Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Valaki mondja meg!

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[833] HoA2009-02-25 16:40:55

Ha a választott abszcisszához tartozó két másik metszéspontot is bejelöljük ( zöld szakasz végpontjai ) és a görbe által határolt területet integrálszámítással, a görbe alatti területek különbségeként számítjuk, az x tengely alatti értékeket szokás szerint negatívnak véve, akkor eredményül a nagy levél területének és a két kis levél területének különbségét kapjuk. Ha OC az y tengellyel \varphi szöget zár be, a kis kék háromszögekből az infinitezimális területdarab \DeltaTd=4a(cos\varphi-sin\varphi)2acos2\varphi\Delta\varphi, amiből a teljes terület

T_d = 16a^2\int_0^{\pi/4}(\cos \varphi - \sin \varphi) \cos 2\varphi d\varphi  = \frac{16}{3}a^2

Érdekes, hogy ez a terület a2-nek racionális számszorosa. Elfogadva, hogy a területek abszolút értékének összege

Ts=2\pia2

, a felső levél területét T1-gyel, a két kis levél területének összegét T2 -vel jelölve

T_1 + T_2 = 2\pi a^2 , T_1 - T_2 = \frac{16}{3}a^2, T_1 = \frac {3 \pi + 8}{3} a^2 , T_2 = \frac {3 \pi - 8}{3} a^2

A számértékeket behelyettesítve azt kapjuk, hogy T1 nagyjából 92,5 , T1 pedig 7,5 százaléka a teljes területnek. ( ha jól számoltam ... :-) )

Előzmény: [804] sakkmath, 2009-02-17 13:20:30
[832] nadorp2009-02-25 15:50:24

a_{n+1}-a_n=\frac{a_{n-1}-a_n}{n+1}=-\frac1{n+1}(a_n-a_{n-1})=\frac1{n+1}\frac1n(a_{n-1}-a_{n-2})=...=\frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}

Ha most összeadjuk ezt az n+1 darab egyenlőséget,a Jonas által adott képlet jön ki.

Előzmény: [830] fityfiritty, 2009-02-25 12:48:20
[831] jonas2009-02-25 13:45:05

Az ilyen fajta feladatra van egy általános módszer, ami gyakran működik. Számold ki a rekurziós szabályból a sorozat első néhány elemét pontosan. Keress rá a számlálójukra az OEIS-ben, megtalálod az A053557 sorozatot egyetlen találatként. Ennek a leírása azt mondja, hogy a sorozat n-ik eleme a  \sum_{0\le k\le n} (-1)^k/k! szám számlálója, ebből megsejted, hogy a te an sorozatod általános tagja éppen ez az összeg lesz, de vigyázz, az index eggyel el van csúsztatva! Ellenőrzöd, hogy ez a sejtés igaz-e az első néhány tagra, aztán ha igen, akkor megpróbálod belátni teljes indukcióval, hogy ez az explicit képlet valóban mindig igaz. Ezután már csak be kell látnod, hogy ez hova konvergál.

Előzmény: [830] fityfiritty, 2009-02-25 12:48:20
[830] fityfiritty2009-02-25 12:48:20

Sziasztok, remek ez a Fórum, le a kalappal! A sok érdekes, okos hozzászólás felbátorított, hogy tőletek kérjek segítséget ehhez a feladathoz: Az (an) sorozat elemeit így definiáljuk:

a0 = 1; a1 = 0; a_{n+1} = \frac{a_{n-1}+ na_n}{n + 1}; ha n = 1, 2, .... . Konvergens-e az (an) sorozat? Ha igen, akkor mi a határértéke?

Köszi szépen, előre is!

[829] laci7772009-02-24 16:15:51

Én köszönöm, mégpedig Neked, valamint Káli Gúlának a hasznos útmutatást. Túl azon, hogy egy magamban már eléggé reménytelennek elkönyvelt problémában segítettetek, élvezet volt számomra a gondolatmeneteteket is követni.

A gordiusi csomó átvágását - tekintettel a valóban csúnya paraméteres megoldásra - külön is köszönöm:)

Szép napot: Laci

Előzmény: [827] HoA, 2009-02-24 14:08:59
[828] plac2009-02-24 15:10:39

Nagyon köszönöm!

