A KöMaL 2023. szeptemberi matematika feladatai

K-jelű feladatok A beküldési határidő 2023. október 10-én LEJÁRT.

---

K. 774. Egy vonat állandó sebességgel halad át egy alagúton. 20 másodpercig tart, amíg a 300 m hosszú alagúton átér, onnantól, hogy az eleje eléri az alagút elejét, addig, amíg a vége el nem hagyja. Egy lámpa az alagútban pont 5 másodpercen át van a vonat felett. Milyen hosszú a vonat?

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

K. 775. Egy cukrász két 2 cm, egy 6 cm és egy 8 cm oldalélű marcipánkocka összeragasztásával egy nagyobb testet épített úgy, hogy egy-egy illesztésnél az egyik marcipánkocka teljes oldala ráfeküdt a másik kocka egy lapjára. A kész testből kivághatunk magunknak egy téglatestet, de csak olyan sík mentén vághatunk, amely illeszkedik valamelyik kocka lapjára. Mekkora a legnagyobb térfogatú marcipántégla, amit így kaphatunk?

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

K. 776. Egy rendezvényre sorszámozott jegyeket rendeltek egy nyomdától. Ezek előállítása úgy történik, hogy a jegyek a kinyomtatás után bekerülnek egy sorszámozó gépbe, amely minden jegyre egyedi sorszámot nyom, mindig 1-gyel növelve az aktuálisan nyomandó sorszámot. A nyomda elkészítette a megrendelt darabszámnak megfelelően a sorszámozatlan jegyeket, azonban a sorszámozó gép a meghibásodása miatt minden 3-mal osztható sorszámot kétszer adott ki egymás után. A megrendelt jegyekre a sorszámokhoz így összesen 3672 számjegyet használtak el (a sorszámozás 1-gyel kezdődött). A gép megjavítása után hány jegyet kell újra sorszámozni a most már hibátlanul sorszámozó géppel?

(5 pont)

megoldás, statisztika

K/C-jelű feladatok A beküldési határidő 2023. október 10-én LEJÁRT.

---

K/C. 777. Az $\displaystyle a$ és $\displaystyle b$ számok számtani közepe 10, a $\displaystyle b$ és a 10 számtani közepe $\displaystyle c$/2. Mennyi az $\displaystyle a$ és $\displaystyle c$ számok számtani közepe?

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

K/C. 778. Egy téglalapot az oldalaival párhuzamos egyenesekkel kilenc kis téglalapra bontottunk az ábrán látható módon. A megadott öt téglalapnak ismerjük a területét, a többinek nem. Határozzuk meg a négy téglalap területét.. (Az ábra csak illusztráció, a méretek nem feltétlenül helyesek.)

(5 pont)

megoldás, statisztika

C-jelű feladatok A beküldési határidő 2023. október 10-én LEJÁRT.

---

C. 1773. Határozzuk meg a $\displaystyle p$ egész szám értékét úgy, hogy a $\displaystyle (p-3)x+p+5=(2-p)x$ egyenlet $\displaystyle x$ valós megoldásának értéke legalább $\displaystyle 2$ legyen. Adjuk meg minden lehetséges $\displaystyle p$ értékre az egyenlet megoldását.

Javasolta: Bíró Bálint, Eger

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1774. Az $\displaystyle ABCD$ trapézban $\displaystyle AB\parallel{CD}$. Az $\displaystyle AB$, illetve $\displaystyle CD$ oldal felezőpontja $\displaystyle E$, illetve $\displaystyle F$. Az $\displaystyle AC$ átlót a $\displaystyle DE$, $\displaystyle DB$ és $\displaystyle FB$ szakasz rendre a $\displaystyle P$, $\displaystyle Q$, $\displaystyle R$ pontban metszi.

Igazoljuk, hogy $\displaystyle \displaystyle{\frac{CP}{PA}\cdot{\frac{CQ}{QA}}\cdot{\frac{CR}{RA}}=\Bigg(\frac{CD}{AB}\Bigg)^3}$.

