KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
English Információ A lap Pontverseny Cikkekről Hírek Fórum
A cikkek listája
Trükkös Bizonyítások

 

Rendelje meg a KöMaL-t!

Reklám:

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

Miért természetes az e?

Amikor az exponenciális függvény és a logaritmus fogalmát tanuljuk, a 2-es és a 10-es alap választása tűnik a legkézenfekvőbbnek. A 2-es alap előnye, hogy a kis pozitív egész számok között sok olyan van, aminek a 2-es alapú logaritmusa egész. A 10-es alap előnye pedig az, hogy sokjegyű számok logaritmusát is nagyon könnyű egyetlen, néhány oldalas logaritmustábla segítségével meghatározni. Amilyen természetesnek tűnik a 2-es és a 10-es alapú logaritmus, olyan megdöbbentő, hogy ``természetesnek'' mégsem ezeket nevezzük, hanem egy teljesen mesterséges számot választunk alapul. Ezt a mesterséges alapot Euler nyomán e-vel jelöljük, értéke közelítőleg e\(\displaystyle \approx\)2,71828182845904523536.

Az e számot a legtöbb tankönyv az \(\displaystyle \left(1+\frac{1}{n}\right)^{\!\!n}\) sorozat határértékeként, tehát egy \(\displaystyle 1^\infty\) alakú határértékként definiálja. Mások (Eulerhez hasonlóan) így definiálják: \(\displaystyle e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots.\) Egyik definíció sem alkalmas arra, hogy az e-vel közvetlenül aritmetikai műveleteket végezzünk. Sőt, Euler, Liouville és Hermite eredményeiből azt is tudjuk, hogy az e szám semmilyen egész együtthatós polinomnak sem gyöke; más szóval, a \(\displaystyle \pi\)-hez hasonlóan, transzcendens [3]. Az e számmal nem könnyű számolni.

Különösen a komplex függvénytan mutatott rá, hogy az ex függvény nagyon szoros kapcsolatban áll a trigonometrikus függvényekkel, és ezáltal az e közeli rokona a \(\displaystyle \pi\)-nek. Nagyon sok olyan eset van, amikor ez a két szám együtt fordul elő egy matematikai eredményben, például a Stirling-formula szerint \(\displaystyle n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^{\!n}\).

Az e szám tehát nem azért természetes, mert könnyű vele számolni, hanem mert olyan speciális tulajdonságai vannak, amelyek matematikai vizsgálatokban sokkal fontosabbak, mint az aritmetikai kezelhetőség. Ebben a cikkben az egyik - a legfontosabb - tulajdonságát fogjuk vizsgálni, amely ott áll az összes többi hátterében.

Egy kis matematikatörténet

A XV-XVI. század Európájában egyre fontosabbá vált az ipar, a hajózás, a csillagászat, a kereskedelem, mely területek nemcsak műszaki, hanem matematikai vívmányoknak is köszönhették azt, hogy egyre professzionálisabbá váltak. A pénzemberek számára oly fontos kamatos kamat számításához táblázatokat készítettek (pl. Simon Stevin). Az ezekkel való számolást szerette volna Joost Bürgi (1552-1632) felgyorsítani az általa készített táblázat segítségével. A svájci műszerkészítő mester adott p kamatláb mellett az \(\displaystyle \left(1+\frac{p}{100}\right)^{\!n}\), (n=0,1,2,...) mértani sorozathoz elemenként a 0, 10, 20,..., 10n számtani sorozat elemeit rendelte. Így az első sorozat bármely két elemének szorzatához éppen az a szám tartozik, amely a megfelelő számtani sorozatból való elemek összege. A két sorozatot egymástól színezéssel különböztette meg (piros-fekete). A ma már természetes jelöléssel tehát \(\displaystyle \log_{a} \left(1+\frac{p}{100}\right)^{\!n}=10n\).

