Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A KöMaL 2006. januári matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Feladat típusok elrejtése/megmutatása:

K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2006. február 10-én LEJÁRT.

K. 67. Egy televíziós vetélkedőben 10 embernek tesznek fel kérdéseket, melyekre a szerintük helyes választ jelölő gomb megnyomásával egyszerre válaszolnak. Azok, akik helyesen válaszolnak egy-egy kérdésre, annyi pontot kapnak ezért, mint a kérdésre adott helytelen válaszok száma. 5 kérdés megválaszolása után a játékosok együttesen 116 pontot gyűjtöttek, ebből Géza egymaga 30-at. Mutassuk meg, hogy Géza minden kérdésre helyesen válaszolt.

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 68. Egy paralelogramma belsejében vegyünk fel egy pontot, majd kössük össze a paralelogramma csúcsaival. Mutassuk meg, hogy az így kapott négy szakaszból szerkeszthető egy olyan négyszög, melynek csúcsai a paralelogramma oldalain vannak.

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 69. Egy csupa különböző számjegyekből álló háromjegyű szám számjegyeiből az összes lehetséges módon kialakítjuk a különböző számjegyeket tartalmazó kétjegyű számokat. Ezeknek a kétjegyű számoknak az összege éppen az eredeti háromjegyű számmal egyenlő. Határozzuk meg az összes ilyen háromjegyű számot.

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 70. Egy kereskedő 6000 Ft-ért megvett egy árut. Milyen árat írjon rá, hogy abból 10%-ot engedve, a befektetéséhez képest 20%-os haszonra tegyen szert?

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 71. Jancsi biciklijén 28'' (hüvelyk) a kerékátmérő, Juliskáén 14'' (hüvelyk). Jancsi kereke kétszer fordul körbe, miközben a pedált 3-szor körbetekeri, Juliska kereke pedig 3-szor fordul körbe, miközben a pedált kétszer körbetekeri. Jancsi egy perc alatt kétszer olyan sokszor tekeri körbe a pedált, mint Juliska. Egyenletes tempóban tekerve Juliska 20 perc alatt tesz meg 2 kilométert. Mennyi idő alatt teszi meg ugyanezt a távot Jancsi?

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 72. Egy négyzet alapú hasáb éleinek hossza cm-ben mérve egész. Az alapjára merőleges, egyik oldallapjával párhuzamos vágással levágunk belőle egy 4 cm vastag részt. A megmaradt test térfogata 126 cm3. Mekkorák az eredeti hasáb élei?

(6 pont)

megoldás, statisztika

C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2006. február 15-én LEJÁRT.

C. 835. Hány megoldása van az x+y+z=100 egyenletnek a pozitív egész számok körében?

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 836. A Vidámságok Boltjában egy csomag szerpentin p százalékkal kerül többe, mint egy csomag konfetti. Úgy is mondhatnánk, hogy egy csomag konfetti q százalékkal olcsóbb, mint egy csomag szerpentin. p és q különbsége 90. Hány csomag szerpentint lehet kapni 10 csomag konfetti áráért?

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 837. Legfeljebb hány 180o-nál nagyobb belső szöge lehet egy 2006 oldalú sokszögnek?

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 838. Tímár Mihály nehéz helyzetbe került, mert lekopott a kincset rejtő zsákról a vörös félhold. Annyit tud, hogy a négy zsák közül a legnehezebbikben a búzába rejtve ott van a kincs. Három mérés során az derült ki, hogy az első zsák a másodikkal együtt kisebb, a harmadikkal együtt ugyanakkora, a negyedikkel együtt pedig nagyobb tömegű, mint a másik két zsák. Melyik zsákban van a kincs?

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 839. Egy konvex négyszög három oldala 1 cm, 4 cm és 8 cm hosszú, átlói merőlegesek egymásra. Mekkora lehet a negyedik oldal?

(5 pont)

megoldás, statisztika

B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2006. február 15-én LEJÁRT.

B. 3872. Az ABC háromszög A-nál lévő szöge tompaszög. Legyen D az AB, E pedig az AC oldal tetszőleges pontja. Mutassuk meg, hogy

CD+BE>BD+DE+EC.

