|
[1974] csábos | 2015-01-03 16:56:06 |
Hozzunk közös nevezőre, akkor a számláló
&tex;\displaystyle \cos(3x)\cos(4x)\cos(5x)+ \cos(x)\cos(4x)\cos(5x)+\cos(x)\cos(2x)\cos(5x)+\cos(x)\cos(2x)\cos(3x)&xet;
Vonjuk össze az első kettőt és a második kettőt, használjuk a két koszinusz összegére vonakozó addíciós képletet:
&tex;\displaystyle \frac{1}{2}(\cos x \cos(2x)\cos(4x)\cos(5x)
+\cos(x)\cos(2x)\cos(4x)\cos(x))&xet;
itt is kiemeljünk &tex;\displaystyle \cos x \cos(2x)\cos(4x)&xet;-t és
&tex;\displaystyle \frac{1}{4}(cos x \cos(2x)\cos(4x)\cos(3x)\cos(2x)&xet;
adódik a számlálónak. Így nincs a feladtanak megoldása, ha jól számoltam.
|
Előzmény: [1973] Kovács 972 Márton, 2015-01-03 16:01:46 |
|
[1973] Kovács 972 Márton | 2015-01-03 16:01:46 |
A &tex;\displaystyle cos(2x)=0&xet; megoldás nem jöhet szóba, mert az eredeti egyenlet baloldalán nevezőben szereplő tag.
Ennek alapján a Te hozzászólásod és a Wolframalpha azt mondja, hogy nincsen megoldás. Egy program (ami hasonlít a Wa-hoz) szintén nem tudta megoldani.
De mivel ez 1995-ben volt OKTV feladat, I. kategóriában, nem hinném, hogy program kellene hozzá. :)
Azért köszönöm!
|
Előzmény: [1972] Bátki Zsolt, 2015-01-03 15:17:31 |
|
[1972] Bátki Zsolt | 2015-01-03 15:17:31 |
Wolframalpha.com alapján:
Átrendezve: 4*cos(2x)*sec(5x)=0 jön ki
itt csak a cos(2x)=0 lehet a megoldás. (a sec(5x) 0 nem lehet, mivel az 1/(sin(x))
(de a megoldásnál meg kell vizsgálni értelmezhető-e, nem megy-e el 'végtelenbe')
cos(2x)=0 megoldása: n*pi/2+pi/4
A sec(5x) miatt lehet,hogy ki kell tiltani valamely gyököket.
|
|
[1971] Kovács 972 Márton | 2015-01-03 13:43:34 |
Sziasztok!
Tudna valaki segíteni az alábbi feladatban?
&tex;\displaystyle \frac{1}{cos(x)cos(2x)}+\frac{1}{cos(2x)cos(3x)}+\frac{1}{cos(3)cos(4x)}+\frac{1}{cos(4x)cos(5x)} = 0&xet;
Nekem nagyon úgy tűnik, hogy ezt valahogyan teleszkopikus összeggé lehet alakítani, ám nem sikerült. Köszönöm előre is!
|
|
[1970] HoA | 2014-12-29 11:22:04 |
Persze, de ebből így nem sokat tanul a gyerek. Javaslom:
- rajzolja fel a két függvényt
- állapítsa meg a megoldások számát
- sejtse meg és igazolja az egész megoldásokat
- találjon valamilyen módszert a negatív megoldás közelítésére.
|
Előzmény: [1969] Róbert Gida, 2014-12-29 10:06:12 |
|
|
[1968] Bátki Zsolt | 2014-12-29 00:53:34 |
Lehet, hogy már volt. (Ha volt, írjátok meg, melyik témában)
A fiam tette fel a kérdést:
2**x=x**2 egyenletnek mik a megoldásai? (** a hatvány jele)
|
|
[1967] Kovács 972 Márton | 2014-12-20 23:56:05 |
Szia!
Feltételezem egyenes kúpról van szó, és vélhetőleg a "legkisebb palást" alatt a palást legkisebb területét érted.
Mindezek alapján (hogyha nem így értetted, akkor elnézést, én így értelmezem a feladatot) az alábbiakat teheted:
A kúp alapkörének sugara és magassága legyen &tex;\displaystyle r&xet; és &tex;\displaystyle h&xet;. Ekkor a kúp térfogata:
&tex;\displaystyle V=\frac{r^2h\pi}{3}&xet; palástjának területe pedig &tex;\displaystyle r\pi\sqrt{r^2+h^2}&xet;. Ez utóbbinak keressük a minimumát.
Mivel &tex;\displaystyle \frac{\pi}{3}&xet; konstans, ezért nyugodtan felteheted az általánosság csorbítása nélkül, hogy &tex;\displaystyle r^2h=1&xet; amiből &tex;\displaystyle r=\frac{1}{\sqrt{h}}&xet;.