A táblázat ugyan már 1611-ben elkészült, ám csak kilenc évvel később jelent meg. Ennek köszönhette John Napier skót matematikus, hogy először az övé vált ismertté (1614). Napier munkája annak a mozgásnak a közelítő leírásából származik, amikor valaki egy d hosszúságú úton halad úgy, hogy sebességének mérőszáma minden pillanatban megegyezik a hátralevő út hosszával. Az időt rövid, \(\displaystyle \lambda\) hosszúságú szeletekre vágta, és a sebességet minden szeletben állandónak vette. Az így kapott út-idő értékekből táblázatot készített. A megfeleltetést a görög logosz, azaz arány és arithmosz, azaz szám összegyúrásából latinosan logaritmusnak nevezte el.

szelet012...k...
hátralevő útd(1-\(\displaystyle \lambda\))d(1-\(\displaystyle \lambda\))2d...(1-\(\displaystyle \lambda\))kd...
eltelt idő0\(\displaystyle \lambda\)2\(\displaystyle \lambda\)...k\(\displaystyle \lambda\)...

A táblázat elkészítésekor Napier a \(\displaystyle \lambda\) számot 10-7-nek választotta (d-t pedig 107-nek), mai szóhasználattal tehát azt is mondhatjuk, hogy Napier-féle táblázatban a logaritmus alapja \(\displaystyle \left(1-\frac{1}{10^7}\right)^{\!\!10^7}\).

Napier munkáját az Oxfordi Egyetem geometria professzora, Henry Briggs fejlesztette tovább. Elsőként azt szerette volna, hogy log 1=0, azaz az alapszakasz hossza 107 helyett egységnyi legyen. Másodsorban kívánatosnak tartotta, hogy a 10 logaritmusa tíznek egy hatványaként álljon elő. Számos lehetőség megvitatása után a log 10=1 mellett döntöttek, ami nemcsak a tízes alapú logaritmus megszületését jelentette, hanem magának a logaritmus alapjának megfogalmazását is. (Tehát ha egy szám a-nak az L-edik hatványa, akkor a szám a alapú logaritmusa L.)

A 2,718... szám első ismert előfordulását Napier Descriptio című műve angol fordításának függelékében találhatjuk. (A függeléket feltehetőleg William Oughtred írta.) Itt szerepel a következő megállapítás: loga 10=2,302585, ahol a\(\displaystyle \approx\)2,71828. Egy másik érdekes korai eredmény Gregory of Saint-Vincent nevéhez fűződik, aki 1647-ben a derékszögű hiperbola alatti területet számította ki. Szerinte az xy=1 egyenletű hiperbola és az x-tengely egységnyi területet fog közre az x=1-től kezdve x=e-ig.

Euler az e számot az 1727-28-ból származó Elmélkedés az ágyúzás legújabb tapasztalatairól (Meditatio en experimenta explosione tormentorum nuper instituta) című kéziratában használta először. Később egy - Goldbachnak írt - levelében találkozhatunk az e-vel (1731), nyomtatásban legelőször 1736-ban jelent meg a Mechanica című tanulmányban.

A szimbólum megválasztásának miértjéről csak találgatni lehet. Vannak, akik szerint az e az exponenciális szó kezdőbetűje, mások az a, b, c, d - az akkori matematikát művelők között bevetten használt - betűk sorában következőt látják benne. A rosszmájúak és irigyek véleménye természetesen az, hogy Euler a számot önmagáról nevezte el.

Euler megmutatta, hogy az e szám irracionális. 1844-ben Liouville bebizonyította, hogy egyetlen egész együtthatós másodfokú polinomnak sem gyöke, sőt, Hermite 1873-ban azt is bebizonyította, hogy transzcendens.

A komputertechnika fejlődésével egyre több jegyét számolják ki e-nek, a minél pontosabb meghatározásért folyó verseny napjainkban is tart. (1999-ig 109 nagyságrendű tizedes jegyet állapítottak meg.)

