A KöMaL 2024. májusi matematika feladatai

K-jelű feladatok A beküldési határidő 2024. június 10-én LEJÁRT.

---

K. 814. Egy mezőn birkanyáj legelészik. A birkák egy részét megjelölték, a megjelölt és a jelöletlen birkák számának aránya $\displaystyle \dfrac{3}{5}$.

A jelöletlen birkák közül csak $\displaystyle 17$ van megnyírva, a megjelölt birkákat mind megnyírták, viszont a megnyírt és a meg nem nyírt birkák száma egyenlő. Hány birka legelészik a réten?

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

K. 815. Az $\displaystyle ABC$ derékszögű háromszög $\displaystyle BC$ befogóján úgy vettük fel a $\displaystyle D$ pontot, hogy $\displaystyle BC=4BD$, az $\displaystyle AC$ befogón felvett $\displaystyle E$ pontra pedig $\displaystyle AC=8CE$ teljesül.
Határozzuk meg az $\displaystyle AB$ átfogó hosszát, ha tudjuk, hogy $\displaystyle AD=164$ és $\displaystyle BE=52$.

vietnámi feladat

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

K. 816. Adott az $\displaystyle {E(x)=\dfrac{8x-12}{4x^2-12x+9}-\dfrac{5x}{2x^2+3x}-\dfrac{20x}{9-4x^2}}$ kifejezés. Határozzuk meg azon $\displaystyle x$ egész számokat, amelyekre $\displaystyle E(x)$ természetes szám.

Matlap (Kolozsvár)

(5 pont)

megoldás, statisztika

K/C-jelű feladatok A beküldési határidő 2024. június 10-én LEJÁRT.

---

K/C. 817. Egy dobozban van négy papírcetli, amelyek mindegyikére egy-egy pozitív számot írtunk. Kihúzunk valahány cetlit, majd a rajtuk lévő számokat összeadjuk. (Ha egy cetlit húzunk ki, akkor azt a számot vesszük, amely a cetlin van.) Ezt az összes lehetséges módon megcsináljuk. Milyen számok vannak a cetlikre írva, ha az így kapott eredmények mind egymást követő egész számok?

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

K/C. 818. Az $\displaystyle ABC$ derékszögű háromszög befogóinak hossza $\displaystyle BC=6$, $\displaystyle CA=8$ egység. A $\displaystyle BC$ befogó $\displaystyle B$-hez közelebb eső harmadolópontja $\displaystyle P$, felezőpontja $\displaystyle Q$, a $\displaystyle CA$ befogó $\displaystyle C$-hez közelebbi harmadolópontja $\displaystyle R$, felezőpontja $\displaystyle S$, végül az $\displaystyle AB$ átfogó $\displaystyle A$-hoz közelebbi harmadolópontja $\displaystyle T$, felezőpontja $\displaystyle U$. Tükrözzük a $\displaystyle P$, $\displaystyle R$, $\displaystyle T$ harmadolópontokat az $\displaystyle ABC$ háromszög hozzájuk legközelebb eső csúcspontjára, a $\displaystyle Q$, $\displaystyle S$, $\displaystyle U$ felezőpontokat pedig a megfelelő háromszögoldal másik végpontjára az ábra szerint.

Határozzuk meg a $\displaystyle P'U'R'Q'T'S'$ sokszög területét.

Javasolta: Bíró Bálint, (Eger)

(5 pont)

megoldás, statisztika

C-jelű feladatok A beküldési határidő 2024. június 10-én LEJÁRT.

---

C. 1813. Mutassuk meg, hogy nincsenek olyan $\displaystyle m$, $\displaystyle n$ pozitív egész számok, amelyekre

$\displaystyle 3^{m}+3^{n}+1$

teljes négyzet.

amerikai versenyfeladat

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1814. Milyen arányban osztja két részre az $\displaystyle r$ sugarú kör területét az az egyenes, amelynek a kör középpontjától való távolsága $\displaystyle \dfrac{r}{\sqrt{2}}$?

Ringler András (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1815. Oldjuk meg az

$$\begin{align*} x^2y-zu^2&=6,\\ x^2z+yu^2&=11 \end{align*}$$

egyenletrendszert, ha $\displaystyle x$, $\displaystyle y$, $\displaystyle z$, $\displaystyle u$ természetes számok.

Katz Sándor (Bonyhád) ötlete alapján

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1816. Az $\displaystyle a=14$, $\displaystyle b=13$, $\displaystyle c=15$ hosszúságú oldalakkal rendelkező háromszög oldalai érintik az $\displaystyle R=5$ sugarú gömböt. Határozzuk meg a gömb középpontja és a háromszög síkja közötti távolságot.

horvát versenyfeladat

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1817. Elkezdtünk egy pénzérmét dobálni. A dobássorozat eredménye: egy fej, egy írás, egy fej, két írás, egy fej, három írás, egy fej és így tovább, azaz az írásokból álló megszakításmentes szériák hossza mindig 1-gyel növekszik, és azokat minden esetben egyetlen fej választja el egymástól. Ha ez a szabályosság megmarad, akkor hányadik dobás után hagyhatjuk abba a dobálást, hogy a fejek relatív gyakorisága pontosan $\displaystyle \frac{1}{2023}$ legyen?

Barczy Mátyás, Nyul Gábor (Debrecen)

(5 pont)

megoldás, statisztika

B-jelű feladatok A beküldési határidő 2024. június 10-én LEJÁRT.

---

B. 5390. Léteznek-e olyan $\displaystyle a_0$, $\displaystyle a_1$, $\displaystyle \ldots$, $\displaystyle a_{n-1}$ páros egész számok, amelyekre az $\displaystyle x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0$ polinom osztható az $\displaystyle x^2+x+1$ polinommal?

