Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A KöMaL 2023. októberi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2023. november 10-én LEJÁRT.


K. 779. Induljunk ki egy négyjegyű számból. Egy lépésben az alábbi változtatásokat hajthatjuk végre a számon:

1. Tetszőlegesen felcseréljük a számjegyeit.

2. Az első két számjegy mindegyikét növeljük 1-gyel.

A kezdő számunk legyen a 2024. Mennyi az a legkevesebb lépésszám, amellyel el tudjuk érni, hogy a számunk 7654 legyen?

(5 pont)

megoldás, statisztika


K. 780. \(\displaystyle a)\) Két pozitív prímszám szorzatához hozzáadjuk a két prímszámot. Kaphatunk-e így prímszámot? Ha kaphatunk, adjunk rá legalább három példát, ha nem, indokoljuk meg, hogy miért nem.

\(\displaystyle b)\) Két pozitív prímszám szorzatához hozzáadjuk a két prímszámot és még 1-et. Kaphatunk-e így prímszámot? Ha kaphatunk, adjunk rá legalább három példát, ha nem, indokoljuk meg, hogy miért nem.

(5 pont)

megoldás, statisztika


K. 781. Egy piros és egy zöld \(\displaystyle 2\times3\)-as táblázat mezőibe beírjuk az \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 4\), \(\displaystyle 5\), \(\displaystyle 6\) számokat úgy, hogy egy táblázaton belül minden szám pontosan egyszer szerepel. Összeadjuk a táblázatok megfelelő mezőiben álló számokat, így kapjuk a harmadik táblázatot. Az alábbiakban látunk egy példát.

Az alábbi ábrán látható piros és zöld üres táblázatot töltsük ki úgy, hogy az összeadás után a jobb oldali táblázatot kapjuk, amelynek jobb alsó sarkát letakartuk. Adjuk meg az összes megoldást.

(5 pont)

megoldás, statisztika


K/C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2023. november 10-én LEJÁRT.


K/C. 782. Archibald rosszul emlékezett a törtek összeadásának szabályára, és így adta össze az \(\displaystyle \frac ab\) és \(\displaystyle \frac cd\) törteket: \(\displaystyle \frac ab + \frac cd = \frac{a+c}{b+d}\). Lehetséges-e, hogy helyes végeredményt kapott, ha \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle d\) pozitív számok?

(5 pont)

megoldás, statisztika


K/C. 783. A pilóták a mutatós óra számlapjának segítségével határozzák meg az irányokat, pl. észak helyett 12 órát, kelet helyett 3 órát mondanak. Kövessük egy felderítő repülő útját, amely a földön levő bázisról nézve 1 percet repült 1 óra irányába, 2 percet 2 óra irányába, 3 percet 3 óra irányába, 10 percet 4 óra irányába, 5 percet 5 óra irányába, 6 percet 6 óra irányába, 7 percet 7 óra irányába, 8 percet 8 óra irányába, 9 percet 9 óra irányába, 4 percet 10 óra irányába, 11 percet 11 óra irányába és 12 percet 12 óra irányába. A repülő sebessége a földhöz képest végig ugyanakkora nagyságú volt. Milyen útvonalon repülhetett volna el a legrövidebb idő alatt a kiindulási helytől a célállomáshoz?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2023. november 10-én LEJÁRT.


C. 1778. Határozzuk meg az összes olyan \(\displaystyle n\) egész számot, amelyre \(\displaystyle 1+2+3+ \ldots+n\) egy azonos számjegyekből álló háromjegyű, tízes számrendszerbeli számmal egyenlő.

(Vietnami feladat)

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1779. Igazoljuk, hogy végtelen sok olyan háromszög létezik, amelynek oldalhosszúságait a

\(\displaystyle \frac{3x}{2};\quad 2x-1;\quad 3x+1 \)

számok adják meg, ahol \(\displaystyle x\) pozitív egész. Határozzuk meg a legkisebb kerületű ilyen háromszög oldalainak hosszát.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1780. Vannak-e olyan pozitív egész számokból álló \(\displaystyle (a;b)\) rendezett párok, amelyekre az \(\displaystyle a^2-2b\) és \(\displaystyle b^2-2a\) is négyzetszám?

