A KöMaL 2024. áprilisi matematika feladatai

K-jelű feladatok A beküldési határidő 2024. május 10-én LEJÁRT.

K. 809. Legyen $\displaystyle a_1$ egy pozitív egész szám, amelyből létrehozunk egy sorozatot a következő szabály szerint. A sorozat első tagját ($\displaystyle a_1$) felírjuk – a tízes számrendszerbeli alakját felhasználva – $\displaystyle a_1=10A_1+b_1$ alakban, ahol $\displaystyle b_1$ az egyesek helyén álló számjegy. Ebből kiindulva képezzük a sorozat további tagjait az $\displaystyle a_{n+1}={A_n+6b_n}$ szabály szerint. Igazoljuk, hogy az így képzett sorozatra teljesül, hogy vagy mindegyik tagja osztható $\displaystyle 59$-cel, vagy egyik sem.

Urbán János (Budapest) (1939–2012) feladata alapján

(5 pont)

megoldás, statisztika

K. 810. Az $\displaystyle ABCD$ trapézban $\displaystyle AB\parallel CD$ és $\displaystyle AB=3CD$, valamint $\displaystyle CD=DA$. Határozzuk meg a trapéz szögeit, ha tudjuk, hogy $\displaystyle CDA\sphericalangle=120^{\circ}$.

német versenyfeladat

(5 pont)

megoldás, statisztika

K. 811. Egy $\displaystyle 8\times8$-as sakktáblára ráírtuk a pozitív egész számokat $\displaystyle 1$-től $\displaystyle 64$-ig növekvő sorrendben, a bal felső sarokban kezdve és soronként haladva. Lehetséges-e két egymással élben vagy csúcsban szomszédos mezőn álló számot a tábláról törölnünk úgy, hogy a fennmaradó számok összege éppen $\displaystyle 2024$ legyen?

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

megoldás, statisztika

K/C-jelű feladatok A beküldési határidő 2024. május 10-én LEJÁRT.

K/C. 812. A $\displaystyle 2024$-nek pontosan egy olyan számjegye van (nevezetesen a 0), amely minden számjegyének többszöröse. Hány olyan négyjegyű, pozitív egész szám van, amelynek legalább két ilyen számjegye van?

Javasolta: Kozma Katalin Abigél (Győr)

(5 pont)

megoldás, statisztika

K/C. 813. Az $\displaystyle ABCD$ négyzet mellé rajzoltuk az $\displaystyle EBFG$ négyzetet, mellé pedig több, vele egybevágó négyzetet az alábbi ábra szerint.

Határozzuk meg a $\displaystyle DHE$ háromszög és $\displaystyle HKLE$ négyszög területének arányát.

Deres János (Csurgó) ötletéből

(5 pont)

megoldás, statisztika

C-jelű feladatok A beküldési határidő 2024. május 10-én LEJÁRT.

C. 1808. Boglárka egy 4-szer 4-es négyzetháló minden négyzetébe beír a $\displaystyle 2023$, $\displaystyle 2024$, $\displaystyle 2025$ számok közül pontosan egyet. Hány különböző módon teheti ezt meg úgy, hogy minden sorban és minden oszlopban az oda beírt négy darab szám összege osztható legyen $\displaystyle 3$-mal?

Javasolta: Kozma Katalin Abigél (Győr)

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1809. Legyen az $\displaystyle AC$ szakasz belső pontja $\displaystyle B$, és az $\displaystyle ABS_1$, a $\displaystyle BCS_2$ és az $\displaystyle CAS_3$ olyan egyenlő szárú háromszögek, amelyek közül semelyik kettőnek nincs közös belső pontja, és amelyeknek alapjai az $\displaystyle AB$, a $\displaystyle BC$ és az $\displaystyle CA$, és az alapon fekvő szögeik mind $\displaystyle 30^{\circ}$-osak.