Az exponenciális függvény meredeksége

Az e szám legérdekesebb és egyben legfontosabb tulajdonsága az exponenciális és logaritmusfüggvények meredekségével kapcsolatos.

A különféle alapú exponenciális függvények grafikonjait a középiskolából viszonylag jól ismerjük. Az x\(\displaystyle \mapsto\)ax függvény szigorúan monoton nő, ha a>1, szigorúan monoton fogy, ha 0<a<1 és azonosan 1, ha a=1. Minden esetben igaz az, hogy a grafikon egy folytonos görbe, amely átmegy a (0;1) ponton.

Tetszőleges alap esetén igaz, hogy az ax függvény konvex. Ez szemléletesen azt jelenti, hogy a grafikon bármelyik két pontját egy egyenes szakasszal összekötve, a szakasz a grafikon fölött helyezkedik el (1. ábra).

1. ábra

A konvexitást formálisan is leírjuk. Legyen A=(x;ax) és B=(y;ay) a két végpont. Az AB szakasz egy belső C pontját úgy határozzuk meg, hogy a szakaszt valamilyen arányban felosztjuk. Ha az arány q:p, ahol p, q pozitív számok és p+q=1, akkor az osztópont koordinátái C=(px+qy;pax+qay), a grafikon C ,,alatti'' pontja pedig D=(px+qy;apx+qy). Az tehát, hogy az exponenciális függvény konvex, azt jelenti, hogy apx+qy\(\displaystyle \le\)pax+qay teljesül bármelyik lehetséges x, y, p, q számnégyes esetén.

Azt, hogy az exponenciális függvény konvex, a súlyozott számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség segítségével bizonyíthatjuk be. Az apx+qy és pax+qay kifejezések nem mások, mint az ax és ay számok súlyozott mértani, illetve számtani közepe a p és q súlyokkal.

Az exponenciális függvény grafikonjához bármelyik pontjában, így a (0;1) pontban is érintőt húzhatunk. (Ennek bizonyításától most eltekintünk.) Az érintő meredeksége természetesen attól függ, hogy mi az alap. A továbbiakban arra vagyunk kiváncsiak, hogy milyen alap esetén lesz a (0;1)-ben húzott érintő meredeksége 1, azaz mikor érinti az exponenciális függvény az y=x+1 egyenest. A keresett alapot jelöljük - egyelőre - a-val.

Az a számra jó becsléseket az érintő (0;1)-hez közeli pontjai segítségével kaphatunk. Először vegyünk egy nagy pozitív valós számot (x) és tekintsük az \(\displaystyle \left(\frac{1}{x};1+ \frac{1}{x}\right)\) pontot. A konvexitás miatt a teljes érintő a grafikon alatt van (kivéve az érintési pontot, 2. ábra), tehát \(\displaystyle a^{\textstyle\frac{1}{x}\)1+ \frac{1}{x}">; x-edik hatványra emelve \(\displaystyle \)\left(1+\frac{1}{x}\right)^{\!\!x}">.

2. ábra

Második becslésünkhöz tekintsük a \(\displaystyle \left(-\frac{1}{x+1}; 1-\frac{1}{x+1}\right)\) pontot. Ez a pont is a grafikon alatt van, tehát \(\displaystyle a^{-\textstyle\frac{1}{x+1}\)1-\frac{1}{x+1}">. Ezúttal -(x+1)-edik hatványra emelve (mivel a kitevő negatív, az egyenlőtlenség iránya megfordul!),

\(\displaystyle a<\left(1-\frac{1}{x+1}\right)^{\!\!-(x+1)}= \left(1+\frac{1}{x}\right)^{\!\!x+1}. \)

Összefoglalva, a keresett alapra teljesülnie kell, hogy tetszőleges x>0 esetén

\(\displaystyle \left(1+\frac{1}{x}\right)^{\!\!x}

Itt azonnal meg lehet kérdezni, hogy az x helyére nagyobb számot írva erősebb becslést kapunk-e. Megmutatjuk, hogy így van, az \(\displaystyle x\mapsto\left(1+\frac{1}{x}\right)^{\!\!x}\) függvény monoton nő, az \(\displaystyle x\mapsto\left(1+\frac{1}{x}\right)^{\!\!x+1}\) függvény pedig monoton fogy.