Előzmény: [821] Lóczi Lajos, 2009-02-22 18:20:58
[827] HoA2009-02-24 14:08:59

Köszönöm Káli gúla szép megoldását. Azt hiszem, segít még jobban rávilágítani arra, mi a bajom ezzel a feladattal. Fussunk tehát neki harmadszor is, ezúttal az ő jelöléseit is használva:

Egy egyenletes v1 sebességgel haladó, M méter hosszú menetoszlop végéről t0 időpontban egy futár szintén egyenletes v2 sebességgel az oszlop legelejére megy. Ott t mp-ig az oszloppal halad, majd az eredeti v2 sebességével az oszlop végére visszamegy. Mire visszaér, a folyamatosan haladó menetoszlop t0 időponttól pont M métert tesz meg. A kérdés, mekkora utat tett meg a futár összesen? ( Számadatok: t = 15 s , M = 1000 m )

A futár megtett útja [822] megoldóképlete szerint így alakul:

s = M \frac{v_2}{v_1} - t(v_2 - v_1)(1)

Mint az várható volt, a megtett út a feladatban szereplő M,t,v1ésv2 mennyiségektől függ. M és t konkrét értéke adott, de v1ésv2 szerepét jótékony homály fedi. Gondolhatnánk, hogy azok is az M és t ismeretében értelmes határok között szabadon megadhatók, csak most éppen nem rendelünk hozzájuk számértéket. De ez nem így van. A feladat túlhatározott, adott M és t mellett már v1ésv2 nem választható meg egymástól függetlenül. Az adatok közötti megkötést éppen [822] feltételi egyenlete adja:

 \frac{M}{v_1} - t = \frac {M}{v_2 - v_1} + \frac {M}{v_2 + v_1} (2)

Ha M,v1ésv2 értéke lenne adott, megtehetnénk, hogy (2) –ből kifejezzük t-t és ezt behelyettesítjük (1) –be. Rövid átalakítások után [824] szép képletét kapjuk:

 s = M \left ( 2 + \frac{v_2 - v_1}{v_2 + v_1}\right )(3)

De az ekkor sem lenne igaz, hogy „akkor is, ha 15 mp-ig megy elöl, és akkor is, ha 100 órát”, hiszen egy adott M,v1ésv2 hármashoz egy konkrét, éppen a (2) egyenletből adódó t érték tartozik.

Nekünk azonban Mést adott. Mit tehetünk, hogy bemenő adatainktől egyértelműen függő eredményt kapjunk? Az egyik megoldás laci777 „izzadási iránya”: (2) –ből v2-re másodfokú egyenletet kapunk. Ennek fizikailag értelmes gyökét választva v2 -nek ezt a kifejezését behelyettesítjük (1) –be és kapunk egy csúnya , de csak M-et,t-tésv1-et tartalmazó kifejezést. A másik megoldás az, hogy elfogadjuk (3) szép képletét megoldásnak, de hozzátesszük, hogy „ahol v1 szabadon választott sebesség a 0<v1<M/t tartományban, v2 pedig a (2) feltételből számított M,t,ésv1 által meghatározott sebesség”. És ekkor persze a (3) képletben szereplő mennyiségekhez éppen a megadott t érték trtozik.

Előzmény: [824] Káli gúla, 2009-02-23 19:14:32
[826] tudniakarok2009-02-24 13:46:11

Sziasztok! Kérlek segítsetek!

Az a problémám, hogyha adott tetszőleges db nemnegatív szám, akkor hogyan tudnám elrendezni őket egy mátrixba úgy hogy a lehető legegyenletesebb elrendezést kapjam.(Arra gondolván, hogy a két legnagyobb szám a "legtávolabb" legyen egymástól, és így tovább...) Van-e erre vmilyen már kidolgozott algoritmus, mert nem nagyon találom a szakirodalmakban!? Van ötletem, de elég egyszerűnek találom ráadásul nagy számításigényű,hátha vki tud jobbat!

Előre is köszi a segítséget!

[825] laci7772009-02-23 23:22:06

Kedves Káli Gúla!

Köszönöm szépen ezt a megoldást is, bár őszintén szólva olyat igyekeztem volna kiizzadni (a jelzett eredménnyel:(), ahol a menetoszlop (a példa adatai szerint 0<v1<240 km/h közt értelmezhető) sebessége az egyedüli független változó, ahogyan valóban is annak a függvénye minden egyéb tényező (a v2 és az egyes szakaszok s és t értékei egyaránt). Még egyszer köszönöm.

