A KöMaL 2006. áprilisi matematika feladatai
Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.
Feladat típusok elrejtése/megmutatása:
 |
C-jelű feladatokA beküldési határidő 2006. május 18-án LEJÁRT. |
C. 850. Egy egység oldalú szabályos hatszöglemez tetszőleges belső pontját tükrözzük a hat oldal felezőpontjára. Számítsuk ki az így kapott hatszög területét.
(5 pont)
C. 851. Egy szabályos pénzérmét 12-szer feldobunk egymás után és leírjuk a dobások eredményét. Hány olyan dobássorozat van, amelyben két fej nem követi egymást?
(5 pont)
C. 852. Oldjuk meg a következő egyenlőtlenséget a valós számok halmazán:
(5 pont)
C. 853. A térben egy pontból kiinduló négy félegyenes páronként ugyanakkora, nullától különböző szöget zár be. Mekkora ez a szög?
(5 pont)
C. 854. Igazoljuk, hogy minden pozitív egész n esetén fennáll a következő egyenlőség:
(5 pont)
 |
B-jelű feladatokA beküldési határidő 2006. május 18-án LEJÁRT. |
B. 3902. Az ABC háromszög egy belső pontja P, kerülete 2s. Mutassuk meg, hogy
s<PA+PB+PC<2s.
(3 pont)
B. 3903. Oldjuk meg az alábbi egyenletet:
(3 pont)
B. 3904. Az ABC egyenlőszárú háromszög BC alapjának D felezőpontjából az AC szárra bocsátott merőleges talppontja E, a DE szakasz felezőpontja F. Mutassuk meg, hogy a BE és az AF egyenesek merőlegesek egymásra.
(4 pont)
B. 3905. Hány megoldása van az y2=x2-x+1 egyenletnek a) az egész számok; b) a racionális számok körében?
(5 pont)
B. 3906. Az e és f kitérő egyenesek merőlegesek egymásra. Az egységnyi hosszúságú AB szakasz úgy mozog, hogy A mindig e-n, B pedig mindig f-en van. Határozzuk meg AB felezőpontjának mértani helyét.
(4 pont)
B. 3907. Oldjuk meg az alábbi egyenletet:
sin x+cos x+sin xcos x=1.
(3 pont)
B. 3908. Bizonyítsuk be, hogy 23n+1 minden n természetes számra osztható 3n+1-nel.
(3 pont)
B. 3909. Egy szabályos pénzérmét 12-szer feldobunk egymás után és leírjuk a dobások eredményét. Mi a valószínűsége annak, hogy nem követi egymást három fej?
(5 pont)
B. 3910. Adott az AB átmérőjű k kör. Vegyünk fel a kör belsejében egy E pontot. Az AE és a BE egyeneseknek a körrel alkotott másik metszéspontja C, illetve D. Bizonyítsuk be, hogy az AC.AE+BD.BE kifejezés értéke nem függ az E helyzetétől.
(4 pont)
B. 3911. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges hegyesszögű háromszögbe mindig írható olyan ellipszis, aminek egyik fókusza a háromszög magasságpontja, másik fókusza a körülírt körének középpontja.
(5 pont)
 |
A-jelű feladatokA beküldési határidő 2006. május 18-án LEJÁRT. |
A. 398. Adott a síkon egy k kör, a körön kívül fekvő 
egyenes, továbbá a körön egy O pont.
Definiáljuk a k kör pontjain a + kétváltozós műveletet a következőképpen. A kör bármely X, Y pontpárjára jelöljük MXY-nal és az XY egyenes metszéspontját. (Ha X=Y, akkor az XY egyenes az érintő. Ha a két egyenes párhuzamos, akkor MXY az ideális pontja.) Szerkesszük meg az OMXY egyenes és a kör másik metszéspontját. (Ha OMXY érinti a kört, akkor a másik metszéspont is O.) Ez a pont legyen X+Y.
Mutassuk meg, hogy a + művelet kiterjeszthető a k kör és az egyenes összes, valamint ideális pontjára úgy, hogy a pontok a + művelettel kommutatív csoportot alkossanak, amelynek egységeleme az O pont, azaz teljesüljenek a következő feltételek:
a) Tetszőleges X, Y, Z-re (X+Y)+Z=X+(Y+Z);
b) Tetszőleges X, Y esetén X+Y=Y+X;
c) Tetszőleges X-re X+O=X;
d) Tetszőleges X-hez létezik olyan Y, amelyre X+Y=O.
(5 pont)
A. 399. Egy S halmaznak adott n darab 3-elemű részhalmaza. Bizonyítsuk be, hogy n=6 esetén S elemeit ki lehet színezni két színnel úgy, hogy egyik kiválasztott részhalmaz se legyen egyszínű. Mi a helyzet n=7 esetén?
(5 pont)
A. 400. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges x, y, z, u pozitív valós számokra
(5 pont)
A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:
- megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.
(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)