Legyen 0<u<v két tetszőleges pozitív valós szám. Először azt fogjuk megmutatni, hogy \(\displaystyle \left(1+\frac{1}{u}\right)^{\!\!u} <\left(1+\frac{1}{v}\right)^{\!\!v}\). Legyen \(\displaystyle b=\left(1+\frac{1}{u}\right)^{\!\!u}\); az x\(\displaystyle \mapsto\)bx függvény grafikonja átmegy az \(\displaystyle U=\left(\frac{1}{u};1+\frac{1}{u}\right)\) ponton (3. ábra).

A konvexitás miatt a \(\displaystyle V=\left(\frac{1}{v};1+\frac{1}{v}\right)\) pont a bx függvény grafikonja fölött van, tehát \(\displaystyle 1+\frac{1}{v\)b^{\textstyle\frac{1}{v}}">. A v-edik hatványokat véve

\(\displaystyle b=\left(1+\frac{1}{u}\right)^{\!\!u} <\left(1+\frac{1}{v}\right)^{\!\!v}. \)

3. ábra

Legyen most \(\displaystyle c=\left(1+\frac{1}{u}\right)^{\!\!u+1}\). Az x\(\displaystyle \mapsto\)cx függvény grafikonja átmegy a \(\displaystyle P=\left(-\frac{1}{u+1};1- \frac{1}{u+1}\right)\) ponton. A \(\displaystyle Q=\left(-\frac{1}{v+1};1- \frac{1}{v+1}\right)\) pont a grafikon fölött van, tehát \(\displaystyle c^{-\textstyle\frac{1}{v+1}}<1-\frac{1}{v+1}\). Ezt -(v+1)-edik hatványra emelve az egyenlőtlenség iránya ismét megfordul, \(\displaystyle c=\left(1+ \frac{1}{u}\right)^{\!\!u+1\)\left(1+\frac{1}{v}\right)^{\!\!v+1}"> (4. ábra).

4. ábra

Természetesen mindkét függvény monotonitását közvetlenül is igazolhatjuk a súlyozott közepek közötti egyenlőtlenségekkel. Írjuk fel az \(\displaystyle 1+\frac{1}{u}\) és 1 számokra a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget az u, illetve v-u súlyokkal:

\(\displaystyle \left(\left(1+\frac{1}{u}\right)^{\!\!u}\cdot1^{v-u}\right)^{\!\!\textstyle\frac{1}{v}}< \frac{u\cdot\left(1+\frac{1}{u}\right)+(v-u)\cdot1}{v},\)

\(\displaystyle \left(1+\frac{1}{u}\right)^{\!\!u}< \left(1+\frac{1}{v}\right)^{\!\!v}.\)

Hasonlóan írjuk fel a súlyozott harmonikus és mértani közepek közötti egyenlőtlenséget is az u+1 és v-u súlyokkal:

\(\displaystyle \frac{v+1}{\frac{u+1}{1+\frac{1}{u}}+\frac{v-u}{1}} \le\left(\left(1+\frac{1}{u}\right)^{\!\!u+1}\cdot1^{v-u}\right)^{\!\!\textstyle\frac{1}{v+1}},\)

\(\displaystyle \left(1+\frac{1}{v}\right)^{\!\!v+1} <\left(1+\frac{1}{u}\right)^{\!\!u+1}.\)

A monoton növekvő alsó becslés és a monoton fogyó felső becslés hányadosa 1-hez tart. Ebből következik, hogy a két függvénynek közös határértéke van a végtelenben (5. ábra). Ha a közös határértéket (amit most már nyugodtan nevezhetünk e-nek) választjuk az exponenciális függvény alapjának, a (0;1) pontbeli érintő iránya éppen 45o-os lesz. Az e számnak ez az a tulajdonsága, ami miatt a matematika legkülönfélébb területein felbukkan.

