Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A KöMaL 2024. februári matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2024. március 11-én LEJÁRT.


K. 799. Misi egy olyan utcában lakik, amelyben csupa családi ház van. Ha az utca elejétől elindulunk, és megszámoljuk, hogy Misiék azon az oldalon hányadik házban laknak, akkor pontosan kétszer akkora eredményt kapunk, mint ha azt számoljuk meg, hogy az utca végétől számítva hányadik házban laknak. Az utcában a házakat az utca elejétől kezdve folyamatosan számozzák 1-től úgy, hogy a páratlan számú házak a bal oldalon, a páros számú házak a jobb oldalon vannak. Misiék az utca elejétől indulva a bal oldalon laknak. Ha az utca végétől kezdve számoznák a házakat, akkor Misiék házszáma 25-tel lenne kisebb, mint amennyi jelenleg. Hány ház van Misiék oldalán az utcában összesen?

(5 pont)

megoldás, statisztika


K. 800. Négy különböző pozitív prímszám összege 50. Melyik négy prímszám lehet ez?

(5 pont)

megoldás, statisztika


K. 801. Az alábbi két edénynek oldalról nézve olyan alakja van, mint egy-egy betűnek. Az edények oldalnézeti képe látható a másik ábrán, egy 10 cm oldalhosszúságú négyzetekből álló rács elé állítva. Az edények felül nyitottak, vastagságuk 10 cm. Mindkettőbe belehelyezünk egy-egy vékony kis gumicsövet, amelyek leérnek az aljukig, és ezeken keresztül vízzel töltjük meg mindkét edényt. Percenként 1 liter víz folyik be a csövön keresztül mindegyik edénybe. Hány perc alatt telik meg az egyik, illetve a másik edény? Ábrázoljuk az egyes edényekben lévő víz magasságának időbeli alakulását grafikonon. (Az edények falának vastagságát hagyjuk figyelmen kívül.)

(5 pont)

megoldás, statisztika


K/C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2024. március 11-én LEJÁRT.


K/C. 802. Legyen az ABCD négyzet CD oldalának tetszőleges belső pontja Q. Az AQ egyenesre állítsunk merőlegest a B csúcsból, legyen ennek AQ-val vett metszéspontja P. Legyen továbbá a négyzet átlóinak metszéspontja K. Mutassuk meg, hogy a PK egyenes felezi a QPB szöget.

(5 pont)

megoldás, statisztika


K/C. 803. Egy táborban 24 gyerek kivételével mindenki egyke (nincs testvére), 18 gyerek kivételével mindenkinek egy testvére van, 14 gyerek kivételével pedig mindenkinek két testvére van. Hányan lehetnek azok ebben a táborban, akiknek 2-nél több testvérük van, ha tudjuk, hogy van legalább egy egyke, és mindenkinek az összes testvére is ott nyaral a táborban?

Javasolta: Kozma Katalin Abigél (Győr), Korándi József (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2024. március 11-én LEJÁRT.


C. 1798. Határozzuk meg a

(p+1p)(x1x)+(p1p)(x+1x)=4px+5+1p

egyenlet összes egész megoldását, ha a p paraméter egész szám.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1799. Az egységnyi oldalú ABCD négyzetben megrajzoltuk a DEFG, AHKE, BMFL és CGNP négyzeteket az ábra szerint.

Az LFKH és MPNF téglalapok területének összege legfeljebb hányadrésze lehet az ABCD négyzet területének?

Adjuk meg ebben az esetben az EDAD arány pontos értékét.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1800. Mutassuk meg, hogy ha n természetes szám, akkor a

[16n+21;16n+24]

intervallumban nincs egész szám.

Javasolta: Holló Gábor (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1801. Legyen az an sorozat a következő: a1=2 és an=an1+2n. Mennyi a sorozat első 2024 tagjának reciprokösszege? (Vagyis mennyi az 1a1+1a2+1a3++1a2024 kifejezés értéke?)

Javasolta: Szmerka Gergely (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1802. Az ABCDEF szabályos hatszögben M az AC, N pedig a CE átló belső pontja úgy, hogy

AMAC=CNCE=k.

A k szám milyen értékeire lesznek a B, M és N pontok kollineárisak?

Matlap, Kolozsvár (2017)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2024. március 11-én LEJÁRT.


B. 5366. Van-e olyan n>1 összetett egész szám, amely rendelkezik a következő tulajdonsággal: ha 1=d1<d2<<dk=n jelölik n pozitív osztóit, akkor di osztható (di1+di2)-vel minden 3ik esetén?

(IMO 2023/1 módosítása)

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 5367. a) Az egységnyi sugarú nyílt körlapban elhelyeztünk egymásra merőlegesen két hosszúságú nyílt szakaszt úgy, hogy a szakaszoknak nincs közös pontjuk. Mennyi lehet ?

b) Az egységnyi sugarú nyílt gömbben elhelyeztünk három hosszúságú nyílt szakaszt úgy, hogy páronként merőlegesek, és semelyik kettőnek nincs közös pontja. Mennyi lehet ?

