displaystyle |y|>1$.

$\displaystyle |z| < |x|+|y| < 2|y|$

és

$\displaystyle |z^2-n^2| \ge {\rm Re}(n^2-z^2) = n^2+y^2-x^2 \ge y^2+n^2-\frac14 > \frac12(y^2+n^2),$

így

$\displaystyle \left| \sum_{n=1}^\infty \frac{2z}{z^2-n^2} \right| \le \sum_{n=1}^\infty \frac{2|z|}{|z^2-n^2|} \le \sum_{n=1}^\infty \frac{8|y|}{y^2+n^2} < \int_0^\infty\frac{8|y|}{y^2+t^2} {\rm d}t = 4\pi.$

Sziasztok!

Lehet nagyon nyilvánvaló, amit kérdezek, de valahol valamit elnézhetek rajta.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{2z}{z^2-n^2}$ miért korlátos az Im$\displaystyle (z)>1$ és Re$\displaystyle (z)\leq 1/2$ halmazon?

Előre is köszönöm!

Pach Peti e-mailben küldött nekem egy egyszerű ellenpéldát. Legyen $\displaystyle b_1,b_2,b_3$ egy bázis. Legyen $\displaystyle Ab_1=Ab_2=Bb_2=Bb_3=0$, valamint $\displaystyle Ab_3=Bb_1=b_2$. Könnyű ellenőrizni, hogy minden ezekből alakuló másodfokú tag $\displaystyle 0$, tehát csak a $\displaystyle cA+dB$ alakú polinomok jönnek szóba. Ezek meg nem jók, szintén könnyű ellenőrizni.

Valaki mondja meg a következőt! Legyen $\displaystyle A$ és $\displaystyle B$ két lineáris transzformációja egy véges dimenziós valós vektortérnek. Van-e olyan polinomjuk, melynek konstans tagja $\displaystyle 0$, és a magtere éppen $\displaystyle A$ és $\displaystyle B$ magterének a metszete?

Nyilván minden ($\displaystyle 0$ konstans tagú) polinom magtere tartalmazza $\displaystyle A$ és $\displaystyle B$ magterének metszetét. A cél tehát a fordított irányú tartalmazás elérése egy jól választott polinommal.

Előre is köszönöm.

Egyszer egy elsőéves diákom mutatta be azt a hajmeresztő mutatványt, hogy egy $\displaystyle f(x)^{g(x)}$ alakú kifejezést úgy derivált, hogy először kontansnak vette az alapot, deriválta, utána a kitevőt vette konstansnak, úgy is deriválta, majd a kétféle derváltat összeadta:

$\displaystyle (f^g)' = (f^g \log f) \cdot g' + gf^{g-1}\cdot f'.$

Először hüledeztem, hogy ezt lehet, de aztán megértettem, hogy csak a többváltozós láncszabályt alkalmazta. :-)

Például vegyünk két valós értékű egyváltozós függvényt, $\displaystyle f$-t és $\displaystyle g$-t, és legyen mindkettő differenciálható az $\displaystyle a$ pontban. Deriváljuk a szorzatot az $\displaystyle a$ pontban.

Legyen $\displaystyle F\binom{x}{y}=xy$ és $\displaystyle G(t)=\binom{f(t)}{g(t)}$, ekkor tehát $\displaystyle fg = F\circ G$. A $\displaystyle G$ differenciálható $\displaystyle a$-ban, és $\displaystyle G'(a)=\binom{f'(a)}{g'(a)}$, az $\displaystyle F$ mindenhol differenciálható, és $\displaystyle F'\binom{x}{y}=(y,x)$. A láncszabály szerint $\displaystyle F(G(t))=f(t)g(t)$ is differenciálható $\displaystyle a$-ban és

$\displaystyle (fg)'(a) = (F\circ G)'(a) = F'(G(a)) G'(a) = (g(a),f(a)) \binom{f'(a)}{g'(a)} = g(a)f'(a) + f(a)g'(a).$

A dolog persze csalás, mert a többváltozós differenciálási szabályokat jóval az alapműveletek differenciálása után építjük fel (kb. olyan, mint amikor valaki a koszinusz-tételből vezeti le a Pitagorasz-tételt), de mindenképpen érdekes.

Állítólag a differenciálási szabályok (függvények lineáris kombinációjának deriváltja, függvények szorzatának deriváltja) levezthetőek az összetett függvényekre vonatkozó differenciálási szabályból (láncszabály). Vajon hogyan történik mindez? Tisztelettel: Bertalan Zoltán.

Köszönöm a segítséget!

Illetve

195.96043078097043710<a₁₂₀₀₁<195.96043078097043711.

Ha a₁=120, akkor 195.95532757702918725<a₁₂₀₀₀<195.95532757702918726.

a_nb₁^2n-1 majdnem trivi, ha b₁>0 egész: legyen ugyanis , ahol lnko(p_n,q_n)=1. Ekkor , de ez a tört már tovább nem egyszerűsíthető, hiszen lnko(p_n,q_n)=1volt, így a_n+1=p_n²+q_n²=a_n²+q_n²>a_n²b₁²ⁿ (ez utóbbi teljes indukcióval).

a_n az pont b_n számlálója, így egész, azaz két egész szám közé nem eshet. És valószínűleg sokkal nagyobb.

T(n)=2^{3.453495382*2n} egy valószínűleg jó becslés a kérdésre (kiinduló tag=b₁=120). Egyébként már a₂₅-nek 34883379 számjegye van.

Lásd még az "ujjgyakorlatok" [420]-as hozzászólását 2005-ből.

(Illetve most másodjára számoltam el. Tényleg fáradt vagyok, szóval duplán kéretik ellenőrizni a hozzászólásomat felhasználás előtt.)

(Naná, hogy elszámoltam, nem a 12000. tagot számoltattam ki.)

A sorozatnak a négyzetét érdemes vizsgálni. Ha b_n=a_n², akkor

Ebbből egy sor, egyre erősebb alsó és felső becslést lehet kapni, pl.

b_nb₀+2n

A Te esetedben b₀=120²=14400 és n=12000, tehát

38400<b_n=a_n²<38400,5

195,959<a₁₂₀₀₀<195,961.

Pontos, nem rekurzív, nem végtelen szummás általános képletet nem írtak, csak közelítőt, szóval ha pontosan kell, akkor szerintem célszerű a speciális esetekre programot írni. (A konkrét példára, ha minden igaz, 195.9604307809704, ha a 120 a nulladik tag, ha az első, 195.95532757702915.) Egy becslés, ha jól értelmeztem (nem teljesen biztos, kissé fáradt vagyok): *___1 kezdőértékű___ ilyen sorozatra e^2b(n)2-4n/n tart egy konstanshoz (0.574810274671785...), ahol b(n) a sorozat. Ahogy néztem, azt eltérés, ha az első érték az 1, a 10. elemre -0.010916374964937692, a 100.-ra -0.004394777829750618, az 1000.-re -0.0007695696146290398, a 10000.-re -0.0001100303693110094 (itt már kerekítési hibák is felléphettek, sima floating point számokkal dolgoztam lustaságom miatt).

Köszönöm!

De az a baj, hogy én az ott leírtakon nem bírtam eligazodni.

Mennyi egy ilyen sorozat 12000-ik elemének értéke, ha a kezdőérték 120?

Üdv: mihtoth