A KöMaL 2014. októberi matematika feladatai

K-jelű feladatok A beküldési határidő 2014. november 10-én LEJÁRT.

K. 427. Hányféleképpen tudunk kiválasztani csak 8-as számjegyből álló pozitív egész számokat úgy, hogy az összegük 1000 legyen?

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 428. Gondoltunk egy pozitív egész számra. Adjuk össze 1-től a gondolt számig a páratlan, illetve a páros számokat. A páratlan számok összege 2014-gyel nagyobb, mint a páros számok összege. Melyik számra gondoltunk?

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 429. Az $\displaystyle ABC$ egyenlőszárú háromszög $\displaystyle C$ csúcsánál lévő szög nagysága $\displaystyle 120^\circ$. A szárfelező merőlegesek az alapot a $\displaystyle D$ és $\displaystyle E$ pontokban metszik. Mutassuk meg, hogy az $\displaystyle ABC$ háromszög területe háromszor akkora, mint a $\displaystyle CDE$ háromszög területe.

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 430. Vezessük be a következő jelölést: $\displaystyle 33335 = 3_{4}5_{1}$, azaz az alsó indexbe írt szám jelölje, hogy az adott számjegyből mennyi van egymás mellett (az alsó indexben csak pozitív egész szám állhat). Adjuk meg ekkor a következő összegben a betűk értékét: $\displaystyle 1_{x}4_{y}3_{z}8_{w}+ 4_{p}8_{q}3_{r} = 5_{2}9_{3} 7_{3}2_{2} 1_{1}$.

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 431. Egy 2 cm sugarú, kör alakú befőttesgumit úgy ,,nyomtunk'' össze két párhuzamos egyenes hurkapálcával, hogy a hurkapálcák egyenesei egymástól 2 cm-re álltak meg. A befőttesgumi hossza nem változott meg, de az általa kirajzolt alakzat most két félkörből és két párhuzamos szakaszból áll. Hányszorosára változott a befőttesgumi által közrefogott terület az ,,összenyomás'' során?

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 432. Legyen egy derékszögű háromszög két befogójának hossza $\displaystyle a$ és $\displaystyle b$ egység, átfogójának hossza $\displaystyle c$ egység. Tudjuk, hogy $\displaystyle a+b=4+c$. Hogyan viszonyul egymáshoz a háromszög kerületének és területének mérőszáma?

(6 pont)

megoldás, statisztika

C-jelű feladatok A beküldési határidő 2014. november 10-én LEJÁRT.

C. 1245. Vegyünk két szomszédos háromszögszámot, és az egyik háromszorosához adjuk hozzá a másikat. Mutassuk meg, hogy így ismét háromszögszámot kapunk.

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1246. Egy húrtrapéz magassága 30 cm, szára 34 cm. A trapézba kör írható. Határozzuk meg a szárakon lévő érintési pontok távolságát.

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1247. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:

$\displaystyle x+\sqrt y =1,$

$\displaystyle \sqrt x+y =1.$

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1248. Határozzuk meg az összes $\displaystyle \overline{abc}$ háromjegyű számot, melyre $\displaystyle \overline{abc}= a!+b!+c!$, ahol $\displaystyle n!$ jelöli 1-től $\displaystyle n$-ig a pozitív egész számok szorzatát.

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1249. Oldjuk meg a következő egyenletet:

$\displaystyle \sqrt{\frac{\cos {15}^\circ}2 x^2 - \cos {45}^\circ x + \sin {15}^\circ}=3 +4\sin^2 15^\circ.$

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1250. Egy háromszög oldalai: $\displaystyle a=2t-1$, $\displaystyle b=t^2-1$, $\displaystyle c=t^2-t+1$, ahol $\displaystyle t>1$ valós szám. Bizonyítsuk be, hogy a háromszög beírt körének sugara $\displaystyle (t-1)\frac{\sqrt 3}2$.

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1251. Egy egységnyi sugarú félkör alakú fémlemezt három körszelet levágásával trapézzá szabunk át. Hogyan válasszuk meg a trapéz méreteit, hogy a hulladék minimális legyen?

(5 pont)

megoldás, statisztika

B-jelű feladatok A beküldési határidő 2014. november 10-én LEJÁRT.

B. 4651. Az $\displaystyle n$ pozitív egész számot egzotikusnak nevezzük, ha osztható a pozitív osztóinak számával. Bizonyítsuk be a következő állításokat:

$\displaystyle a)$ Ha egy egzotikus szám páratlan, akkor ez a szám négyzetszám.

$\displaystyle b)$ Végtelen sok egzotikus szám van.