5. ábra

Az ex függvénynek nem csak a (0;1)-beli meredeksége érdekes. A grafikon tetszőleges (x;ex) pontjában az érintő meredeksége éppen ex, vagy más szóval, (ex)'=ex. Ez a tulajdonság is az előbb látottak egyszerű következménye.

A célunk az volt, hogy rámutassunk az okra, ami miatt az \(\displaystyle \left(1+\frac{1}{n}\right)^{\!\!n}\) sorozat határértéke különleges, hogy miért éppen ezt a számot érdemes az exponenciális és a logaritmusfüggvény alapjának választani.

Egy tankönyvben, ahol a gondos, precíz felépítés nagyon fontos, a sorrend többnyire teljesen más. Az e számot jóval azelőtt szokás definiálni, mint hogy érintőkről és azok meredekségéről, azaz differenciálásról szó esne. Előbb - a sorozatok határértékéről szóló fejezetekben - bebizonyítjuk, hogy az \(\displaystyle \left(1+\frac{1}{n}\right)^{\!\!n}\) sorozat konvergens, és a határértékét elnevezzük e-nek. Csak később, a függvények határértéke és a folytonosság fogalmának bevezetése után, a differenciálásról szóló fejezetben találkozunk azzal, hogy az ex függvény milyen érdekes a deriválás szempontjából.

Feladatok

1. Legyen n tetszőleges pozitív egész. Adjunk közvetlen bizonyítást arra, hogy \(\displaystyle \left(1+\frac{1}{n}\right)^{\!\!n}<3\).

2. Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle 1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+ \frac{1}{3!}+\ldots=e\).

3. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges a valós szám esetén az \(\displaystyle \left(1+\frac{a}{x}\right)^{\!x}\) függvénynek van határértéke a \(\displaystyle \infty\)-ben.

4. Definiáljuk az \(\displaystyle \exp\) függvényt a következőképpen: \(\displaystyle \exp\,(a)=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{a}{x}\right)^{\!x}\). Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle \exp\,(a+b)=\exp\,(a)\cdot\exp\,(b)\), és valójában \(\displaystyle \exp\,(a)=e^a\).

5. Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+ \frac{x^3}{3!}+\ldots\,.\)

Hátha valaki nem ismeri

A differenciáloperátor összetalálkozik egy függvénnyel. Azt mondja neki az operátor:
- Add nekem az értékkészletedet, különben megderivállak!
- Hahaha! Én vagyok az ex.

Az e tizedes jegyeinek megjegyzésére több vicces mondatot, verset gondoltak ki, amelyekben minden számjegynek egy-egy szó betűinek száma felel meg, például

,,By omnibus I traveled to Brooklyn.''

,,We present a mnemonic to memorize a constant so exciting that Euler exclaimed: `!' when first it was found, yes, loudly `!'. My students perhaps will compute e, use power or Taylor series, an easy summation formula, obvious, clear, elegant!'' (Barel, 1995)

Irodalom

[1] Eli Maor: e - The history of a number, Princeton University Press (Princeton, New Jersey, 1994).

[2] Sain Márton: Nincs királyi út, Gondolat (Budapest, 1986).

[3] Freud Róbert - Gyarmati Edit: Számelmélet, Nemzeti Tankönyvkiadó (Budapest, 2000), 369-401. oldal.

[4] http://mathworld.wolfram.com/e.html

[5] http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/e.html

Kós Rita - Kós Géza

Támogatóink:   Ericsson   Google   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma  
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet   Nemzeti Tehetség Program     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley