A KöMaL 2019. decemberi matematika feladatai

K-jelű feladatok A beküldési határidő 2020. január 10-én LEJÁRT.

---

K. 639. Egy buszon 53 utas van, férfiak és nők, illetve kislányok és kisfiúk. A nők száma háromszor annyi, mint a kisfiúké, és 10-zel több, mint a kislányoké. Tudjuk továbbá, hogy a férfiak és kisfiúk száma összesen 15. Hány férfi, nő, kisfiú és kislány utazik a buszon?

(6 pont)

megoldás, statisztika

---

K. 640. Egy 5-re végződő kétjegyű számot úgy is négyzetre emelhetünk, hogy a tízesek helyén álló számjegyet megszorozzuk a nála 1-gyel nagyobb számmal, és a szorzat után 25-öt írunk. Indokoljuk meg a módszer helyességét.

(6 pont)

megoldás, statisztika

---

K. 641. Egy konvex négyszög belsejében felveszünk valamennyi pontot. A felvett pontokat egymással és a négyszög csúcsaival úgy kötjük össze egyenes szakaszokkal, hogy az összekötő szakaszoknak a négyszög belsejében ne legyen metszéspontja, és a szakaszok a négyszöget kis háromszögekre és ötszögekre bontsák. (Minden belső pont valamely háromszög vagy ötszög csúcsa.) Előfordulhat-e, hogy a négyszöget pontosan 2019 síkidomra bontottuk fel?

(6 pont)

megoldás, statisztika

---

K. 642. Adjuk meg az összes pozitív egész $\displaystyle x$ és $\displaystyle y$ számot, melyekre teljesül, hogy $\displaystyle x^2-y^2=2019$.

(6 pont)

megoldás, statisztika

---

K. 643. Az

$\displaystyle \frac{a6bc}{de3fg}$

törtben a 0 kivételével minden számjegy pontosan egyszer szerepel. Mit jelölhetnek az egyes betűk, ha a tört értéke $\displaystyle \frac12$?

(6 pont)

megoldás, statisztika

C-jelű feladatok A beküldési határidő 2020. január 10-én LEJÁRT.

---

C. 1574. Az ábrán látható metszéspontokra ráírtunk minden egész számot $\displaystyle 0$-tól $\displaystyle 10$-ig. Ezt követően minden kis háromszögbe beírjuk a csúcsain található számok összegét. Mekkora az így kapott $\displaystyle 14$ szám összegének lehető legnagyobb, illetve legkisebb értéke?

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1575. Határozzuk meg az összes olyan, $\displaystyle p$, $\displaystyle q$ pozitív prímekből álló számpárt, amelyre $\displaystyle 2pq+2p-q=q^2-8$.

Javasolta: Imre Tamás (Marosvásárhely)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1576. Adott az $\displaystyle O$ középpontú, egységsugarú kör, valamint a $\displaystyle P$ pont úgy, hogy $\displaystyle OP=2$. Tekintsük az egyik $\displaystyle P$-n átmenő szelőt, ami a kört az $\displaystyle M$ és $\displaystyle N$ pontokban metszi úgy, hogy az $\displaystyle NP$ szakasz felezőpontja $\displaystyle M$. Igazoljuk, hogy az $\displaystyle OMN$ háromszög területe kisebb, mint $\displaystyle \frac{1}{2}$.

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1577. Egy növekvő, végtelen számtani sorozatról tudjuk, hogy közvetlen egymás utáni tagjai a tízes számrendszerbeli két, illetve háromjegyű

$\displaystyle \overline{ab},\;\overline{abc},\;\overline{cab}$

számok (a megadott sorrendben). Hány tagja van ennek a számsorozatnak 1552 és 2020 között?

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1578. Két egybevágó téglalap úgy helyezkedik el, hogy a kerületük nyolc pontban metszi egymást. Mutassuk meg, hogy a két téglalap közös részének területe nagyobb a területük felénél.

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1579. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet:

$\displaystyle {(x-11)}^{\log_2 (x-10)}= {(x-11)}^{\log_{\frac12}(x-11)}.$

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1580. Bori véletlenszerűen elhelyez 10 pénzérmét egy sorban az asztalra. Egy lépésben mindig egyszerre két szomszédos érmét fordít át a másik oldalára. Mekkora annak a valószínűsége, hogy Bori nem tudja elérni, hogy valahány lépés után minden érmén a ,,fej'' legyen felül?

(5 pont)

megoldás, statisztika

B-jelű feladatok A beküldési határidő 2020. január 10-én LEJÁRT.

---

B. 5062. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:

$$\begin{align*} x[x]+y[y] & =1,\\ [x]+[y] & =1. \end{align*}$$

(MI&Q)

(3 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5063. Az $\displaystyle ABC$ háromszögben $\displaystyle BC<AC$ és az $\displaystyle ACB\sphericalangle$ derékszög. A $\displaystyle BC$ átmérőjű kört az $\displaystyle A$-ból húzott érintők a $\displaystyle C$ és $\displaystyle D$ pontban érintik. Az $\displaystyle AD$ érintő egyenese a $\displaystyle BC$ egyenest az $\displaystyle E$ pontban metszi. A $\displaystyle BC$ szakasz felezőpontja $\displaystyle O$. Bizonyítsuk be, hogy a $\displaystyle DEO$ háromszög területe megegyezik az $\displaystyle AEB$ háromszög területével.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(3 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5064. Az ábrán látható 26 mezőből álló ,,tábla'' hányféleképpen fedhető 13 ,,dominóval''? Egy-egy dominó két szomszédos mezőt fed le. (Az egymásba forgatható megoldásokat különbözőnek tekintjük.)

