A KöMaL 2022. májusi matematika feladatai

C-jelű feladatok A beküldési határidő 2022. június 10-én LEJÁRT.

---

C. 1721. Boglárka felírt sorban egymás után $\displaystyle 2022$ darab számot úgy, hogy a második számot elosztva az elsővel, a hányados éppen a harmadik számmal lett egyenlő, és így tovább, például a hetedik szám egyenlő a hatodik és az ötödik szám hányadosával. Melyik számot írta fel utoljára Boglárka, ha az első a $\displaystyle 20$, a második pedig a $\displaystyle 22$ volt?

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1722. Az $\displaystyle ABCD$ négyszögről tudjuk, hogy a $\displaystyle AD$ oldal ugyanolyan hosszú, mint a $\displaystyle DC$ oldal, valamint hogy a $\displaystyle DAB$ szöget $\displaystyle \alpha$-val jelölve $\displaystyle ABC\sphericalangle=2\alpha$, $\displaystyle BCD\sphericalangle= 3\alpha$ és $\displaystyle CDA\sphericalangle=4\alpha$. Bizonyítsuk be, hogy az $\displaystyle AB$ oldal kétszer olyan hosszú, mint az $\displaystyle AD$ oldal.

(Német versenyfeladat)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1723. Határozzuk meg mindazon, csupa különböző számjegyből álló, legfeljebb négyjegyű $\displaystyle \overline{abcd}$ számokat (ahol $\displaystyle a=0$ is megengedett), amelyekre $\displaystyle 9\cdot\overline{abcd}= \overline{acbcd}$.

Javasolta: Siposs András (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1724. Az $\displaystyle ABC$ háromszögben $\displaystyle CAB\sphericalangle=30^{\circ}$. Mekkorák a háromszög ismeretlen szögei, ha a háromszög $\displaystyle C$ pontból induló súlyvonala $\displaystyle 45^{\circ}$-os szöget zár be az $\displaystyle AB$ egyenessel?

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1725. Legyen $\displaystyle p$ pozitív prímszám. Tudjuk, hogy az $\displaystyle x^2-px-580p=0$ egyenlet gyökei egész számok. Határozzuk meg $\displaystyle p$ értékét.

Javasolta: Szalai Máté (Szeged)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1726. Mutassuk meg, hogy ha $\displaystyle x$, $\displaystyle y$, $\displaystyle z$ olyan valós számok, amelyekre

$\displaystyle \frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}=1, \quad\text{akkor}\quad \frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}=0.$

Adjunk meg a feltételt teljesítő valós számokat.

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1727. Fúrjunk át egy $\displaystyle R$ sugarú tömör gömböt egy, a gömb középpontján átmenő egyenes mentén egy $\displaystyle r$ sugarú hengeres fúróval, ahol $\displaystyle r<R$. Fejezzük ki a keletkezett maradéktest térfogatát a maradéktest $\displaystyle m$ magasságának függvényében.

Javasolta: Szabó Bertalan (Miskolc, 1986)

(5 pont)

megoldás, statisztika

B-jelű feladatok A beküldési határidő 2022. június 10-én LEJÁRT.

---

B. 5246. 14 ember ül egy asztal körül, mindenki kék vagy sárga pólóban. Legfeljebb hány emberre teljesülhet, hogy a két szomszédja különböző színű pólóban van?

(3 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5247. Egy kötél két végpontját a talajhoz rögzítettük úgy, hogy a két végpont távolsága kisebb a kötél hosszánál. A kötél középső pontját 150 cm magasságra felemelve a kötél megfeszül. A kötél egyik végétől 90 cm-re lévő pontját felemelve a kötél 90 cm magasan feszül meg. Milyen hosszú a kötél?

(3 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5248. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert a valós számok halmazán:

$$\begin{align*} \frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}+x+y & =\frac{8}{xy},\\ x(x+1)+y(y+1) & =6. \end{align*}$$

(4 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5249. Jelöljük az $\displaystyle ABC$ háromszög beírt körének érintési pontjai által meghatározott háromszög területét $\displaystyle T_0$-lal, a hozzáírt körök középpontjai által meghatározott háromszög területét pedig $\displaystyle T_1$-gyel. Mutassuk meg, hogy $\displaystyle T_0$ és $\displaystyle T_1$ mértani közepe megegyezik az $\displaystyle ABC$ háromszög területével.

Javasolta: Bártfai Pál

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5250. Igazoljuk, hogy minden nemnegatív egész $\displaystyle n$ számra

$\displaystyle 2^{2^{n}(n-2)+n+2}\le (2^n)!\le 2^{2^{n}(n-1)+1}.$

Javasolta: Blahota István (Nyíregyháza)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5251. Vegyük fel azt az $\displaystyle ABCD$ téglalapot a koordinátarendszerben, amelynek csúcsai $\displaystyle A(0,0)$, $\displaystyle B(2022,0)$, $\displaystyle C(2022,2)$, $\displaystyle D(0,2)$. Tekintsük azokat az egységnyi területű háromszögeket, amelyek mindhárom csúcsa a téglalap hosszabbik oldalpárjának egy-egy rácspontja. Ezeket a háromszögeket szeretnénk megszínezni úgy, hogy azonos színű háromszögeknek nem lehet közös belső pontjuk. Legalább hány színre van ehhez szükségünk?