Javasolta: Bíró Bálint, Eger

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1775. Az $\displaystyle ABCD$ téglalap egy belső pontja $\displaystyle P$. Határozzuk meg a $\displaystyle PC$ szakasz hosszát, ha tudjuk, hogy $\displaystyle PA=4$, $\displaystyle PB=6$ és $\displaystyle PD=9$.

(vietnami feladat)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1776. Egy természetes számnak pontosan $\displaystyle 2023$ pozitív osztója van. Hány pozitív osztója lehet a négyzetének?

Javasolta: Kozma Katalin Abigél, Győr

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1777. Egy derékszögű háromszög befogói $\displaystyle 36$ cm és $\displaystyle 77$ cm hosszúságúak. A hosszabb befogóhoz tartozó belső szögfelezőnek milyen hosszúságú része nem esik a beírt kör belsejébe?

Javasolta: Bíró Bálint, Eger

(5 pont)

megoldás, statisztika

B-jelű feladatok A beküldési határidő 2023. október 10-én LEJÁRT.

---

B. 5326. Egy angol-magyar találkozó végén minden résztvevő elköszönt mindegyik másik résztvevőtől: az angolok mindenkinek egyesével ezt mondták: ,,Goodbye!'', míg a magyarok ezt: ,,Viszlát!'' Hányan vettek részt az egyes nemzetek képviseletében, ha 198-szor hangzott el az, hogy ,,Goodbye!'' és 308-szor az, hogy ,,Viszlát!''?

Javasolta: Hujter Bálint, Budapest

(3 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5327. Az $\displaystyle ABC$ háromszög magasságai $\displaystyle m_a$, $\displaystyle m_b$ és $\displaystyle m_c$. Tegyük fel, hogy az $\displaystyle m_a$, $\displaystyle m_b$ és $\displaystyle m_c$ oldalakkal szerkeszthető háromszög, és ennek a háromszögnek a magasságai $\displaystyle x$, $\displaystyle y$ és $\displaystyle z$. Mutassuk meg, hogy az $\displaystyle x$, $\displaystyle y$ és $\displaystyle z$ oldalakkal is szerkeszthető háromszög.

Javasolta: Vigh Viktor, Sándorfalva

(4 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5328. Egy füzet első lapjára leírtuk a 2023 számot. Ezután a következő lapra mindig az előzőn lévő számok pozitív osztóit írjuk le (mindegyiket annyiszor, ahány számnak osztója az előző lapról). Hány szám lesz a 4. lapon?

Javasolta: Pach Péter Pál, Budapest

(3 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5329. Egy szabályos dobókockával dobunk, a játék akkor ér véget, ha 1-est dobunk vagy úgy döntünk, hogy megállunk. A nyeremény az utolsó dobás értéke. Van-e olyan stratégia, amellyel elérhető, hogy a nyeremény várható értéke legalább 4 legyen?

Javasolta: Pach Péter Pál, Budapest

(4 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5330. Tegyük fel, hogy $\displaystyle a,b,c$ primitív pitagoraszi számhármas, vagyis $\displaystyle a$, $\displaystyle b$ és $\displaystyle c$ olyan relatív prím pozitív egészek, amelyekre $\displaystyle a^2+b^2=c^2$ teljesül. Mutassunk példát olyan tengelyesen szimmetrikus sokszögre, amely felbontható $\displaystyle c$ darab $\displaystyle a,b,c$ oldalú derékszögű háromszögre.

Javasolta: Kós Géza, Budapest

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5331. Mutassuk meg, hogy az egységnyi élhosszúságú szabályos tetraéder lefedhető kettő darab, egységnyi átmérőjű gömbbel.

Javasolta: Vigh Viktor, Sándorfalva

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5332. Milyen $\displaystyle n$ pozitív egész számokra teljesül, hogy bármely $\displaystyle 2^n$ egymást követő pozitív egész szám között van olyan, amely felírható legfeljebb $\displaystyle n$ darab nemnegatív egész szám $\displaystyle n$-edik hatványának összegeként?

