A KöMaL 2012. májusi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Feladat típusok elrejtése/megmutatása:

C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2012. június 11-én LEJÁRT.

C. 1125. Egy három oszlopos táblázatot soronként a következő módon töltöttünk ki. Az első oszlop n-edik sorába beírjuk 2ⁿ-t az egyes helyiértéken álló számjegye nélkül. A második oszlop n-edik sorába beírjuk az első oszlopban elhagyott számjegyet. Végül a harmadik oszlop n-edik sorába a sorban előtte álló két szám szorzata kerül. Igazoljuk, hogy a harmadik oszlopban álló számok oszthatók hattal.

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1126. A 30 cm sugarú, O₁ középpontú kör egyik átmérője AB. Ezt a kört belülről érinti az O₂ középpontú, 15 cm sugarú kör az A-ban, valamint az O₃ középpontú, 10 cm sugarú kör a B-ben. Mekkora azoknak a köröknek a sugara, amelyek mindhárom kört érintik?

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1127. Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán:

|x-|x-|x-4|||=x²-4x.

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1128. Hat kockával dobunk egyszerre. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a dobott számok között van legalább négy egyforma?

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1129. Adjuk meg azt a pontot, amelyből a 2y=x²-2 parabolához húzott érintők érintik a 4y=x²-10x+37 egyenletű parabolát is.

Javasolta: Holló Gábor (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika

B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2012. június 11-én LEJÁRT.

B. 4452. Legyen t>0 valós szám, és jelöljük (minden i pozitív egészre) a $t^{i}+\frac{1}{t^{i}}$ összeget T_i-vel. Mutassuk meg, hogy minden k pozitív egészre

$T_{1}T_{2}T_{4}\ldots T_{2^{k-1}}=T_{1}+T_{3}+T_{5}+\ldots +T_{2^{k}-3}+T_{2^{k}-1}.$

Javasolta: Pataki János (Budapest)

(3 pont)

megoldás, statisztika

B. 4453. Egy T téglatestet három síkkal nyolc kisebb téglatestre bontottunk. A kis téglatesteket feketére és fehérre színeztük úgy, hogy a szomszédos darabok különböző színűek legyenek. Tudjuk, hogy a fekete téglák térfogatának összege megegyezik a fehér téglák térfogatának összegével. Bizonyítsuk be, hogy a síkok valamelyike felezi T-t.

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 4454. Az ABCD paralelogrammában AB>BC. Szerkesszük meg a paralelogramma belsejében azt a P pontot, amelyre

$APD\sphericalangle + BPC\sphericalangle = {180}^{\circ}$

és

$PAB\sphericalangle + PDA\sphericalangle ={90}^{\circ}.$

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 4455. Véges sok pozitív szám közül egyik sem nagyobb a többi összegénél. Igazoljuk, hogy két részre oszthatjuk őket úgy, hogy bármelyik részben a számok összege legfeljebb kétszer akkora, mint a másikban.

Erdős Pál (1913-1996) feladata

(3 pont)

megoldás, statisztika

B. 4456. Legyen f a pozitív valós számok halmazán értelmezett olyan valós értékű függvény, amelyre

$f\big(\sqrt{xy}\,\big) = f\left(\frac{x+y}{2}\right)$

teljesül minden x,y>0 értékre. Bizonyítsuk be, hogy f konstans.

Javasolta: Daróczy Zoltán (Debrecen)

(3 pont)

megoldás, statisztika

B. 4457. Mekkora a 3, 4 és 5 oldalú háromszög területét felező szakaszok közül a legrövidebbnek a hossza?

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 4458. Adottak az a és b egyenesek, valamint az a-ra nem illeszkedő A és a b-re nem illeszkedő B pont. Ha O nem esik egybe az A, B pontok egyikével sem, akkor van egy olyan O centrumú forgatva nyújtás, ami A-t B-be viszi. Mi azon O pontok mértani helye a síkban, amelyekre ennél a transzformációnál az OA és az a egyenes metszéspontjának képe az OB és a b metszéspontja?

Javasolta: Hraskó András (Budapest)

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 4459. Jelölje x>1-re A(x) az x-nél kisebb, pozitív négyzetmentes számok reciprokainak összegét, B(x) pedig az x-nél kisebb, pozitív nem-négyzetmentes számok reciprokainak összegét. Bizonyítsuk be, hogy A(x)>B(x).

Javasolta: Maga Péter

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 4460. Megrajzoljuk az ABC háromszög oldalaira kifelé az ABD, BCE és CAF szabályos háromszögeket. Jelölje a BD és BE szakasz felezőpontját rendre G, illetve H, a CAF háromszög középpontját pedig I. Igazoljuk, hogy az AH, CG és BI egyenesek egy pontban metszik egymást.

Javasolta: Miklós Szilárd (Herceghalom)

(5 pont)

megoldás, statisztika

B. 4461. Legyen p $\ge$ 2 valós szám. Bizonyítsuk be, hogy ekkor tetszőleges x, y, z és v nemnegatív valós számokra

(x+y)^p+(z+v)^p+(x+z)^p+(y+v)^p $\le$ x^p+y^p+z^p+v^p+(x+y+z+v)^p.

Javasolta: Besenyei Ádám (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika

A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2012. június 11-én LEJÁRT.

A. 563. Legyen 1 $\le$ p<2 valós szám. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges x, y, z és v nemnegatív valós számokra

(x+y)^p+(z+v)^p+(x+z)^p+(y+v)^p $\le$ x^p+y^p+z^p+v^p+(x+y+z+v)^p.

Javasolta: Besenyei Ádám (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika

A. 564. Az ABC háromszög beírt köre k, az AB, BC, CA oldalakat rendre a C₀, A₀ és B₀ pontokban érinti. Az A és B csúcsokból induló szögfelezők k-t az A₁ és A₂, illetve B₁ és B₂ pontokban metszik; AA₁<AA₂ és BB₁<BB₂. A k₁ $\ne$ k kör a B₀ pontban kívülről érinti a CA oldalt, és érinti az AB egyenest. A k₂ $\ne$ k kör az A₀ pontban kívülről érinti a BC oldalt, és érinti az AB egyenest. A k₃ kör az A₁ pontban érinti k-t, és a P pontban érinti k₁-et. A k₄ kör a B₁ pontban érinti k-t, és a Q pontban érinti k₂-t. Igazoljuk, hogy az A₁A₂P és B₁B₂Q körök hatványvonala a C-ből induló szögfelező.

(5 pont)

statisztika

A. 565. A pozitív egész számokat kiszíneztük véges sok színnel. Az f függvény a pozitív egészek halmazát önmagába képezi úgy, hogy a következők teljesülnek:

(a) ha x $\le$ y, akkor f(x) $\le$ f(y); és

(b) ha x, y és z azonos színű, nem feltétlenül különböző pozitív egészek, és x+y=z, akkor f(x)+f(y)=f(z).

Következik-e a fentiekből, hogy az $\frac{f(x)}x$ függvény felülről korlátos?

(A Romanian Master in Mathematics, 2012/3. feladat nyomán)

(5 pont)

statisztika

A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:

megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?