Ezt írd be a becsülendőbe, és máris egy "egyszerű" függvénnyel van dolgod, ami csak egy változós. Ha tudsz deriválni, akkor deriválással annak könnyen meghatározhatod a minimumát. Ha nem, akkor valamilyen egyenlőtlenség használatát javaslom. (pld.: nevezetes közepek közötti egyenlőtlenségcsalád)
|
Előzmény: [1966] mooosa, 2014-12-17 20:11:11 |
|
[1966] mooosa | 2014-12-17 20:11:11 |
Az egyenlő térfogatú forgáskúpok közül melyiknek a palástja a legkisebb? A válaszaitokat előre is köszönöm
|
|
[1965] w | 2014-12-06 14:16:29 |
Számítsd ki külön-külön, hogy az egyes hatványok mennyi maradékot adnak &tex;\displaystyle 11&xet;-gyel osztva! Hasznos lehet, hogy mondjuk &tex;\displaystyle 2^{10}&xet; és &tex;\displaystyle 3^{10}&xet; maradéka &tex;\displaystyle 11&xet;-gyel osztva éppen &tex;\displaystyle 1&xet; (egyébként miért annyi?).
|
Előzmény: [1964] Bublinka, 2014-12-06 13:21:27 |
|
[1964] Bublinka | 2014-12-06 13:21:27 |
Sziasztok! Van valakinek otlete, hogy lehet bebizonyitani ezt: &tex;\displaystyle 2^{54321}+3^{65432}&xet; oszthato 11-gyel? Koszi
|
|
[1963] marcius8 | 2014-11-27 14:32:50 |
Legyen a=(1;3;6), b=(3;10;21), c=(-1;-2;-2) és v=(14;42;81). Ekkor v=+2a+3b-3c teljesül, így a "v" vektor koordinátái az "a", "b", "c" bázisban +2, +3, -3, ezeknek az összege csakugyan +2. Valószínűleg ezt kellett bizonyítani. A koordináták meghatározása a következőképpen történik: Legyen v=+xa+yb+zc, ahol "x", "y", "z" a "v" vektor koordinátái az "a", "b", "c" bázisban. Koordinátánként kiírva ez utóbbi egyenletet, a következő három egyenlet adódik: +14=+1x+3y-1z; +42=+3x+10y-2z; +81=+6x+21y-2z; ez három elsőfokú egyenlet három ismeretlennel, így "x", "y", "z" értéke meghatározható.
|
Előzmény: [1944] Petermann, 2014-11-11 17:10:12 |
|
[1962] marcius8 | 2014-11-27 14:13:22 |
Köszi a szép és nagyon egyszerű megoldást!!!!!!! Az #1961 hozzászólásban levő összefüggés szerintem is beillene egy versenyfeladatnak. Tisztelettel: Bertalan Zoltán.
|
Előzmény: [1960] emm, 2014-11-26 21:33:49 |
|
[1961] Ali | 2014-11-27 09:22:28 |
Szép megoldás.
Lett egy azonosság, ami első ránézésre nem tűnik triviálisnak:
&tex;\displaystyle \sum_{k=1}^l{k\binom{l}k\sum_{\matrix{i_1+i_2+...+i_k=n\cr i_1,i_2,...i_k\ge1\cr}}^k{\frac{n!}{i_1!i_2!...i_k!}{\bigg(\frac1{l}}\bigg)^n}} = l-l\Big(\frac{l-1}{l}\Big)^n&xet;
ahol az &tex;\displaystyle i_1+i_2+...+i_k=n&xet; felbontásban a sorrend számít és &tex;\displaystyle n\ge{l}.&xet;
|
Előzmény: [1960] emm, 2014-11-26 21:33:49 |
|
[1960] emm | 2014-11-26 21:33:49 |
Legyen &tex;\displaystyle n&xet; ember és &tex;\displaystyle l&xet; emelet. &tex;\displaystyle X&xet; legyen a megnyomott gombok száma, &tex;\displaystyle X=\sum_{i=1}^l A_i&xet;, ahol &tex;\displaystyle A_i=0&xet;, ha nem nyomták meg a gombot, és &tex;\displaystyle 1&xet;, ha megnyomják, valamint legyen &tex;\displaystyle B_i&xet; az az esemény, hogy valaki megnyomja az &tex;\displaystyle i&xet;-ik gombot. De ekkor &tex;\displaystyle E(A_i)=P(B_i)&xet; és &tex;\displaystyle P(B_i)=P(B_j)&xet;.
