A KöMaL 2015. májusi matematika feladatai

C-jelű feladatok A beküldési határidő 2015. június 10-én LEJÁRT.

C. 1294. Fejezzük ki a $\displaystyle \frac{13}{38}$ törtet $\displaystyle \frac 1m+\frac 1n$ alakban, ahol $\displaystyle m$ és $\displaystyle n$ pozitív egész számok.

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1295. Az $\displaystyle ABCD$ négyszög $\displaystyle C$ és $\displaystyle D$ csúcsánál levő szög megegyezik, továbbá az $\displaystyle A$ és $\displaystyle B$ csúcsnál levő belső szögfelezők $\displaystyle E$ metszéspontja a $\displaystyle CD$ oldalra esik. Bizonyítsuk be, hogy $\displaystyle E$ felezi a $\displaystyle CD$ oldalt.

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1296. Mekkorák annak a hegyesszögű egyenlőszárú háromszögnek a szögei, melynek súlypontját az egyik magasság talppontjára tükrözve a tükörkép a háromszög alapjának egyenesére esik?

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1297. Egy cirkuszban a fő attrakció az oroszlán és az elefánt mutatványa. Az állatok szeszélyessége miatt azonban nem mindig valósítható meg ez a két produkció. Az oroszlán az előadások $\displaystyle \frac{4}{5}$ részében lép porondra, míg az elefánt csak $\displaystyle \frac{3}{4}$ részében. Szerencsés cirkusz lévén, az előadások $\displaystyle 99\%$-ában legalább az egyik állat szerepel. Mekkora valószínűséggel láthatjuk mindkét állatot egy műsoron?

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1298. A mellékelt ábra egy parkot szemléltet, ahol a szakaszok mutatják az ösvényeket. Hányféleképpen juthatunk el a bejárattól a kijáratig, ha minden ösvényen legfeljebb egyszer mehetünk végig, és az ösvényekről nem térhetünk le?

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1299. Oldjuk meg az $\displaystyle x^3+(1-3b)x^2 + \big(3b^2+2b-6\big) x-b^3+b^2-6b+9=0$ egyenletet, ha $\displaystyle x-b\ge 0$.

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1300. Egy konvex négyszög oldalainak hossza sorban $\displaystyle \sqrt{a}$, $\displaystyle \sqrt{a+3}$, $\displaystyle \sqrt{a+2}$ és $\displaystyle \sqrt{2a+5}$, mindkét átlója $\displaystyle \sqrt{2a+5}$ hosszú. Határozzuk meg a négyszög legnagyobb szögét.

(5 pont)

megoldás, statisztika

B-jelű feladatok A beküldési határidő 2015. június 10-én LEJÁRT.

B. 4714. Adott a síkon 2015 pont. Mutassuk meg, hogy ha közülük bármely négy egy konvex négyszög négy csúcsa, akkor a pontok egy konvex 2015-szög csúcsai.

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 4715. Adjuk meg az összes pozitív egész számokból álló $\displaystyle (a,b)$ számpárt, amelyre $\displaystyle a^{(b^2)}=b^a$ teljesül.

(5 pont)

megoldás, statisztika

B. 4716. Az $\displaystyle ABCDE$ szabályos ötszögből kivágtuk az $\displaystyle AB$ és $\displaystyle AE$ élek által meghatározott $\displaystyle ABFE$ rombuszt. Határozzuk meg a megmaradó $\displaystyle BCDEF$ konkáv ötszöglemez súlypontját.

Javasolta: Dombi Péter (Pécs)

(3 pont)

megoldás, statisztika

B. 4717. Oldjuk meg az

$\displaystyle |1-x| = \left|2x-57-2\sqrt{x-55}+\frac{1}{x-54-2\sqrt{x-55}}\right|$

egyenletet.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 4718. Az $\displaystyle ABCDA'B'C'D'$ kocka $\displaystyle B'C'$ élének felezőpontja $\displaystyle E$, $\displaystyle C'D'$ élének felezőpontja pedig $\displaystyle F$. Az $\displaystyle AEF$ sík két részre osztja a kockát. Határozzuk meg a két rész térfogatának arányát.

(5 pont)

megoldás, statisztika

B. 4719. Bizonyítsuk be, hogy bármely $\displaystyle a \ge b$ pozitív egész számokra teljesül, hogy

$\displaystyle \sum_{j=0}^{b}\, \sum_{i=j}^{a-b+j} \binom{i}{j} \binom{a-i}{b-j} =(a+1)\binom{a}{b}.$

Javasolta: Porupsánszki István (Miskolc, Földes Ferenc Gimn., 12. évf.)