Bizonyítsuk be, hogy az $\displaystyle S_1S_2S_3$ háromszög szabályos.

német versenyfeladat

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1810. Határozzuk meg az $\displaystyle (x+2)^6+(x^2-4x-4)^3=8x^6$ egyenlet valós megoldásait.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1811. Legyen $\displaystyle f(x)=x^2$ és $\displaystyle g(x)=x^2-2x+2$. Határozzuk meg a két függvénygrafikon közös érintőjének egyenletét.

Javasolta: Sándor Csaba (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1812. Legyenek egy háromszög oldalhosszai $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle c$, amelyekre teljesül, hogy $\displaystyle a+b=3c$. Az $\displaystyle a$, illetve $\displaystyle b$ oldalakkal szemközti szögek $\displaystyle \alpha$, illetve $\displaystyle \beta$. Bizonyítsuk be, hogy $\displaystyle \ctg{\frac{\alpha}{2}}\cdot{\ctg{\frac{\beta}{2}}}=2.$

horvát versenyfeladat

(5 pont)

megoldás, statisztika

B-jelű feladatok A beküldési határidő 2024. május 10-én LEJÁRT.

B. 5382. Döntsük el, hogy vannak-e olyan $\displaystyle 2<p<q$ prímszámok, amelyekre a $\displaystyle \{{p+1}, {p+2}, \ldots, {q-1}\}$ halmaz elemeinek több mint egyharmadrésze prímszám.

Javasolta: Hujter Bálint (Budapest)

(3 pont)

megoldás, statisztika

B. 5383. Az $\displaystyle ABCD$ húrnégyszögben $\displaystyle BAD\sphericalangle = 90^{\circ}$, $\displaystyle BC = CD$ és $\displaystyle AC = 1$. Kiszámítandó a húrnégyszög területe.

Javasolta: Hujter Mihály (Budapest)

(3 pont)

megoldás, statisztika

B. 5384. Bizonyítsuk be, hogy ha $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle c>0$ és $\displaystyle a^2+b^2+c^2=abc$, akkor

$\displaystyle 2(a+b+c)+\dfrac{a^3}{bc}+\dfrac{b^3}{ca}+\dfrac{c^3}{ab} \le abc.$

Javasolta: Bencze Mihály (Brassó)

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 5385. Az $\displaystyle ABC$ hegyesszögű háromszögben jelölje $\displaystyle F$ a Feuerbach-kör középpontját. Bizonyítsuk be, hogy $\displaystyle AF^2-BF^2=Rc\sin(\beta-\alpha)$, ahol $\displaystyle R$ a köréírt kör sugarát, $\displaystyle c$ az $\displaystyle AB$ oldal hosszát, míg $\displaystyle \alpha$ és $\displaystyle \beta$ az $\displaystyle A$ és $\displaystyle B$ csúcsoknál levő belső szöget jelöli.

Javasolta: Bencze Mihály (Brassó)

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 5386. Anna és Balázs a következő játékot játssza. Anna 101-szer, míg Balázs 10-szer dob fel egy szabályos pénzérmét. Anna győz, ha több, mint 10-szer annyi fejet dobott, mint Balázs, különben Balázs nyer. Kinek kedvezőbb ez a játék?

Javasolta: Sztranyák Attila (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika

B. 5387. A sík véges sok pontját megjelöltük a piros, kék és zöld színek valamelyikével úgy, hogy nincs három kollineáris, azonos színű pont, de bármely két azonos színű pontot összekötő szakaszon van olyan megjelölt pont, amelynek színe különbözik a végpontok színétől. Legfeljebb hány pontot vehettünk fel?

Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)

(5 pont)

megoldás, statisztika

B. 5388. Mutassuk meg, hogy bármely $\displaystyle 2n$ egymást követő pozitív egész számot legalább $\displaystyle n!$-féleképpen lehet $\displaystyle n$ párba állítani úgy, hogy semelyik párban ne legyen a számok szorzata négyzetszám.

Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)

(6 pont)

megoldás, statisztika

B. 5389. Az $\displaystyle ABC$ hegyesszögű háromszög beírt körének középpontja $\displaystyle I$, a $\displaystyle BC$ és $\displaystyle AC$ oldalakkal vett érintési pontjai $\displaystyle D$, illetve $\displaystyle E$, továbbá jelölje $\displaystyle H$ a háromszög magasságpontját. Igazoljuk, hogy ha $\displaystyle H$ a $\displaystyle DE$ szakaszon van, akkor a $\displaystyle HI$ egyenes felezi az $\displaystyle AB$ oldalt.

Javasolta: Varga Boldizsár (Budapest)

(6 pont)

megoldás, statisztika

A-jelű feladatok A beküldési határidő 2024. május 10-én LEJÁRT.

A. 878. Legyen $\displaystyle A$ a $\displaystyle c$ és $\displaystyle k$ körök egyik metszéspontja. Legyen $\displaystyle X_1$ és $\displaystyle X_2$ tetszőleges pont a $\displaystyle c$ körön. Jelölje $\displaystyle Y_i$ az $\displaystyle AX_i$ egyenes második metszéspontját a $\displaystyle k$ körrel $\displaystyle i=1,2$ esetén. Legyen $\displaystyle P_1$, $\displaystyle P_2$ és $\displaystyle P_3$ tetszőleges pont a $\displaystyle k$ körön, és jelölje $\displaystyle O$ a $\displaystyle k$ kör középpontját.

Jelölje $\displaystyle K_{ij}$ az $\displaystyle X_iY_iP_j$ háromszög körülírt körének középpontját $\displaystyle i=1$, $\displaystyle 2$ és $\displaystyle {j=1}$, $\displaystyle 2$, $\displaystyle 3$ esetén. Legyen $\displaystyle L_j$ az $\displaystyle OK_{1j}K_{2j}$ háromszög körülírt körének középpontja $\displaystyle j=1$, $\displaystyle 2$, $\displaystyle 3$ esetén. Bizonyítsuk be, hogy $\displaystyle L_1$, $\displaystyle L_2$ és $\displaystyle L_3$ egy egyenesre esik.

Javasolta: Molnár-Szabó Vilmos (Budapest)

(7 pont)

megoldás, statisztika

A. 879. Adott egy $\displaystyle k>2$ egész szám. Xavér és Yvett a következő játékot játssza. Eredetileg a táblán egy $\displaystyle n>k$ egész szám szerepel. Ezt követően felváltva lépnek, Xavér kezd. Egy lépés abból áll, hogy a táblán szereplő $\displaystyle m$ számot kicserélik egy olyan $\displaystyle m'$ számra, amelyre $\displaystyle k\le m'<m$ és $\displaystyle (m',m)=1$. Aki először nem tud lépni, veszít.

Azt mondjuk, hogy egy $\displaystyle n>k$ egész szám jó, ha Yvettnek van nyerő stratégiája. Mutassuk meg, hogy ha $\displaystyle n$, $\displaystyle n'>k$ olyanok, hogy minden $\displaystyle p\le k$ prímre $\displaystyle p$ akkor és csak akkor osztja $\displaystyle n$-et, ha $\displaystyle n'$-t, akkor $\displaystyle n$ akkor és csak akkor jó, ha $\displaystyle n'$ jó.

(7 pont)

megoldás, statisztika

A. 880. Határozzuk meg az összes $\displaystyle (a,b,c)$ valós számokból álló számhármast, amelyre létezik olyan $\displaystyle f\colon\mathbb{Z}^+ \to \mathbb{Z}^+$ függvény, hogy

$\displaystyle af(n)+bf(n+1)+cf(n+2)<0$

minden $\displaystyle n \in \mathbb{Z}^+$ számra ($\displaystyle \mathbb{Z}^+$ a pozitív egész számok halmazát jelöli).

Javasolta: Imolay András (Budapest)

(7 pont)

megoldás, statisztika