&tex;\displaystyle E(X)=E\Big(\sum_{i=1}^l A_i\Big)=\sum_{i=1}^l E(A_i)=\sum_{i=1}^l P(B_i)=lP(B_1)=l-l\Big(\frac{l-1}{l}\Big)^n&xet;
|
|
[1959] Ali | 2014-11-26 10:29:06 |
&tex;\displaystyle \sum_{k=1}^{20}{k\binom{20}{k}\sum_{i_1+i_2+...+i_k=30,\forall{i_j}>0}^k{\frac{30!}{i_1!i_2!...i_k!}{\bigg(\frac1{20}}\bigg)^{30}}}&xet;
Az &tex;\displaystyle i_1+i_2+...+i_k=30&xet; felbontásban a sorrend számít.
|
Előzmény: [1954] marcius8, 2014-11-25 11:18:40 |
|
|
|
|
|
[1954] marcius8 | 2014-11-25 11:18:40 |
Tegyük fel, hogy a szuper-hilton szálloda földszintjén beszáll a liftbe 30 ember. A szálloda 20 emeletes, tehát a liftben a "földszint" gombon kívül 1-től 20-ig számozott gombok találhatóak. A 30 ember mindegyike megnyomja a számozott gombok valamelyikét (egy ember pontosan egy gombot nyom meg), annak megfelelően hogy ki melyik szintre akkar a lifttel megérkezni. Természetesen tekinthetjük úgy, hogy akármelyik ember akármelyik gombot egyforma (1/20) valószínűséggel nyomja meg. Mennyi lesz a megnyomott gombok számának várható értéke? Tisztelettel: Bertalan Zoltán.
|
|
[1953] Old boy | 2014-11-23 09:22:21 |
A B.4612 sz. feladat (2014 március) megoldását keresem (a "Lejárt..." menüpont alá is feltettem a kérést). Előre is kösz!
|
|
|
[1951] HoA | 2014-11-20 16:35:26 |
Talán ilyesmire gondoltál: Kövessük a közölt megoldás gondolatmenetét és mutassuk meg, hogy 2-2 szög 30 fokra egészíti ki egymást. Tükrözzük az &tex;\displaystyle A_4 A_9 B \Delta&xet; -et az &tex;\displaystyle A_0 A_{10}&xet; egyenesre és toljuk el &tex;\displaystyle A_4 et A_0 ba&xet; . B új helyzete legyen &tex;\displaystyle B_1&xet; . Ekkor &tex;\displaystyle B A_0 B_1 \angle&xet; -ről kell megmutatni, hogy &tex;\displaystyle 30^\circ&xet; -os.
Vegyük fel az &tex;\displaystyle A_0 B_1&xet; egyenesen &tex;\displaystyle B_2&xet; -t úgy, hogy &tex;\displaystyle A_0 B_1 = B_1 B_2&xet; legyen . Ekkor &tex;\displaystyle B_1 A_5 = \sqrt 3 , B_2 A_{10} = 2 \sqrt 3&xet; . A &tex;\displaystyle B_2 A_{10}&xet; egyenesen legyen C az a pont, melyre &tex;\displaystyle B B_2 C \Delta&xet; derékszögű. &tex;\displaystyle B C / C B_2 = 1 / (3 \sqrt 3) = \sqrt 3 / 9&xet; . &tex;\displaystyle A_0 A_9 B \Delta&xet; -ben &tex;\displaystyle B A_9 / A_0 A_9 = \sqrt 3 / 9&xet; . A két háromszög hasonló, &tex;\displaystyle A_0 B B_2 \angle = 90^\circ&xet; , ezért &tex;\displaystyle B_1 A_0 = B_1 B_2 = B_1 B&xet;. Legyen &tex;\displaystyle B_1 B_2&xet; felezőpntja &tex;\displaystyle B_3&xet; . A &tex;\displaystyle B_3&xet; -ból &tex;\displaystyle A_0 A_{10}&xet; egyenesre bocsátott merőlegesen D az a pont, melyre &tex;\displaystyle B_3 B D \Delta&xet; derékszögű. &tex;\displaystyle BD / D B_3 = (3/2)/(5/2)\sqrt 3 = \sqrt 3 / 5&xet; . &tex;\displaystyle B_1 A_5 / A_5 A_0 = \sqrt 3 / 5&xet; . &tex;\displaystyle B B_3&xet; merőleges &tex;\displaystyle A_0 B_1&xet; -re, &tex;\displaystyle B B_1 = B B_2&xet; , a &tex;\displaystyle B B_1 B_2 \Delta &xet; szabályos, &tex;\displaystyle A_0 B_2 B \angle = 60^\circ&xet; , &tex;\displaystyle B A_0 B_1 \angle = 30^\circ&xet; .
Folytatás: készítsünk hasonló ábrát a másik szögpárra.
|
|
Előzmény: [1949] Kovács 972 Márton, 2014-11-19 22:12:50 |
|