A KöMaL 2023. decemberi matematika feladatai
Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.
Feladat típusok elrejtése/megmutatása:
![]() |
K-jelű feladatokA beküldési határidő 2024. január 10-én LEJÁRT. |
K. 789. Egy számegyenesen az egész számok helyét kiszínezzük egy-egy piros vagy kék ponttal.
a) Lehet-e úgy választani a színezést, hogy két azonos színű pont távolsága ne legyen sem 5, sem 7 egység?
b) Lehet-e úgy választani a színezést, hogy két azonos színű pont távolsága ne legyen sem 6, sem 11 egység?
(5 pont)
K. 790. Bergengócia 100 leggazdagabb embere egy üzleti vacsorán találkozott egy teremben, ahol 12 hatalmas asztal állt. Akiknek a születésnapja ugyanabban a hónapban van, azok ugyanahhoz az asztalhoz ültek. Keressük meg azt az asztalt, amelyik körül a legkevesebben ültek, legyen itt X fő. Keressük meg azt az asztalt is, ahol a legtöbben ültek, legyen itt Y fő. Határozzuk meg X lehető legnagyobb értékét és Y lehető legkisebb értékét.
(5 pont)
K. 791. a) Keressük meg az összes olyan háromjegyű számot, amely egyenlő számjegyei szorzatának négyszeresével.
b) Találunk-e olyan háromjegyű számot, amely egyenlő a számjegyei szorzatának kétszeresével?
(5 pont)
![]() |
K/C-jelű feladatokA beküldési határidő 2024. január 10-én LEJÁRT. |
K/C. 792. Legyen n pozitív egész szám. Mutassuk meg, hogy az 1+2+3+…+n összeg utolsó számjegye nem lehet a 2, 4, 7, 9 számjegyek egyike sem.
(5 pont)
K/C. 793. Az ábrán szereplő 3×4-es táblázatot kell kitöltenünk X-ekkel. A szabály az, hogy ha egy sorban vagy oszlopban pontosan két X van, akkor ezekkel egy vonalba valamelyik üres cellába beírhatunk egy harmadikat. Mutassuk meg, hogy bármilyen sorrendben is haladunk, a végén mindig marad legalább 2 üres cella.
(5 pont)
![]() |
C-jelű feladatokA beküldési határidő 2024. január 10-én LEJÁRT. |
C. 1788. Oldjuk meg az
14x2+15y2=72023
egyenletet az egész számpárok halmazán.
(Svájci versenyfeladat alapján)
(5 pont)
C. 1789. Egy teknőc 14 egységnyi utat jár be a síkon, lépésenként egységnyi szakaszokat megtéve. Minden megtett lépést követően elfordul: ha az előző lépés sorszáma páratlan volt, akkor 60∘-kal, ha páros, akkor 90∘-kal, továbbá a 3., 5., 8. és 12. lépést követően jobbra, minden más esetben balra. Mutassuk meg, hogy a teknőc
a) a 14. lépés megtételével visszajut a kezdőpontjába és a kezdő irányába,
b) adjuk meg algebrai alakban a teknőc által körüljárt területet.
Javasolta: Szilassi Lajos (Szeged)
(5 pont)
C. 1790. Határozzuk meg az
x2+y2+5z2−xy−3yz−zx+3x−4y+7z
kifejezés legkisebb értékét, ha x, y, z valós számok.
(Vietnámi feladat)
(5 pont)
C. 1791. Oldjuk meg a
8x−156254x+25⋅2x+625=2023
egyenletet a valós számok halmazán.
Javasolta: Teleki Olivér (Tököl)
(5 pont)
C. 1792. Az ABC háromszög AB és AC oldalának felezőpontja F, illetve E. Legyen P és Q a háromszög síkjának tetszőleges két pontja. A P pontnak az E-re, a Q pontnak az F-re vonatkozó tükörképe legyen P′, illetve Q′. A PB szakasz felezőpontja M, a QC szakasz felezőpontja N. Bizonyítsuk be, hogy MN∥P′Q′ és P′Q′=2MN.
Javasolta: Van Khea (Kambodzsa)
(5 pont)
![]() |
B-jelű feladatokA beküldési határidő 2024. január 10-én LEJÁRT. |
B. 5350. a) Vannak-e olyan a, b, c, d pozitív egész számok, amelyekre a és b számtani közepe nagyobb, mint c és d négyzetes közepe, de a és b mértani közepe kisebb, mint c és d harmonikus közepe?
b) Vannak-e olyan a, b, c, d pozitív egész számok, amelyekre a és b mértani közepe nagyobb, mint c és d négyzetes közepe, de a és b számtani közepe kisebb, mint c és d harmonikus közepe?