(3 pont)

megoldás, statisztika

B. 4652. Egy háromszög szögei $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \beta$ és $\displaystyle \gamma$. Mekkorák annak a háromszögnek a szögei, amelyet a körülírt körhöz a csúcsokban húzott érintők alkotnak?

(3 pont)

megoldás, statisztika

B. 4653. Hány olyan pozitív egészekből álló $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle c$ rendezett számhármas van, amelyre igaz, hogy $\displaystyle [a,b,c]=10!$ és $\displaystyle (a,b,c)=1$? (Az $\displaystyle (a,b,c)$ a legnagyobb közös osztót, az $\displaystyle [a,b,c]$ pedig a legkisebb közös többszöröst jelenti.)

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 4654. Az $\displaystyle ABC$ háromszögben legyen $\displaystyle AD$ magasság, $\displaystyle BE$ szögfelező, $\displaystyle CF$ pedig súlyvonal. Bizonyítsuk be, hogy az $\displaystyle AD$, $\displaystyle BE$ és $\displaystyle CF$ egyenesek pontosan akkor metszik egymást egy pontban, ha $\displaystyle ED$ párhuzamos $\displaystyle AB$-vel.

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 4655. Megoldható-e a pozitív egész számpárok halmazán a

$\displaystyle 2012^{2015}=\binom n2 +\binom k2$

egyenlet?

Javasolta: Maga Balázs

(5 pont)

megoldás, statisztika

B. 4656. Mutassuk meg, hogy bármely négyoldalú konvex testszögletnek létezik paralelogramma alakú síkmetszete.

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 4657. Egy háromszög beírható körének a sugara $\displaystyle r$, a körülírt körének sugara pedig $\displaystyle R$. Tegyük föl, hogy $\displaystyle R < r \big(\sqrt{2}+1\big)$. Következik-e a feltételből, hogy a háromszög hegyesszögű?

Javasolta: Káspári Tamás (Paks)

(5 pont)

megoldás, statisztika

B. 4658. Oldjuk meg a

$\displaystyle 8^{2x-1}-1=343^{x-1}+\frac{3}{14} 28^x$

egyenletet.

(6 pont)

megoldás, statisztika

B. 4659. Adott az egységkörlapon $\displaystyle n$ pont. Legfeljebb mennyi lehet a páronkénti távolságaik szorzata?

(6 pont)

megoldás, statisztika

A-jelű feladatok A beküldési határidő 2014. november 10-én LEJÁRT.

A. 623. Legyen $\displaystyle a$, $\displaystyle b$ és $\displaystyle c$ három különböző pozitív valós szám. Az $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle c$ számok logaritmikus közepén a következő számot értjük:

$\displaystyle L(a,b,c) = 2\left(\frac{a}{(\ln a-\ln b)(\ln a-\ln c)} + \frac{b}{(\ln b-\ln c)(\ln b-\ln a)} + \frac{c}{(\ln c-\ln a)(\ln c-\ln b)}\right).$

Igazoljuk, hogy

$\displaystyle \sqrt[3]{abc} < L(a,b,c) < \frac{a+b+c}{3}.$

(5 pont)

megoldás, statisztika

A. 624. $\displaystyle a)$ Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges $\displaystyle x_1,x_2,\ldots\in[0,1]$ végtelen számsorozathoz létezik olyan $\displaystyle C>0$ szám, hogy bármely $\displaystyle r$ pozitív egészhez vannak olyan $\displaystyle n$, $\displaystyle m$ pozitív egészek, amikre

$\displaystyle |n-m|\ge r \quad\text{és}\quad |x_n-x_m|<\frac{C}{|n-m|}.$

$\displaystyle b)$ Mutassuk meg, hogy minden olyan $\displaystyle C>0$ számhoz létezik olyan $\displaystyle x_1,x_2,\ldots \in[0,1]$ végtelen számsorozat és olyan $\displaystyle r$ pozitív egész, hogy

$\displaystyle |x_n-x_m|>\frac{C}{|n-m|}$

teljesül minden olyan $\displaystyle n$, $\displaystyle m$ pozitív egész párra, amikre $\displaystyle |n-m|\ge r$.

CIIM6, Costa Rica

(5 pont)

megoldás, statisztika

A. 625. Legyen $\displaystyle n\ge2$, és legyen $\displaystyle \mathcal{S}$ az $\displaystyle \{1,2,\ldots,n\}$ halmaz bizonyos részhalmazaiból álló halmazrendszer, amire igaz, hogy bármely $\displaystyle A,B,C,D\in\mathcal{S}$ esetén $\displaystyle |A\cup B\cup C\cup D|\le n-2$. Mutassuk meg, hogy $\displaystyle |\mathcal{S}|\le 2^{n-2}$.

CIIM6, Costa Rica

(5 pont)

megoldás, statisztika