Javasolta: Kós Géza (Budapest)

(3 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5391. Az egységnyi $\displaystyle AB$ átmérőjű körvonalon kijelölünk egy $\displaystyle C$ pontot. Ezután az $\displaystyle AB$ szakaszon felvesszük a $\displaystyle D$ és $\displaystyle E$ pontokat úgy, hogy $\displaystyle BD=BC$ és $\displaystyle AE=AC$. Határozzuk meg $\displaystyle AD^2+DE^2+EB^2$ lehetséges legkisebb értékét.

Javasolta: Szoldatics József (Budapest)

(4 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5392. Tekintsünk egy olyan trapézt, amelynek területe egyenlő alapjainak szorzatával. Mutassuk meg, hogy ez a trapéz pontosan akkor érintőnégyszög, ha derékszögű.

Javasolta: Németh László (Fonyód)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5393. Legyen az $\displaystyle f$ olyan valós-valós függvény, amelyre

$\displaystyle \left|f(x+y+z)+\sin\,x+\sin\,y+\sin\,z \right|\le 3, \quad \text{minden } x, y, z\in \mathbb{R} \text{ esetén}.$

Mutassuk meg, hogy $\displaystyle |f(x)-\sin x|\le 1$ minden $\displaystyle x\in \mathbb{R}$ esetén.

Javasolta: Bencze Mihály (Brassó)

(4 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5394. Az $\displaystyle ABCD$ négyzet középpontja $\displaystyle O$, körülírt körének egy tetszőleges pontja $\displaystyle X$. Jelölje $\displaystyle T$ az $\displaystyle X$ merőleges vetületét $\displaystyle BC$-n. Legyen az $\displaystyle XB$ és $\displaystyle AC$ egyenesek metszéspontja $\displaystyle E$, az $\displaystyle XC$ és $\displaystyle BD$ egyeneseké pedig $\displaystyle F$. Mutassuk meg, hogy $\displaystyle EF$ merőleges $\displaystyle TO$-ra.

Javasolta: Vígh Viktor (Sándorfalva)

(4 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5395. Jelölje egy $\displaystyle k$ pozitív egész pozitív osztóinak számát $\displaystyle d(k)$, továbbá legyen $\displaystyle 1<n$ egész szám. Melyik összeg a nagyobb, $\displaystyle d(2)+d(4)+\dots+d(2n)$ vagy $\displaystyle (d(1)+d(3)+\dots+d(2n-1))+(d(1)+d(2)+\dots+d(n))$?

Javasolta: Pach Péter Pál (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5396. Egy egyenlő oldalú térbeli (torz) ötszögnek négy derékszöge van. Mekkora lehet az ötödik szöge?

Javasolta: Dombi Péter (Pécs)

(6 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5397. Egy gráfra (amely többszörös éleket is tartalmazhat) teljesül, hogy akárhogyan osztjuk szét a csúcsait $\displaystyle t$ darab diszjunkt halmazba, legalább $\displaystyle 2t-2$ él különböző halmazok között vezet. Bizonyítsuk be, hogy a gráf éleit ki lehet színezni pirosra vagy kékre úgy, hogy a kék és a piros élek is összefüggő (és minden csúcsot elérő) gráfot alkossanak.

Javasolta: Williams Kada (Cambridge, UK)

(6 pont)

megoldás, statisztika

A-jelű feladatok A beküldési határidő 2024. június 10-én LEJÁRT.

---

A. 881. Egy királlyal bejárjuk egy (a szokásos módon színezett) $\displaystyle n \times n$-es sakktábla minden mezőjét pontosan egyszer. Határozzuk meg, hogy legkevesebb hányszor kellett színt váltanunk a séta során.

Javasolta: Pálvölgyi Dömötör (Budapest)

(7 pont)

megoldás, statisztika

---

A. 882. Legyen $\displaystyle H_1$, $\displaystyle H_2$, $\displaystyle \ldots$, $\displaystyle H_m$ a pozitív egész számok nemüres részhalmazai, legyen továbbá $\displaystyle S$ ezen halmazok uniója. Bizonyítsuk be, hogy

$\displaystyle \sum_{i=1}^m \sum_{a, b\in H_i} (a,b) \ge \frac{1}{m} \sum_{a, b\in S} (a, b),$

ahol $\displaystyle (a,b)$ az $\displaystyle a$ és $\displaystyle b$ legnagyobb közös osztóját jelöli.

(A $\displaystyle \sum_{(a,b)\in X}$ azt jelöli, hogy a szumma az olyan $\displaystyle (a, b)$ rendezett párokon fut végig, amikre $\displaystyle a\in X$ és $\displaystyle b\in X$.)

Javasolta: Matolcsi Dávid (Berkeley)

(7 pont)

megoldás, statisztika

---

A. 883. Legyenek $\displaystyle J \subsetneq I \subseteq \mathbb{R}$ nemüres nyílt intervallumok, és legyenek $\displaystyle f_1$, $\displaystyle f_2$, $\displaystyle \ldots$ olyan valós együtthatós polinomok, amelyekre a következők teljesülnek:

• $\displaystyle f_i(x) \geq 0$ minden $\displaystyle i \geq 1$ és $\displaystyle x \in I$ esetén,
• $\displaystyle \sum_{i=1}^\infty f_i(x)$ véges minden $\displaystyle x \in I$ esetén,
• $\displaystyle \sum_{i=1}^\infty f_i(x)=1$ minden $\displaystyle x \in J$ esetén.

Következik-e ezekből, hogy $\displaystyle \sum_{i=1}^\infty f_i(x)=1$ minden $\displaystyle x \in I$ esetén is?

Javasolta: Imolay András (Budapest)

(7 pont)

megoldás, statisztika