Előzmény: [824] Káli gúla, 2009-02-23 19:14:32
[824] Káli gúla2009-02-23 19:14:32

Működik az is. Legyen v2=kv1, a menetoszlop hossza M. Amíg fel- és lefut, addig \frac{M}{(k-1)v_1}+\frac{M}{(k+1)v_1} idő telik el, ez alatt a menet s_0=\frac{1}{k-1}M+\frac{1}{k+1}M, a futár pedig \matrix{ks_0} utat tesz meg. A középső időszakban együtt mennek, ez a feltétel miatt \matrix{M-s_0}, tehát a futár összesen M+(k-1)s_0=
\left(2+\frac{k-1}{k+1}\right)M=
\left(2+\frac{v_2-v_1}{v_2+v_1}\right)M
utat tett meg a feladat adataival (akkor is, ha 15 mp-ig megy elöl, és akkor is, ha 100 órát vagy ha 0 mp-et ment volna).

Előzmény: [823] laci777, 2009-02-23 16:53:01
[823] laci7772009-02-23 16:53:01

Kedves HoA!

Köszönet (ismét) a segítségért. Úgy gondoltam eredetileg, hogy az egyes időintervallumokban megtett utakkal operálok, de boncolás (+eltévedés:() lett sajna belőle...

Még egyszer köszönöm szépen.

Előzmény: [822] HoA, 2009-02-23 10:08:45
[822] HoA2009-02-23 10:08:45

Szerintem a feladatban nem az okozza a gondot, hogy „a megoldáshoz vezető másodfokú egyenlet túl kemény dió” , hanem az, hogy a feladat egy kicsit tisztességtelenül van kitűzve. Az egyik szokásos középiskolai feladattípus szövegében megadnak bizonyos paramétereket és az eredményt ezek függvényében várják. Ha zárójelben megadják a paraméterek numerikus értékét is, akkor ezeket az eredmény képletébe behelyettesítve számszerű eredményt is tudunk adni . Másik fekadattípus az, ahol egy fizikai jelenség kapcsán bizonyos mennyiségek közötti összefüggések keresése, értékhatárok megállapítása a cél. Itt a kettő keveredik, a baj csak az, hogy ez a szövegből nem derül ki egyértelműen. Tisztességesnek valahogy így érezném a feladat kitűzését:

Egy egyenletes v1 sebességgel haladó menetoszlop végéről t0 időpontban egy futár szintén egyenletes v2 sebességgel az oszlop legelejére megy. Ott 15 mp-ig az oszloppal halad, majd az eredeti v2 sebességével az oszlop végére visszamegy. Mire visszaér, a folyamatosan haladó menetoszlop t0 időponttól pont 1 km-t tesz meg. A kérdés, mekkora utat tett meg a futár összesen? Milyen összefüggés áll fenn v1 és v2 között, ha tudjuk, hogy a menetoszlop 1 km hosszú?

Megoldás: A futár teljes menetideje 1000/v1 mp, ebből 15 mp-ig v1, egyébként v2 sebességgel haladt, a megtett út tehát s = 15 v_1 + (1000/v_1 -15) v_2= 1000 \frac{v_2}{v_1} - 15 (v_2 - v_1) méter. A v1ésv2 közötti összefüggést abból állapítjuk meg, hogy a futár 1000/v1-15 mp alatt az 1000 méteres oszlop végéről az elejére majd vissza ment, menetideje tehát: \frac{1000}{v_1} -15 = \frac{1000}{v_2 - v_1} + \frac{1000}{v_2 + v_1} Ezek után a v2-re adódó másodfokú egyenletet elemezhetjük, milyen v1 értékekre kapunk pozitív v2-t, v2 milyen határok között változhat, stb. Végül v2-t v1 függvényeként felírva behelyettesíthetjük a megtett út képletébe, így az egy csak v1 -től függő kifejezés lesz, de továbbra sem egy konkrét számérték.

Előzmény: [815] laci777, 2009-02-22 00:21:36
[821] Lóczi Lajos2009-02-22 18:20:58

Rögzített x\inH-ra n\to\infty esetén fn(x)\tof(x):=\pix/2. A függvénysorozat egyenletes konvergenciája azt jelenti, hogy \lim_{n\to\infty} {\rm{sup}}_{x\in H}|f_n(x)-f(x)|=0. Ezt kell igazolni most. Ehhez egy kis függvényvizsgálatra van szükség.

1. Látszik, hogy ha x rögzített, akkor a konvergencia n-ben monoton: fn(x)<fn+1(x)<f(x), vagyis |fn(x)-f(x)|=f(x)-fn(x)=:gn(x).

2. Pl. L'Hospital-lal belátod, hogy \lim_{x\to\infty}g_n(x)=\frac{1}{n}>0, illetve két deriválással, hogy gn(x) konkáv. De gn(0)=0 is igaz. Vagyis rögzített n-re gn olyan nemnegatív konkáv függvény, amely 0-ban 0, a végtelenben pedig a határértéke pozitív. Egy ilyen függvény viszont minden x\inH esetén kisebb, mint a limesze, tehát 0\le g_n(x)<\frac{1}{n}, minden x-re és n-re.