Javasolta: Nagy Zoltán Lóránt (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5252. Adott egy hat csúcsú $\displaystyle ABCA_1B_1C_1$ poliéder, amelynek $\displaystyle ABC$ és $\displaystyle A_1B_1C_1$ két háromszöglapja, továbbá az $\displaystyle AA_1$, $\displaystyle BB_1$ és $\displaystyle CC_1$ élei párhuzamosak. Az $\displaystyle AA_1B_1B$, $\displaystyle BB_1C_1C$ és $\displaystyle CC_1A_1A$ trapézlapok átlóinak metszéspontjai $\displaystyle P$, $\displaystyle Q$ és $\displaystyle R$. Mutassuk meg, hogy az $\displaystyle ABCPQR$ és $\displaystyle A_1B_1C_1PQR$ poliéderek térfogata meg­egyezik.

Javasolta: Kocsis Szilveszter (Budapest)

(6 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5253. Igaz-e, hogy ha $\displaystyle \binom{n}{k}$ páros, akkor az $\displaystyle n$ elemű $\displaystyle S$ halmaz $\displaystyle k$ elemű részhalmazai párokba rendezhetők úgy, hogy az egy párba tartozó részhalmazok szimmetrikus differenciája mindig 2 elemű?

(6 pont)

megoldás, statisztika

A-jelű feladatok A beküldési határidő 2022. június 10-én LEJÁRT.

---

A. 827. Legyen $\displaystyle n>1$ egész szám. Egy pakliban $\displaystyle n$-féle színű és $\displaystyle n$-féle értékű kártya van, minden szín és érték párból pontosan egy, azaz összesen $\displaystyle n^2$ darab. A paklit megkeverjük, és kiosztjuk $\displaystyle n$ játékos között úgy, hogy mindenki $\displaystyle n$ darab kártyát kapjon. A játékosok azt akarják megcsinálni, hogy egy általuk választott sorrendben leülnek egy kör alakú asztalhoz, és az első játékostól kezdve sorban leraknak egy-egy lapot, míg végül mindenki lerakta az összes lapját úgy, hogy mindig olyan kártyát kell rakni, amely sem színben, sem értékben nem egyezik meg a közvetlenül előtte lerakott kártyával (az elsőnek lerakott kártya bármi lehet). Mely $\displaystyle n$-ekre lehetséges, hogy úgy lett kiosztva a pakli, hogy a játékosok ezt nem tudják megcsinálni? (A játékosok együttműködnek egymással, és látják egymás lapjait.)

Javasolta: Kocsis Anett (Budapest)

(7 pont)

megoldás, statisztika

---

A. 828. Az $\displaystyle ABC$ háromszög beírt körének középpontja $\displaystyle I$, hozzáírt körei pedig $\displaystyle \Omega_A$, $\displaystyle \Omega_B$ és $\displaystyle \Omega_C$. Legyen $\displaystyle \ell_A$ az az egyenes, amely átmegy az $\displaystyle I$ pontból az $\displaystyle \Omega_A$ körhöz húzott érintők érintési pontjain. Az $\displaystyle \ell_B$ és $\displaystyle \ell_C$ egyenesek hasonlóan vannak definiálva. Bizonyítsuk be, hogy az $\displaystyle \ell_A$, $\displaystyle \ell_B$ és $\displaystyle \ell_C$ egyenesek által meghatározott háromszög magasságpontja megegyezik az $\displaystyle ABC$ háromszög Nagel-pontjával.

(Ha egy háromszög csúcsait összekötjük a szemközti oldalhoz hozzáírt körök érintési pontjaival, a kapott három szakasz közös pontja a háromszög Nagel-pontja.)

Javasolta: Nikolai Beluhov (Bulgaria)

(7 pont)

megoldás, statisztika

---

A. 829. Legyen $\displaystyle G$ egy $\displaystyle n$ csúcsú egyszerű gráf, melynek van legalább egy éle, és tekintsük a gráf csúcsainak azon $\displaystyle S\colon V(G)\to \mathbb{R}^{\ge 0}$ súlyozásait, melyekre $\displaystyle \sum\limits_{v\in V(G)}S(v)=1$. Legyen továbbá

$\displaystyle f(G)=\max_S \min_{(v,w)\in E(G)} S(v)S(w),$

ahol $\displaystyle S$ végigfut az összes lehetséges súlyozáson.

Bizonyítsuk be, hogy $\displaystyle f(G)=\frac{1}{n^2}$ akkor és csak akkor teljesül, ha $\displaystyle G$ csúcsai lefedhetők élek és páratlan körök diszjunkt uniójával. ($\displaystyle V(G)$ a $\displaystyle G$ gráf csúcsait, $\displaystyle E(G)$ a $\displaystyle G$ gráf éleit jelöli.)

(7 pont)

megoldás, statisztika