Javasolta: Pach Péter Pál, Budapest

(6 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5333. A hegyesszögű $\displaystyle ABC$ háromszög $\displaystyle A$ csúcshoz tartozó magasságának talppontja $\displaystyle T_A$. Az $\displaystyle A$ csúcsból a körülírt kör $\displaystyle O$ középpontján át húzott félegyenes a $\displaystyle BC$ oldalt az $\displaystyle R_A$ pontban metszi. Az $\displaystyle AR_A$ szakasz felezőpontja legyen az $\displaystyle F_A$ pont. A $\displaystyle B$ és $\displaystyle C$ csúcsokból kiindulva ugyanígy képezzük a $\displaystyle T_B$, $\displaystyle R_B$, $\displaystyle F_B$, $\displaystyle T_C$, $\displaystyle R_C$, $\displaystyle F_C$ pontokat. Mutassuk meg, hogy a $\displaystyle T_AF_A$, $\displaystyle T_BF_B$ és $\displaystyle T_CF_C$ egyenesek egy pontban metszik egymást.

Javasolta: Simon László Bence, Budapest

(6 pont)

megoldás, statisztika

A-jelű feladatok A beküldési határidő 2023. október 10-én LEJÁRT.

---

A. 857. Adott az $\displaystyle ABC$ hegyesszögű háromszög, melynek leghosszabb oldala $\displaystyle BC$. Legyen a háromszög magasságpontja $\displaystyle H$, a $\displaystyle B$ és $\displaystyle C$ csúcsaiból induló magasságok talppontjai rendre $\displaystyle D$ és $\displaystyle E$, továbbá az $\displaystyle AB$ és $\displaystyle AC$ oldalak felezőpontjai rendre $\displaystyle F$ és $\displaystyle G$. A $\displaystyle DF$ és $\displaystyle EG$ egyenesek egymást az $\displaystyle X$ pontban metszik. Legyen az $\displaystyle EFX$, illetve $\displaystyle DGX$ háromszögek köréírt köreinek középpontja rendre $\displaystyle O_1$ és $\displaystyle O_2$, az $\displaystyle O_1O_2$ szakasz felezőpontja pedig $\displaystyle M$. Igazoljuk, hogy $\displaystyle X$, $\displaystyle H$, $\displaystyle M$ egy egyenesre esnek.

Javasolta: Varga Boldizsár (Verőce)

(7 pont)

megoldás, statisztika

---

A. 858. Igazoljuk, hogy a következő egyenletrendszernek nincs más megoldása az egész számok körében, csak $\displaystyle u=v=x=y=z=0$:

$$\begin{align*} uv & =x^2-5y^2,\\ (u+v)(u+2v) & =x^2-5z^2. \end{align*}$$

Javasolta: Szabó Barnabás (Budapest)

(7 pont)

megoldás, statisztika

---

A. 859. Adott egy $\displaystyle n$ csúcsú $\displaystyle U$ útgráf, melynek az egyik csúcsában egy bekötött szemű játékos tartózkodik. Az út csúcsai meg vannak számozva $\displaystyle 1$-től $\displaystyle n$-ig a természetes számokkal, nem feltétlenül a szokásos sorrendben. Egy lépésben a játékvezető elárulja a bekötött szemű játékosnak, hogy $\displaystyle 1$- vagy $\displaystyle 2$-fokú csúcsban van. Ha $\displaystyle 1$-fokú csúcsban van, akkor csak az egyetlen szomszédjába léphet, $\displaystyle 2$-fokú csúcs esetén pedig a játékos eldöntheti, hogy a kisebb vagy nagyobb sorszámú szomszédba szeretne lépni. A játékos összes információja $\displaystyle k$ lépés után a $\displaystyle k$ darab fokszám, amit elárultak neki, és emlékszik a saját választásaira is. Van-e olyan stratégiája a játékosnak, amellyel biztosan meg tudja állapítani véges sok lépésen belül, hogy hány csúcsa van az útnak?

Javasolta: Németh Márton (Budapest)

(7 pont)

megoldás, statisztika