3. Emiatt \lim_{n\to\infty} {\rm{sup}}_{x\in H} g_n(x)=0.

Előzmény: [819] plac, 2009-02-22 14:22:15
[820] Lóczi Lajos2009-02-22 17:23:04

Viszont igazzá válik az állítás, ha megköveteljük, hogy a két végpontban ugyanazok legyenek a függvényértékek, vagyis f(a)=g(a) és f(b)=g(b) legyen.

Ekkor ugyanis a két konvex alakzat tartalmazni fogja egymást (az egyik alakzat a két végpont, az őket összekötő szakasz és f "lelógó" grafikonja által határolt síkidom; a másik ugyanígy, csak g-vel), és ismert (itt a Fórumon már kétszer is előkerült a bizonyítása, csak meg kell keresd :), hogy ha egy konvex alakzat tartalmaz egy másikat, akkor a külső alakzat kerülete nem lehet kisebb.

Előzmény: [818] M. Feri, 2009-02-22 13:45:13
[819] plac2009-02-22 14:22:15

Hello! A kérdésem a következő lenne. Valaki megtudja nekem mondani, hogy fn(x)=x.arctan(nx), H=(0,\infty) függvénysorozat egyenletesen konvergens-e a konvergencia halmazán és hogy ezt hogyan bizonyítom... Bocsánat ha valaki nagyon bugyutának véli a kérdést, de nagyon nem látom, hogy kellene megcsinálni.

[818] M. Feri2009-02-22 13:45:13

Igen, éreztem én, hogy sántít valami...

Előzmény: [817] Lóczi Lajos, 2009-02-22 13:32:53
[817] Lóczi Lajos2009-02-22 13:32:53

Ebben a formában nem is igaz az állítás. Ellenpélda: f az azonosan 0 függvény, g pedig egy pozitív, lineáris függvény. f grafikonja rövidebb, mint g-é.

Előzmény: [816] M. Feri, 2009-02-22 12:54:29
[816] M. Feri2009-02-22 12:54:29

Sziasztok! A következő feladatban valami hiba van, vagy én vagyok figyelmetlen? (Szerintem hiányzik még egy feltétel): Ha f és g [a,b] intervallumot leképezi a valós számok halmazára, mindkét függvény konvex, deriválható és deriváltjai folytonosak, emellett még f(x)\leqg(x) akkor {\int_a^b \sqrt{1+{({f^'}(x))}^2}}dx\geq{\int_a^b \sqrt{1+{({g^'}(x))}^2}}dx

Megoldható így, ebben az alakban? Ha igen, hogy? Előre is köszönöm!!

[815] laci7772009-02-22 00:21:36

Ha nem baj, megint egy példával jönnék, kifogni látszik rajtam. Egy egyenletes v1 sebességgel haladó, 1 km hosszú menetoszlop végéről t0 időpontban egy futár szintén egyenletes v2 sebességgel az oszlop legelejére megy. Ott 15 mp-ig az oszloppal halad, majd az eredeti v2 sebességével az oszlop végére visszamegy. Mire visszaér, a folyamatosan haladó menetoszlop t0 időponttól pont 1 km-t tesz meg. A kérdés, mekkora utat tett meg a futár összesen?

Azt látom, hogy a 15 mp-ben megtett, 0<s<1 km út függvényében egyre nagyobb a szükséges v2-v1 sebességkülönbség, ill. hogy a futár összteljesítménye 2 és 3 km (pontosabban 1+gyökkető és 3) km között kell legyen, de a megoldáshoz vezető másodfokú egyenlet (legalábbis nagyon remélem, hogy az) túl kemény dió:(

Még az itt felvetett többi probléma nehézségét látva is remélem, most is lesz, aki segít a megoldásban:)

Előre is köszönöm.

[814] HoA2009-02-20 10:29:29

Ha az a bizonyos Thálesz-kör egységsugarú és a "Thales körbe írható derékszögű háromszögek beírt körök középpontjai köre" [803] ábrájának AO2O1D körívét jelenti, O1ésO2 pedig az ACD ill. ABD háromszögek beírt köreinek középpontját, akkor az első válasz igen, BC mindig gyök 3. Ugyanis a körív sugara EA = \sqrt2, ezért ebben az esetben EO1O2 háromszög szabályos, E-nél lévő szöge 60o. Mivel az EO1ésEO2 egyensek egyúttal a C-nél ill. B-nél lévő derékszögek felezői, így az általuk bezárt szög 60o, tehát BC az egységsugarú körnek 60o-os kerületi szöghöz tartozó húrja, ez pedig \sqrt3 hosszú.