(Német versenyfeladat)

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1781. Oldjuk meg a valós számpárok halmazán a

$$\begin{align*} 3x+\sqrt{y^2-21y} & =2x^2,\\ x^2-x-\sqrt{y^2-21y} & =x^3 \end{align*}$$

egyenletrendszert.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1782. Az \(\displaystyle ABCD\) négyzet \(\displaystyle D\) csúcsából érintőt húzunk az \(\displaystyle AB\) átmérőjű, a négyzet belsejébe rajzolt félkörhöz, az érintési pont (az \(\displaystyle A\)-tól különböző) \(\displaystyle E\) pont, az \(\displaystyle AB\) szakasz felezőpontja \(\displaystyle F\). Az érintő a \(\displaystyle BC\) egyenest a \(\displaystyle G\), az \(\displaystyle AB\) egyenest a \(\displaystyle H\), valamint az \(\displaystyle EF\) egyenes a \(\displaystyle DA\) egyenest a \(\displaystyle K\) pontban metszi. Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle FHE\), \(\displaystyle DGC\) és \(\displaystyle DKE\) háromszögek beírt köreinek sugarai ebben a sorrendben egy növekvő számtani sorozat közvetlen egymás utáni tagjai.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2023. november 10-én LEJÁRT.


B. 5334. Melyik az a legkisebb \(\displaystyle n\), amelyre minden konvex \(\displaystyle n\)-szögnek van két szomszédos tompaszöge?

Erdős Pál (1913–1996) feladata

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 5335. Az \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\), \(\displaystyle z\) pozitív számok szorzata 1. Mennyi lehet az

\(\displaystyle \left(x+\frac{1}{x}\right)^{2} +\left(y+\frac{1}{y}\right)^{2} +\left(z+\frac{1}{z}\right)^{2} -\left(x+\frac{1}{x}\right) \left(y+\frac{1}{y}\right) \left(z+\frac{1}{z}\right) \)

kifejezés értéke?

Javasolta: Kiss Géza (Csömör)

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 5336. Egy iskolai sorverseny díjazásához négyféle édességet vásároltunk. Volt közöttük \(\displaystyle 1300\) Ft-os, \(\displaystyle 3000\) Ft-os, \(\displaystyle 3300\) Ft-os, továbbá a közönségnek feltett villámkérdések díjazásához nagyobb számban \(\displaystyle 50\) Ft-os is.

Az édességekért \(\displaystyle 41\,300\) Ft-ot fizettünk, az átlagár pontosan \(\displaystyle 100\) Ft volt. Mennyit vettünk az egyes fajtákból?

Javasolta: Kiss Géza (Csömör)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 5337. Egy szabályos \(\displaystyle n\)-szög minden oldalára megrajzoltam kifelé egy szabályos háromszöget. A háromszögek harmadik csúcsai egy nagyobb szabályos \(\displaystyle n\)-szöget alkotnak. Mennyi lehet \(\displaystyle n\), ha a két sokszög területének aránya egész szám?

Javasolta: Hujter Bálint (Budapest)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 5338. Egy színház nézőterének egyik sorában 10 számozott szék van. A székek a sor mindkét széléről megközelíthetők. Az egyik előadásra a sorba jegyet váltó 10 néző véletlenszerű sorrendben érkezik meg és foglalja el a helyét. A nézők nem szeretnek ,,átmászni'' az előttük megérkezett és korábban a helyét már elfoglalt többi nézőn, ezért ha tehetik, akkor a sornak annak a széléről közelítik meg a helyüket, ahonnan erre nincs szükség. Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy lesz legalább egy olyan néző a 10 között, aki nem tudja ,,átmászás'' nélkül elfoglalni a helyét.

Javasolta: Koncz Levente (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 5339. A \(\displaystyle k_1\) kör belülről érinti a \(\displaystyle k_2\) kört a \(\displaystyle P\) pontban. Legyen \(\displaystyle M\) a \(\displaystyle k_1\) körvonal egy tetszőleges pontja, és messe a \(\displaystyle k_1\)-hez \(\displaystyle M\)-ben húzott érintő \(\displaystyle k_2\)-t az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) pontokban. Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle PM\) felezi az \(\displaystyle APB\) szöget.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 5340. Legyen \(\displaystyle n\) pozitív egész szám. Tegyük fel, hogy \(\displaystyle f\), \(\displaystyle g\) és \(\displaystyle h\) legfeljebb \(\displaystyle n\)-edfokú, valós együtthatós polinomok. Legfeljebb hány valós \(\displaystyle x\) számra lehet \(\displaystyle f(x)\), \(\displaystyle g(x)\), \(\displaystyle h(x)\) egy nemkonstans három hosszú számtani sorozat három eleme valamilyen sorrendben, feltéve, hogy ez csak véges sok \(\displaystyle x\)-re teljesül?