(3 pont)

megoldás, statisztika

B. 3873. Az ABC derékszögű háromszög beírt köre az AC befogót P-ben, a BC befogót Q-ban, az AB átfogót R-ben érinti. Legyen M a PQR háromszög magasságpontja. Igazoljuk, hogy RM=PQ.

Javasolta: Gerőcs László, Budapest

(3 pont)

megoldás, statisztika

B. 3874. Az an sorozatot (n természetes szám) a következőképpen értelmezzük:

a0=2 és a_n=a_{n-1}- \frac{n}{(n+1)!} ha n>0.

Adjuk meg an-t n függvényében.

OKTV, 2005

(3 pont)

megoldás, statisztika

B. 3875. Egy összejövetelen 31 ember vett részt. Közülük bármely 15-höz van a társaságnak egy további tagja, aki mindegyiküket ismeri. Bizonyítandó, hogy van olyan tagja a társaságnak, aki a résztvevők mindegyikét ismeri. (Az ismeretségek kölcsönösek.)

(5 pont)

megoldás, statisztika

B. 3876. Milyen távolságra van egymástól az egységkocka két szomszédos lapján lévő (egymást nem metsző) lapátlója?

Javasolta: Kiss Sándor, Szatmárnémeti

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 3877. Az ABC háromszög súlypontja S, az AB oldal felezőpontja F. Az AF szakasz P belső pontjára tekintsük a PS egyenesnek azt a Q pontját, amelyre QC és AB párhuzamosak. A QA és a BC egyenesek metszéspontja legyen R.

Bizonyítsuk be, hogy a PR szakasz felezi az ABC háromszög területét.

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 3878. Igazoljuk, hogy az x+y+z=0, x2+y2+z2=100 egyenletrendszernek nincs megoldása a racionális számok körében.

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 3879. Egy konvex sokszög hozzáírt körének egy olyan kört nevezünk, amely kívülről érinti a sokszög egyik oldalát és az ezzel szomszédos két oldalnak a meghosszabbítását. A hozzáírt körök kerületének összegét jelölje k, a sokszög oldalai mint átmérők fölé emelt körök területének összegét pedig t.

Tegyük fel, hogy a sokszögbe kör írható, és legyen a kerülete K, a területe pedig T. Mutassuk meg, hogy

\frac{k}{t}\le \frac{K}{T}.

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 3880. Bizonyítsuk be, hogy minden n pozitív egész számhoz található olyan n2-nél nem nagyobb, n-nel osztható pozitív egész szám, amelynek 10-es számrendszerbeli alakjában nem szerepel mind a tíz számjegy.

(5 pont)

megoldás, statisztika

B. 3881. Legyenek a, b, c olyan racionális számok, amelyekre

\big(a+b\root3\of{2} + c\root3\of{4}\,\big)^{3}

is racionális. Bizonyítsuk be, hogy ekkor az a, b, c számok közül legalább kettő nulla.

Javasolta: Fried Ervin, Budapest

(5 pont)

megoldás, statisztika

A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2006. február 15-én LEJÁRT.

A. 389. A P pont az ABC hegyesszögű háromszög belsejében fekszik. Az ABC, BCP, CAP és ABP körök középpontjai rendre O, A1, B1, illetve C1. Igazoljuk, hogy

\frac{t(A_1B_1O\Delta)}{t(ABP\Delta)} = \frac{t(B_1C_1O\Delta)}{t(BCP\Delta)} = \frac{t(C_1A_1O\Delta)}{t(CAP\Delta)}.

(5 pont)

statisztika

A. 390. Határozzuk meg az összes olyan f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} függvényt, amelyre

(f(x)+f(y))(f(z)+1)=f(xz-y)+f(x+yz)

teljesül tetszőleges x, y, z valós számok esetén.

(5 pont)

megoldás, statisztika

A. 391. Mutassunk példát olyan, pozitív valós számokból álló a1,a2,...,aN sorozatra, amelyre tetszőleges 1=n_0<n_1<\ldots<n_k=N pozitív egészek esetén

n_1a_{n_0}+n_2a_{n_1}+\ldots+n_ka_{n_{k-1}}>2{,}7(a_1+a_2+\ldots+a_N).

(5 pont)

megoldás, statisztika

A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)