A KöMaL 2011. áprilisi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Feladat típusok elrejtése/megmutatása:

C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2011. május 10-én LEJÁRT.

C. 1075. Melyik az a háromjegyű szám, amely tizenkétszer akkora, mint a számjegyeinek összege?

(5 pont)

C. 1076. Egy másodfokú egyenlet gyökei két egymást követő egész szám négyzetei. A két gyök mértani közepe 1-gyel nagyobb a gyökök különbségénél. Írjuk fel a másodfokú egyenletet.

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1077. Az ABC háromszögben az AC oldal C-hez közelebbi E negyedelő pontjára és a BC oldal F felező pontjára illeszkedő egyenes az AB egyenest D-ben metszi. Hány százaléka az ADE háromszög területe az ABC háromszög területének?

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1078. A 26 betűből álló angol abc-ből készítünk legfeljebb tízbetűs karaktersorozatokat, amelyeket ,,szavaknak'' nevezünk. (Egy ,,szó'' készíthető akár csak egy betű felhasználásával, és két ,,szó'' különböző, ha legalább egy betűben eltérnek egymástól.) Igazoljuk, hogy az így kapott összes lehetséges ,,szavak'' száma osztható 27-tel.

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1079. Pezsgőspoharunk csonkakúp alakú, az alapkör sugara 1 cm, a fedőkör sugara 4 cm, a magassága 6 cm (lásd az ábrát). Milyen magasságig kell tölteni a poharat, ha egy fél pohár italt szeretnénk inni?

(5 pont)

megoldás, statisztika

B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2011. május 10-én LEJÁRT.

B. 4352. Legalább hány konvex ötszögre van szükség ahhoz, hogy azokból összerakhassunk egy konvex 2011-szöget?

Javasolta: Mészáros József (Jóka)

(3 pont)

megoldás, statisztika

B. 4353. Legyen A egy pozitív egész szám, B pedig jelölje az A számjegyeinek fordított sorrendben való felírásával keletkező számot. Mutassuk meg, hogy az A+B és A-B számok közül legalább az egyik osztható 11-gyel.

Javasolta: Mészáros József (Jóka)

(3 pont)

megoldás, statisztika

B. 4354. Adottak a síkon az egymástól különböző A, B, C, D pontok. Szerkesszünk két egymást kívülről érintő kört, amelyek egyike az A és B pontokon, másika a C és D pontokon megy át, továbbá érintési pontjuk rajta van a BC szakaszon.

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 4355. Bizonyítsuk be, hogy ha az x, y és z pozitív számok szorzata 1, akkor

$\frac{z^3 + y^3}{x^2+xy+y^2} + \frac{x^3 + z^3}{y^2+yz+z^2} + \frac{y^3 + x^3}{z^2+zx+x^2} \ge 2.$

Szoldatics József (Dunakeszi) javaslata alapján

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 4356. Adott AB szakaszra legfeljebb hat olyan -- AB egyenesének ugyanazon oldalára eső -- egymáshoz hasonló háromszöget lehet szerkeszteni, amelynek egyik oldala AB. Igazoljuk, hogy ezen háromszögek harmadik csúcsai egy körre illeszkednek.

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 4357. Legyen n>1 pozitív egész. Mutassuk meg, hogy n³-n² osztója az

$\binom{n^2}{n+1}$

binomiális együtthatónak.

Javasolta: Holló Gábor (Budapest)

(3 pont)

megoldás, statisztika

B. 4358. Oldjuk meg a következő egyenletet:

$\big(11x^3 + 80\big)\root3\of{x+11} + \big(x^3 - 92\big)\root3\of{92x-80} = 0.$

Javasolta: Kovács Béla (Szatmárnémeti)

(5 pont)

megoldás, statisztika

B. 4359. Messük el a szabályos tetraédert egy olyan síkkal, amely az egyik lapjára merőleges, s azt az e egyenesben metszi. Ennek a síknak a tetraéder másik három lapsíkjával képzett metszésvonalai e-vel $\varphi$ ₁, $\varphi$ ₂, $\varphi$ ₃ szöget zárnak be. Határozzuk meg a

$\mathop{\rm tg}\nolimits^{2}\varphi_1 +\mathop{\rm tg}\nolimits^{2}\varphi_2 +\mathop{\rm tg}\nolimits^{2}\varphi_3$

kifejezés lehetséges értékeit.

(5 pont)

megoldás, statisztika

B. 4360. Tetszőleges n pozitív egész szám esetén jelölje S(n) az n számjegyeinek összegét. Milyen 1-nél nagyobb k egészekhez létezik olyan c_k pozitív valós szám, melyre

S(kn) $\ge$ c_k^.S(n)

teljesül minden pozitív egész n esetén?

Javasolta: Erben Péter (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika

B. 4361. Legyenek egy ellipszis féltengelyei a és b, középpontja O; $P_1, P_2, \ldots, P_n$ pedig olyan pontjai a görbének, amelyekre a P_iOP_i+1 szögek mindegyike $\frac{\pi}{n}$ . Mutassuk meg, hogy n>1 esetén

$\frac{2}{OP_1^2}+\frac{2}{OP_2^2}+ \ldots +\frac{2}{OP_n^2}= \frac{n}{a^2}+\frac{n}{b^2}.$

(5 pont)

megoldás, statisztika

A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2011. május 10-én LEJÁRT.

A. 533. Határozzuk meg mindazokat a pozitív egészekből álló (a,b,c) számhármasokat, amelyekre a²+b² osztható (abc+1)-gyel.

(5 pont)

statisztika

A. 534. Egy háromszög oldalai a, b és c, a hozzájuk tartozó súlyvonalak hossza rendre s_a, s_b, illetve s_c. Igazoljuk, hogy

$\frac{s_as_b}{a^2+b^2} + \frac{s_bs_c}{b^2+c^2} + \frac{s_cs_a}{c^2+a^2} \ge \frac98.$

Javasolta: Nagy Donát (Szeged)

(5 pont)

statisztika

A. 535. Adott egy egyszerű G gráf, csúcsai v₁,...,v_n. Adottak továbbá a nemnegatív egészekből álló H₁,...,H_n halmazok úgy, hogy minden 1 $\le$ i $\le$ n-re H_i elemszáma legfeljebb fele v_i fokának. Igazoljuk, hogy G-nek van olyan G' részgráfja, amelynek v₁,...,v_n mindegyike csúcsa, és a v_i csúcs G'-beli foka nem eleme H_i-nek egyetlen i-re sem.

Javasolta: Lovász László Miklós (Budapest)

(5 pont)

statisztika

A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:

megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?