Javasolta: Hujter Bálint (Budapest)
(3 pont)
B. 5351. Az ABC szabályos háromszög egy tetszőleges belső pontja P. Az AB-vel P-n keresztül húzott párhuzamos a BC oldalt C1, az AC oldalt C2 pontban metszi. Hasonlóan, a P-n keresztül BC-vel húzott párhuzamos az AC oldalt A1, az AB oldalt A2 pontban; végül az AC-vel húzott párhuzamos AB-t B1, BC-t B2 pontban metszi. Mutassuk meg, hogy az A1B1C1 és A2B2C2 háromszögek területe egyenlő.
Javasolta: Vígh Viktor (Sándorfalva)
(3 pont)
B. 5352. Milyen n>3 egész számok esetén lehet úgy megadni n egyenest a síkon, hogy közülük bármely három egyenlő szárú háromszöget alkosson?
Javasolta: Hujter Bálint (Budapest)
(4 pont)
B. 5353. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges 1-nél nagyobb pozitív egész n esetén
n∑i=1n∑j=1|i−j|=n(n2−1)3.
Javasolta: Bencze Mihály (Brassó)
(4 pont)
B. 5354. Bizonyítsuk be, hogy egy nem egyenlő szárú háromszög Euler-egyenese akkor és csak akkor párhuzamos a háromszög valamelyik belső szögfelezőjével, ha a felezett szög 120∘-os.
Javasolta: Jármai Roland (Budapest)
(5 pont)
B. 5355. Egy kockás füzet egy lapján n mezőt pirosra színeztünk. A piros mezőket megszámozzuk 1-től n-ig, majd az élszomszédos piros mezőkön álló számokat összeadjuk. Igaz-e, hogy bármely n db piros mező esetén lehet úgy számozni a piros mezőket, hogy a számpárok összeadásakor csupa különböző értéket kapjunk?
Javasolta: Imolay András (Budapest)
(5 pont)
B. 5356. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges n≥2 egész szám és x1,…,xn nemnegatív valós számok esetén teljesül az alábbi egyenlőtlenség:
n√n∏i=1(1+xi)≥1+n√n∏i=1xi.
Javasolta: Somogyi Ákos (London)
(6 pont)
B. 5357. Az ABC háromszög körülírt köréhez B-ben és C-ben húzott érintők a P pontban metszik egymást. Legyen a PB és AC egyenesek metszéspontja D, a PC és AB egyenesek metszéspontja E. A BC szakaszfelező merőlegese az AC és AB egyeneseket rendre az F és G pontokban metszi. A PDF és PEG körök a P ponton kívül az M pontban metszik egymást. Legyen továbbá A′ az A pont FG-re vonatkozó tükörképe, és O az AFG kör középpontja. Mutassuk meg, hogy az OA′ egyenes, és az MFG és ADE körök egy közös pontra illeszkednek.
Javasolta: Baris Koyuncu (Isztambul)
(6 pont)
![]() |
A-jelű feladatokA beküldési határidő 2024. január 10-én LEJÁRT. |
A. 866. Egy gráfot kétszeresen összefüggőnek nevezünk, ha bármelyik csúcsát (és a hozzá tartozó éleket) elvéve a gráf összefüggő marad.
Igaz-e, hogy minden kétszeresen összefüggő, megszámlálhatóan végtelen sok pontból álló gráfban lehet találni olyan, az egyik irányban végtelen sétát (azaz nem feltétlenül különböző csúcsok olyan v1,v2,… sorozatát, melyekre vi és vi+1 között mindig van él), amely minden élen legfeljebb egyszer megy át?
Javasolta: Bursics Balázs és Kocsis Anett (Budapest)
(7 pont)
A. 867. Legyen p(x) egy n-edfokú, 1 főegyütthatójú, egész együtthatós polinom, melynek n darab valós gyöke van: α1,α2,…,αn. Legyen q(x) egy tetszőleges egész együtthatós polinom, amely relatív prím a p(x) polinomhoz (azaz nincs olyan nem konstans 1 vagy −1, egész együtthatós polinom, mely p(x)-et és q(x)-et is osztja). Bizonyítsuk be, hogy
n∑i=1|q(αi)|≥n.
Javasolta: Matolcsi Dávid (Berkeley)
(7 pont)
A. 868. Egy síkbeli ponthalmazt diszharmonikusnak nevezünk, ha bármely két, a pontok által meghatározott távolság aránya vagy 100/101 és 101/100 közé esik, vagy pedig legalább 100 vagy legfeljebb 1/100.
Igaz-e, hogy tetszőleges síkbeli, különböző A1,A2,…,An pontok esetén lehet találni olyan A′1,A′2,…,A′n pontokat, melyek diszharmonikus ponthalmazt alkotnak, továbbá Ai, Aj és Ak pontosan akkor esnek ebben a sorrendben egy egyenesre, ha A′i, A′j és A′k ebben a sorrendben egy egyenesre esnek (minden különböző 1≤i,j,k≤n számhármas esetén).
Javasolta: Pálvölgyi Dömötör és Keszegh Balázs (Budapest)
(7 pont)
A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:
- megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.
(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)
|