(5 pont)

megoldás, statisztika

B. 4720. Figyelem! A feladat szövege a nyomtatott lapban hibásan jelent meg.

Legyenek $\displaystyle a$ és $\displaystyle n$ olyan pozitív egészek, amelyekre $\displaystyle a^n-1$ osztható $\displaystyle n$-nel. Bizonyítsuk be, hogy az $\displaystyle a+1$, $\displaystyle a^2+2$, ..., $\displaystyle a^n+n$ számok mind különböző maradékot adnak $\displaystyle n$-nel osztva.

(6 pont)

megoldás, statisztika

B. 4721. A $\displaystyle k$ kör érinti az $\displaystyle ABC$ egyenlő szárú háromszög $\displaystyle AB$ és $\displaystyle AC$ szárait, a $\displaystyle BC$ alapját pedig $\displaystyle K$-ban és $\displaystyle L$-ben metszi. Az $\displaystyle AK$ szakasz a $\displaystyle k$ kört másodszor az $\displaystyle M$ pontban metszi. A $\displaystyle K$ pont $\displaystyle B$-re, illetve $\displaystyle C$-re vonatkozó tükörképe rendre $\displaystyle P$ és $\displaystyle Q$. Igazoljuk, hogy $\displaystyle k$ érinti a $\displaystyle PMQ$ háromszög köré írt kört.

(6 pont)

megoldás, statisztika

B. 4722. Egy $\displaystyle n$-elemű halmaz minden permutációját kiszíneztük a piros, fehér és zöld színek valamelyikével. Jelölje $\displaystyle N_{PFZ}$ azt, hogy hányféleképpen lehet egymás után egy piros, majd egy fehér, végül egy zöld permutációt végrehajtani úgy, hogy végül minden elem a helyére kerüljön vissza. Hasonlóan, jelölje $\displaystyle N_{ZFP}$ azt, hogy hányféleképpen lehet egymás után egy zöld, egy fehér, végül egy piros permutációt végrehajtani úgy, hogy végül minden elem a helyére kerüljön vissza. Mutassuk meg, hogy $\displaystyle N_{PFZ}=N_{ZFP}$.

(6 pont)

megoldás, statisztika

A-jelű feladatok A beküldési határidő 2015. június 10-én LEJÁRT.

A. 644. Legyen $\displaystyle f(x,y)$ kétváltozós, egész együtthatós polinom, ami sem $\displaystyle x$-, sem $\displaystyle y$-irányban nem konstans. Mutassuk meg, hogy

$\displaystyle \max_{a,b\in[-2,2]}\big|f(a,b)\big|\ge4.$

Erdélyi Tamás (College Station, Texas) ötletéből

(5 pont)

megoldás, statisztika

A. 645. Létezik-e végtelen sok (nem feltétlenül konvex) 2015-szög a síkon úgy, hogy közülük bármely háromnak van közös belső pontja, de semelyik négynek nincs közös belső pontja?

(5 pont)

megoldás, statisztika

A. 646. Pamacs és Cézár a következő játékot játssza. Először Pamacs két csontot elás a téglalap alakú kert sarkaiban. Összesen 45 cm mélyre áshat, tehát a két csontot vagy különböző sarokba rejti, és a mélységeik összege legfeljebb 45 cm, vagy pedig egy helyre, és mindkét csontnak legfeljebb 45 cm mélyen kell lennie. A földet gondosan elsimítja, így nem lehet ránézésre megállapítani, hogy mely sarkokba rejthette el a csontokat. Cézár ezek után gödröket áshat ki, melyek mélységének összege összesen 1 m. Cézár célja az, hogy minél nagyobb eséllyel megtalálja mindkét csontot, Pamacs célja pedig az, hogy minél nagyobb valószínűséggel megtarthassa magának legalább az egyiket.

$\displaystyle (a)$ Mutassuk meg, hogy Pamacs ügyesen játszva elérheti, hogy 1/2-nél nagyobb valószínűséggel rejtve maradjon legalább az egyik csontja, függetlenül Cézár stratégiájától.

$\displaystyle (b)$ Ha mindkét kutya optimálisan játszik, Pamacs mekkora eséllyel jár sikerrel?

Javasolta: Csóka Endre (Warwick)

(5 pont)

megoldás, statisztika