Javasolta: Vígh Viktor (Sándorfalva)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 5368. Egy pingpongbajnokságon teljes körmérkőzést játszottak, azaz mindenki mindenkivel pontosan egyszer játszott. A győzelemért 1, a vereségért 0 pont járt (döntetlen nincs a pingpongban). Érdekes módon volt egy olyan játékos, aki pontosan azokat az ellenfeleit győzte le, akik nála több pontot szereztek a bajnokság végére, és pontosan azoktól kapott ki, akik nála kevesebb pontot szereztek.

Legalább hány résztvevője lehetett a bajnokságnak?

(Lehetséges, hogy több versenyzőnek is ugyanannyi pontja lett a verseny végén. A bajnokságon legalább ketten vettek részt.)

Javasolta: Nagy Kartal (Budapest) és Hujter Bálint (Budapest)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 5369. Az ABC szabályos háromszög P belső pontjára APB=150. Mutassuk meg, hogy PA2+PB2=PC2.

Javasolta: Vígh Viktor (Sándorfalva)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 5370. Legyen k pozitív egész, és tegyük fel, hogy az a1,,ak valós számokra ki=1(ki+1)ai=0. Mutassuk meg, hogy van olyan mk pozitív egész szám, amelyre

2mmi=1aimi=1iai.

Javasolta: Vígh Viktor (Sándorfalva)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 5371. Legyen P pont az ABC háromszög belső pontja. Jelölje a P pont merőleges vetületét a BC, CA és AB oldalakra rendre D, E és F. Bizonyítsuk be, hogy

PE+PFPA+PF+PDPB+PD+PEPC3.

Javasolta: Bencze Mihály (Brassó)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 5372. Egy gömb felszínét néhány főkörrel gömbi háromszögekre és négyszögekre daraboltuk úgy, hogy semelyik három főkör nem megy át egy ponton, továbbá keletkezett legalább egy négyszög. Mutassuk meg, hogy pontosan nyolc gömbháromszöget és hat gömbi négyszöget kaptunk.

Javasolta: Vígh Viktor (Sándorfalva)

(6 pont)

megoldás, statisztika


B. 5373. Legyen n pozitív egész szám. Igazoljuk, hogy az a7nx7n++a1x+a0=(x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1)n polinom páratlan együtthatóinak száma legalább 8.

Javasolta: Pach Péter Pál (Budapest)

(6 pont)

megoldás, statisztika


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2024. március 11-én LEJÁRT.


A. 872. Minden k pozitív szám esetén legyen ak,1, ak,2, egy pozitív egész számokból álló sorozat. Minden k pozitív egész szám esetén legyen az {ak+1,i} sorozat az {ak,i} sorozat különbségsorozata, azaz minden k és i pozitív egészre teljesül, hogy ak,i+1ak,i=ak+1,i.

Lehetséges-e, hogy minden pozitív egész pontosan egyszer szerepel az ak,i számok között?

Javasolta Matolcsi Dávid (Berkeley)

(7 pont)

megoldás, statisztika


A. 873. Az ABCD egy konvex húrnégyszög, melyben ABCD=ADBC teljesül. Az ABC háromszög I középpontú ω beírt köre a BC, CA és AB oldalakat rendre az A, B és C pontokban érinti. Legyen K az ID egyenes és az ABC háromszög Feuerbach-körének azon metszéspontja, amely az ID szakasz belsejében van.

Mutassuk meg, hogy ha S az ABC háromszög súlypontja, akkor az SK egyenes és a BB egyenes ω-n metszi egymást.

Javasolta Bán-Szabó Áron (Budapest)

(7 pont)

megoldás, statisztika


A. 874. Nyihaha és Bruhaha két egymás melletti sziget, mindkettőn n ember él.

Nyihaha lakói mind Lovagok, akik mindig igazat mondanak, vagy Lókötők, akik mindig hazudnak. Bruhaha lakói normális emberek, akik azt modnanak amit akarnak. Mindkét szigeten hagyomány egy rituálé: amikor egy hajós érkezik a szigetre, akkor minden lakó véletlenszerűen (egyenletes eloszlással és egymástól függetlenül) rámutat egy másik szigetlakóra, és azt mondja ,,Ő Lovag'' vagy ,,Ő Lókötő''. Nyihaha szigetén a Lovagok az igazat, a Lókötők hazugságot mondanak arról, akire mutatnak. Bruhaha szigetén pedig mindenki, egymástól függetlenül 1/2 valószínűséggel mondja ezt vagy azt.

Szindbád megérkezik Bruhaha szigetére, de eredetileg nem tudja, melyik szigeten van. Megfigyelve a rituálét, pn valószínűséggel lát olyat, amiből egyértelműen meg tudja állapítani, hogy nem Nyihahán van. Igaz-e, hogy pn1, ha n?

Javasolta Matolcsi Dávid (Berkeley)

(7 pont)

megoldás, statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)