Javasolta: Pach Péter Pál (Budapest)

(6 pont)

megoldás, statisztika


B. 5341. A szabályos \(\displaystyle ABCD\) tetraéder súlypontja \(\displaystyle S\), egy tetszőleges belső pontja \(\displaystyle P\). Tükrözzük a \(\displaystyle P\) pontot a tetraéder négy lapsíkjára, így kapjuk az \(\displaystyle XYZW\) tetraédert. Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle XYZW\) súlypontja a \(\displaystyle PS\) szakasz \(\displaystyle S\)-hez közelebbi harmadolópontja.

(Monthly feladat alapján)

(6 pont)

megoldás, statisztika


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2023. november 10-én LEJÁRT.


A. 860. Adott egy \(\displaystyle 2^k\) darab tagból álló 0\(\displaystyle \,\)–\(\displaystyle \,\)1 sorozat. Alíz megkapja ezt a sorozatot, majd elárulhatja a sorozat egyik tagját (a tag helyét és értékét) Bobnak. Határozzuk meg azt a legnagyobb \(\displaystyle s\) számot, melyre Bob biztosan tud választani \(\displaystyle s\) darab tagot a sorozatból, és mindegyiknek meg tudja állapítani helyesen az értékét, akármilyen sorozatot is kapott Alíz.

Alíz és Bob a játék előtt összebeszélhetnek azzal a céllal, hogy Bob minél több jegyet biztosan meg tudjon mondani a sorozatból. Bob semmi más információt nem tud a 0\(\displaystyle \,\)–\(\displaystyle \,\)1 sorozatról a hosszán és az Alíz által választott tagon kívül.

Javasolta: Szűcs Gábor (Szikszó)

(7 pont)

megoldás, statisztika


A. 861. Legyen \(\displaystyle f(x)=x^2-2\). Jelölje \(\displaystyle f^{(n)}(x)\) a függvény \(\displaystyle n\)-szeres iteráltját, azaz legyen \(\displaystyle f^{(1)}(x)=f(x)\) és \(\displaystyle f^{(k+1)}(x)=f\big(f^{(k)}(x)\big)\).

Legyen \(\displaystyle H=\big\{x\colon f^{(100)}(x)\le -1\big\}\). Határozzuk meg a \(\displaystyle H\) halmaz hosszát (a \(\displaystyle H\)-t alkotó intervallumok hosszainak összegét). A megoldást zárt alakban várjuk.

Javasolta: Matolcsi Dávid (Budapest)

(7 pont)

megoldás, statisztika


A. 862. Az \(\displaystyle \omega\) körbe írt \(\displaystyle ABCD\) húrnégyszögben \(\displaystyle F_A\), \(\displaystyle F_B\), \(\displaystyle F_C\) és \(\displaystyle F_D\) rendre az \(\displaystyle \omega\) kör \(\displaystyle AB\), \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CD\), illetve \(\displaystyle DA\) íveinek felezőpontja, továbbá \(\displaystyle I_A\), \(\displaystyle I_B\), \(\displaystyle I_C\) és \(\displaystyle I_D\) a \(\displaystyle DAB\), \(\displaystyle ABC\), \(\displaystyle BCD\), illetve \(\displaystyle CDA\) háromszögekbe írt kör középpontja. Legyen \(\displaystyle \omega_A\) az a kör, amely az \(\displaystyle F_A\) pontban belülről érinti \(\displaystyle \omega\)-t és érinti a \(\displaystyle CD\) szakaszt, továbbá legyen \(\displaystyle \omega_C\) az a kör, amely az \(\displaystyle F_C\) pontban belülről érinti \(\displaystyle \omega\)-t és érinti az \(\displaystyle AB\) szakaszt. Végül legyen \(\displaystyle T_B\) az \(\displaystyle \omega\) kör és az \(\displaystyle F_BI_BI_C\) kör második, \(\displaystyle F_B\)-től különböző metszéspontja, és legyen \(\displaystyle T_D\) az \(\displaystyle \omega\) kör és az \(\displaystyle F_DI_DI_A\) kör második, \(\displaystyle F_D\)-től különböző metszéspontja.

Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle \omega_A\) és \(\displaystyle \omega_C\) körök hatványvonala átmegy a \(\displaystyle T_B\) és a \(\displaystyle T_D\) ponton.

Javasolta: Kós Géza (Budapest)

(7 pont)

megoldás, statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)