(4 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5065. A hegyesszögű $\displaystyle ABC$ háromszög köré írt kör középpontja $\displaystyle O$, az $\displaystyle O$ pont tükörképe a $\displaystyle BC$, $\displaystyle CA$ és $\displaystyle AB$ oldalakra rendre $\displaystyle O_A$, $\displaystyle O_B$, illetve $\displaystyle O_C$. Mutassuk meg, hogy az $\displaystyle AO_A$, $\displaystyle BO_B$ és $\displaystyle CO_C$ egyenesek egy ponton mennek át.

(4 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5066. Harminc diák a ,,Tautologika'' nevű tantárgyból vizsgázik. A diákok egy teremben ülnek, és a tanár egyetlen kérdést tesz fel nekik: ,,Az itt ülő 30 diákból összesen hányan fognak megbukni ezen a vizsgán?'' A diákoknak sorban egy-egy számot kell mondani. Minden egyes válasz elhangzása után a tanár azonnal kihirdeti az eredményt is, ami ,,megfelelt'' vagy ,,megbukott'' lehet.

A hallgatói önkormányzat elérte, hogy a vizsga után egy szakfelügyelő ellenőrizze az eredményeket. Ha van olyan diák, aki helyesen válaszolt, de mégis megbukott, a vizsga összes eredményét érvénytelenítik, és mindenki ,,megfelelt'' minősítést kap.

Van-e a diákoknak olyan stratégiája, ami biztosítja, hogy mindegyikük átmenjen a vizsgán?

(Orosz feladat)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5067. Az $\displaystyle ABC$ hegyesszögű háromszög $\displaystyle AB$ oldalának felezőpontja $\displaystyle F$, az $\displaystyle F$-re illeszkedő $\displaystyle e$ egyenes felezi $\displaystyle ABC$ kerületét. Az $\displaystyle e$ egyenes a $\displaystyle BC$ és $\displaystyle CA$ oldalegyeneseket rendre $\displaystyle D$ és $\displaystyle E$ pontokban metszi. Mutassuk meg, hogy az $\displaystyle AB$-re $\displaystyle F$-ben állított merőleges, a $\displaystyle BC$-re $\displaystyle D$-ben állított merőleges, és a $\displaystyle CA$-ra $\displaystyle E$-ben állított merőleges egyenesek egy pontban metszik egymást.

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5068. Tegyük fel, hogy $\displaystyle p$ egy legfeljebb 1998-adfokú polinom, melyre a $\displaystyle p(1), p(2),\dots,p(2000)$ értékek az $\displaystyle 1,2,\dots,2000$ számok egy permutációja. Követ­kezik-e ebből, hogy a $\displaystyle p(1)$ és $\displaystyle p(2000)$ számok az $\displaystyle 1$ és $\displaystyle 2000$ valamelyik sorrendben?

(6 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5069. Az $\displaystyle ABCD$ deltoid szimmetriatengelye $\displaystyle AC$. Az $\displaystyle AB$ oldalra $\displaystyle B$-ben, és a $\displaystyle CD$ oldalra $\displaystyle D$-ben állított merőlegesek metszéspontja $\displaystyle M$. Mutassuk meg, hogy $\displaystyle AMD\sphericalangle=BMC\sphericalangle$.

(6 pont)

megoldás, statisztika

A-jelű feladatok A beküldési határidő 2020. január 10-én LEJÁRT.

---

A. 764. Egy sokszög egy átlóját szépnek nevezzük, ha végig a sokszög belsejében vagy végig a sokszögön kívül halad. Legyen $\displaystyle P$ egy olyan $\displaystyle n$-szög, amelynek semelyik három csúcsa nem esik egy egyenesre. Bizonyítandó, hogy $\displaystyle P$-nek legalább $\displaystyle \frac32(n-3)$ szép átlója van.

Javasolta: Hujter Bálint (Budapest) és Szűcs Gábor (Szikszó)

(7 pont)

statisztika

---

A. 765. Határozzuk meg az összes olyan $\displaystyle f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ függvényt, amelyre minden $\displaystyle x,y\in \mathbb{R}$ esetén fennáll a következő egyenlőség:

$\displaystyle f(x)f(y)-f(x-1)-f(y+1)=f(xy)+2x-2y-4.$

Javasolta: Dobák Dániel (Budapest)

(7 pont)

statisztika

---

A. 766. Legyen $\displaystyle H$ egy olyan háromszög, amelyben mindhárom oldal és a körülírt kör sugara is egész hosszúságú. Bizonyítandó, hogy

$\displaystyle a)$ $\displaystyle H$-ban a beírt kör sugarának hossza egész;

$\displaystyle b)$ $\displaystyle H$ kerületének hossza osztható néggyel;

$\displaystyle c)$ $\displaystyle H$ mindhárom oldalának hossza páros.

Javasolta: Nikolai Beluhov (Bulgaria)

(7 pont)

statisztika