Ha O1O2 forog, BC is mozog, de nem együtt, "merev test szerűen" forognak. [755] és [803] ábrájának összehasonlításából látható, hogy szimmetrikus esetben O1O2 és BC párhuzamosak, egyébként nem. Szemléletesen úgy képzelhető, hogy a rögzítetten 60o-os O2EO1 szög két szára forog legyezőszerűen, és bármely helyzetében a \sqrt2 sugarú AO2O1D körívből 60o-os középponti szöghöz tartózó \sqrt2 hosszúságú O1O2 húrt, az egységsugarú Thálesz-körből pedig 60o-os kerületi szöghöz tartózó \sqrt3 hosszúságú BC húrt metsz ki.

Előzmény: [810] kiskiváncsi, 2009-02-19 20:24:56
[813] laci7772009-02-19 23:29:25

Igen, igazad van, valóban egy lépés kihagyása, ha egyből egy háromszöget veszek önkényesen létezőnek.

Köszi, szia

Előzmény: [811] nadorp, 2009-02-19 23:10:40
[812] jenei.attila2009-02-19 23:22:26

Van-e a valós számok additív csoportjának nem triviális automorfizmusa?

Van-e a valós számok testének véges, vagy megszámlálható indexű részteste? Egyáltalán continuum számosságú valódi részteste? Mi a "legbővebb" valódi résztest?

Nem tudom a válaszokat, valaki segíthetne.

[811] nadorp2009-02-19 23:10:40

Én a bizonyításod megfogalmazására gondoltam.

Ha azt mondod:

"Tekintsünk egy a,b,c oldalú háromszöget, melyre fennáll az egyenlőség. Ekkor a cosinus tétel szerint ebben a háromszögben a c-vel szemben 60o van, tehát c a "középső" hosszúságú oldal."

akkor a fenti bizonyítás hiányos, mert nem tudjuk, hogy létezik-e az a,b,c oldalú háromszög.

Ha viszont azt mondod:

"Tekinsünk két pozitív a\neqb számot és nézzük azt a háromszöget, melynek két oldala a és b, közbezárt szögük 60o. Ez egyértelműen meghatározza a c oldal hosszát és az egyenlőség összes megoldását megkaphatjuk ezzel a módszerrel. Mivel ezek a háromszögek nem szabályosak és c a "középső" hosszúságú oldal, ezért a<c<b vagy b<c<a teljesülhet."

akkor jó a megoldásod.

Előzmény: [807] laci777, 2009-02-19 19:30:30
[810] kiskiváncsi2009-02-19 20:24:56

Kedves HOA! Ez a feladat az egyik fórumon így jelent meg: O1O2 gyök2 hosszú szakasz a Thales körbe írható derékszögű háromszögek beírt körök középpontjai körén foroghat. Mekkora a BC szakasz? Azaz ez a megadott és csak ez létezik, vagy kinetogeometriailag ki lehet szerkeszteni, BC valóban mindig gyök 3 vagy nem? Azaz ha O1,O2 szakasz forog, akkor BC állandó és egyenlő gyök3? Vagy csak ez a 6o fokhoz tartozó két szakasz együtt foroghat (merev test szerűen)?

[807] laci7772009-02-19 19:30:30

Nem tudom, jól értettem-e, amit írtál, kedves Nadorp, de pl. az (1;2;gyökhárom) számhármas esetén létezik a háromszög (bármely két oldal nagyobb a 3.-nál), és az egyenletet is kielégíti.

Vagy inkább arra utaltál, hogy a jelzett végtelen sok megoldás is csak részmegoldás, azaz létezhet olyan számhármas is, amivel az egyenlőség ugyan igaz, de háromszöget nem lehet ezekből kialakítani? Mindenesetre megpróbálok ezen is gondolkodni, mert volt kis hiányérzetem e tekintetben - de mivel a feladat azt kérte, hogy "írjuk fel növekvő sorrendben a számokat", úgy gondoltam, hogy már létező háromszögek esetén is végtelen sok megoldás adható. Ha viszont az "a", a "b" és a "c" egymáshoz képesti sorrendjét kérdezi, akkor csak a "c" köztes helyzete állapítható meg.

Vagy végképp tévúton járok?

Előzmény: [806] nadorp, 2009-02-19 17:06:38

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]