A KöMaL 2014. áprilisi matematika feladatai

C-jelű feladatok A beküldési határidő 2014. május 12-én LEJÁRT.

---

C. 1224. Összeszoroztunk két csupa 9-esekből álló egész számot, egy $\displaystyle m$ és egy $\displaystyle n$ jegyűt. Mennyi a szorzat számjegyeinek összege?

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1225. Mekkora annak az egyenlő szárú háromszögnek a kerülete, melynek alapja 6 cm, a beírt körének sugara pedig 1,5 cm?

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1226. Oldjuk meg a következő egyenletet az egész számpárok halmazán:

$\displaystyle x^2-3y^2+2xy-2x-10y+20=0.$

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1227. Egy trapéz alapjainak hossza 7, illetve 1. Az alapokkal párhuzamos egyenessel két egyenlő területű részre vágtuk a trapézt. Mekkora darabja esik az egyenesnek a trapéz belsejébe?

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1228. Konyhaszekrényünkben minden bögre különböző, a harmaduknak letört a füle. Hány bögrénk van, ha két fületlen és három ép bögrét pontosan 1200-féleképpen tudunk kiválasztani?

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1229. Mekkora hányadát vágja le egy gömb térfogatának az a sík, amelynek távolsága a gömb középpontjától a gömb sugarának 2/3-a?

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1230. Az $\displaystyle x^2+y^2-2x-4y-45=0$ egyenletű körvonal rácspontjaiból véletlenszerűen választunk hármat. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a három pont derékszögű háromszöget alkot?

(5 pont)

megoldás, statisztika

B-jelű feladatok A beküldési határidő 2014. május 12-én LEJÁRT.

---

B. 4622. Egy $\displaystyle 3\times 3$-as táblázat mezőibe úgy írtuk be az $\displaystyle 1,2,\ldots,9$ számokat, hogy mind a négy $\displaystyle 2\times 2$-es négyzeten belül ugyanannyi a számok összege. Mi lehet ez az összeg?

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 4623. Egy konvex négyszögben az átlók négy olyan háromszöget határoznak meg, amelyek területe egész szám. Bizonyítsuk be, hogy ennek a négy egésznek a szorzata nem végződhet 2014-re.

(3 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 4624. Az $\displaystyle ABCD$ trapézban jelölje $\displaystyle E$ és $\displaystyle F$ az $\displaystyle AB$, illetve $\displaystyle CD$ alap felezőpontját, $\displaystyle O$ pedig az átlók metszéspontját. Az $\displaystyle OA$, $\displaystyle OE$ és $\displaystyle OB$ szakaszokat egy alapokkal párhuzamos egyenes rendre az $\displaystyle M$, $\displaystyle N$ és $\displaystyle P$ pontokban metszi. Mutassuk meg, hogy az $\displaystyle APCN$ és $\displaystyle BNDM$ négyszögek területe egyenlő.

Javasolta: Longáver Lajos (Nagybánya)

(3 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 4625. Hány olyan $\displaystyle (A,B)$ rendezett pár van, ahol $\displaystyle A$ és $\displaystyle B$ egy rögzített $\displaystyle n$ elemű halmaz részhalmazai és $\displaystyle A\subseteq B$?

(4 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 4626. Igazoljuk, hogy $\displaystyle {(1+a)}^4 {(1+b)}^4 \ge 64ab {(a+b)}^2$ tetszőleges $\displaystyle a,b\ge 0$ számokra teljesül.

(6 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 4627. Az $\displaystyle ABC$ háromszög derékszögű $\displaystyle C$ csúcsából induló szögfelező a körülírt kört a $\displaystyle P$, az $\displaystyle A$-ból induló szögfelező pedig a $\displaystyle Q$ pontban metszi. A $\displaystyle PQ$ és $\displaystyle AB$ szakaszok metszéspontja $\displaystyle K$. A beírt kör középpontja $\displaystyle O$, az $\displaystyle AC$ oldalon levő érintési pont $\displaystyle E$. Bizonyítsuk be, hogy az $\displaystyle E$, $\displaystyle O$ és $\displaystyle K$ pontok egy egyenesbe esnek.

Javasolta: Sárosdi Zsombor (Veresegyház)

(4 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 4628. Mutassuk meg, hogy ha $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \beta$ és $\displaystyle \gamma$ egy háromszög szögei, akkor

$\displaystyle \sin\alpha\cdot \sin\beta\cdot \cos\gamma+\sin\alpha\cdot \cos\beta\cdot \sin\gamma+ \cos\alpha\cdot \sin\beta\cdot \sin\gamma\le \frac 98.$

(4 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 4629. Oldjuk meg a

$\displaystyle 2\sin\frac{3x}{2}=3\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right).$

egyenletet.

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 4630. Az $\displaystyle A$, $\displaystyle B$, $\displaystyle C$ és $\displaystyle D$ pontok nem esnek egy síkba. Határozzuk meg azon $\displaystyle P$ pontok mértani helyét, amelyekre $\displaystyle PA^{2}+PC^{2}=PB^{2}+PD^{2}$.

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 4631. Az egy síkban fekvő $\displaystyle k_0$, $\displaystyle k_1$, $\displaystyle k_2$, $\displaystyle k_3$ körök páronként kívülről érintik egymást; $\displaystyle k_i$ és $\displaystyle k_j$ érintési pontja $\displaystyle T_{ij}$. Legyen $\displaystyle k_0$ középpontja $\displaystyle O$; sugara $\displaystyle r$. Legyen a $\displaystyle T_{12}T_{23}T_{31}$ kör középpontja $\displaystyle U$, sugara pedig $\displaystyle R$. Igazoljuk, hogy

$\displaystyle OU^2 = R^2-4Rr+r^2.$

(6 pont)

megoldás, statisztika

A-jelű feladatok A beküldési határidő 2014. május 12-én LEJÁRT.

---

A. 614. Az $\displaystyle A_1A_2A_3$ háromszög $\displaystyle A_i$-vel szemközti hozzáírt körét jelöljük $\displaystyle k_i$-vel, és legyen $\displaystyle P_i$ az a pont a $\displaystyle k_i$ körön, amelyre az $\displaystyle A_{i+1}A_{i+2}P_i$ kör érinti $\displaystyle k_i$-t. ($\displaystyle i=1,2,3$; a pontok indexeit modulo $\displaystyle 3$ értjük.) Mutassuk meg, hogy az $\displaystyle A_1P_1$, az $\displaystyle A_2P_2$ és az $\displaystyle A_3P_3$ szakasz egy ponton megy át.

(5 pont)

statisztika

---

A. 615. Balázs és Péter a következő játékot játssza. Balázs felír száz valós számot a táblára. Ezután felváltva lépnek, Péter kezd. Minden lépésben a soron következő játékos választ két számot, ezeket letörli, és mindkettő helyére az átlagukat írja. Péter akkor nyeri meg a játékot, ha eléri, hogy valamelyik 50 szám összege megegyezzen a többi 50 szám összegével. Megakadályozhatja-e ezt Balázs?

Javasolta: I. Bogdanov és A. Shapovalov

(5 pont)

statisztika

---

A. 616. Igazoljuk, hogy

$\displaystyle \left(\frac{1+a}2\right)^{2x(x+y)} \left(\frac{1+b}2\right)^{2y(x+y)} \ge a^{x^2} b^{y^2} \left(\frac{a+b}2\right)^{2xy}$

teljesül tetszőleges $\displaystyle a,b>0$ és $\displaystyle x$, $\displaystyle y$ valós számokra.

(5 pont)

statisztika