KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A KöMaL 2011. szeptemberi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. (Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.)


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2011. október 10-én LEJÁRT.


K. 295. Hány jegyű a 2011201020092008...10987654321 szám? Osztható-e ez a szám 3-mal?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 296. Egy sorozat első tagja 2011. A második tagtól kezdve minden tag megegyezik az őt megelőző tagnál 2-vel nagyobb szám reciprokának (-2)-szeresével. Mennyi a sorozat 2011. tagja?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 297. Az ábrán látható módon egy téglalap jobb felső sarkából kivágtunk egy négyzetet. Az így kapott síkidom területe 2011 cm2.

Mekkora az eredeti téglalap területe?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 298. Egy négyszög három szomszédos oldalának hossza megegyezik, a négyszög általuk meghatározott két belső szöge pedig 60o, illetve 70o.

Mekkora a négyszög legnagyobb szöge?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 299. Egy városban 2011 ikerpár lakik. A 4022 ember között 1900 fiú van, és a lány--lány ikerpárok száma 11-gyel több, mint a fiú--lány ikerpárok száma.

Hány fiú--fiú ikerpár van a városban?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 300. Néhány lánybarátnő, akiknek a haja szőke, barna, vagy fekete, együtt ment nyaralni. Közülük 3 kivételével mind szőke, 4 kivételével mind barna, 5 kivételével mind fekete hajú.

Hányan vannak a nyaraló barátnők?

(6 pont)

megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2011. október 10-én LEJÁRT.


C. 1085. Adott n darab pénzérme írással felfelé. Minden egyes lépésben n-1 darabot megfordítunk. Elérhető-e, hogy mindegyik érmén a fej legyen felül?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1086. Egy derékszögű háromszögben a derékszög 2\sqrt{10} hosszúságú szögfelezője az átfogót harmadolja. Számoljuk ki az átfogóhoz tartozó magasság hosszát.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1087. Egy számtani sorozat első eleme 1, második eleme n, első n elemének összege pedig 33n. Határozzuk meg n értékét.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1088. Egy derékszögű háromszög alapú egyenes hasáb minden élének hossza egész szám. A hasábnak van 30 és 13 területű lapja. Mekkora a térfogata?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1089. A pozitív körüljárású ABCD négyszög területe 20, három csúcsának koordinátái A(-2;0), B(2;0) és C(2;4). Mennyi az ABCD négyszög kerületének minimuma?

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2011. október 10-én LEJÁRT.


B. 4372. Mutassuk meg, hogy ha n pont úgy helyezkedik el, hogy bármely négy közül kiválasztható három, amelyek egy egyenesre esnek, akkor a pontok közül legalább n-1 kollineáris.

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4373. A soklábú lények nemzetközi konferenciája az Üveghegy tetején kerül megrendezésre. A résztvevőknek rendre a1,...,an lábuk van, valamennyi pozitív páros szám. Az Üveghegy csúszós, a hegy lábánál gyülekező lények csak akkor juthatnak fel a hegyre, ha lábaik számának legalább felére speciális mászócipőt húznak. Tudván, hogy mászócipő csak lábon hordva juthat fel a hegyre és onnan vissza, legalább hány cipő szükséges a konferencia résztvevőinek a feljutáshoz?

Javasolta: Mészáros Gábor (Kemence)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4374. Egy 5 cm élhosszúságú kocka alakú sajt közepén ül Pacworm, a sajtkukac. A sajtot úgy rágja meg, hogy mindig egyszerre 1 cm-t halad valamelyik éllel párhuzamosan, majd irányt vált figyelve arra, hogy amikor elindul az új irányba, akkor több mint 1 cm vastagságú érintetlen sajtréteg legyen előtte. Feltéve, hogy mind elindulásnál, mind irányváltásnál a sajtkukac a lehetséges irányok közül ugyanakkora valószínűséggel választ ki egyet, mekkora a valószínűsége annak, hogy 5 cm megtétele után valamelyik éltől legfeljebb 0,8 cm távolságra lesz?

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4375. Legyen egy derékszögű háromszög két befogója a és b, valamint a c átfogóhoz tartozó magasság m. Melyik a nagyobb a következő szakaszok közül: a+b vagy m+c?

Javasolta: Székely Péter (Budapest)

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4376. Igazoljuk, hogy ha x, y nemnegatív számok, akkor


x^4 + y^3 + x^2 + y + 1 >\frac{9}{2}xy.

Javasolta: Szoldatics József (Dunakeszi)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4377. Az ABC háromszög oldalaira kifelé megszerkesztjük az ABD, BCE, CAF szabályos háromszögeket. Legyenek a DE, EF, FD szakaszok felezőpontjai rendre G, HI. Igazoljuk, hogy BG=CH=IA.

Javasolta: Miklós Szilárd (Herceghalom)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4378. Legyen p pozitív prímszám. Oldjuk meg az egész számok halmazán az

x3y3+x3y2-x2y3+x2y2-x+y=p+2

egyenletet.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4379. Szerkesszük meg a nem egyenlő szárú háromszöget, ha adottak a külső szögfelezőknek a körülírt körrel vett, csúcsoktól különböző metszéspontjai.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4380. Egy konvex k-szög oldalain felveszünk m pontot úgy, hogy az így kapott n=k+m elemű \mathcal{P} ponthalmaz középpontosan szimmetrikus alakzat legyen. Igazoljuk, hogy a \mathcal{P} pontjai által meghatározott \binom{n}{2} szakasz között legfeljebb 2n-3 lehet ugyanolyan hosszú. Mely \mathcal{P} halmazok esetén található 2n-3 darab ugyanolyan hosszú szakasz?

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4381. Adott három, páronként kitérő egyenes. Hol helyezkedhet el a középpontja egy olyan paralelepipedonnak, amelynek az egyenesek mindegyikére illeszkedik éle?

(4 pont)

megoldás, statisztika


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2011. október 10-én LEJÁRT.


A. 539. Keressük meg azokat a p\ge3 prímszámokat, amelyekre 1+k(p-1) minden 1\le k\le\frac{p-1}2 egész számra prím.

Kolmogorov kupa, 2010

(5 pont)

megoldás, statisztika


A. 540. Az A1A2A3 nem szabályos háromszög magasságpontja M, Feuerbach-pontja F, körülírt köre k. Minden egyes i=1,2,3-ra legyen ki az a kör, ami belülröl érinti k-t, továbbá érinti az AiAi+1 és AiAi+2 oldalakat (Az indexet modulo 3 értjük, tehát A4=A1 és A5=A2.) A k és a ki körök érintési pontját jelöljük Ti-vel. Bizonyítsuk be, hogy az A1T1, A2T2, A3T3 és MF egyenesek egy ponton mennek át.

(A Feuerbach-pont az a pont, ahol a háromszög Feuerbach-köre és beírt köre érintik egymást.)

Javasolta: Damásdi Gábor és Mester Márton (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika


A. 541. A H halmaz elemei olyan véges sorozatok, amelyek elemei 1, 2 és 3 közül kerülnek ki, továbbá egyik H-beli sorozat sem részsorozata egyetlen másik H-beli sorozatnak sem. Igazoljuk, hogy H véges. (Az (a_1,\ldots,a_n) sorozat részsorozatai az (ai1,...,aik) alakú sorozatok, ahol 0\lek\len és i_1<\ldots<i_k.)

Javasolta: Pongrácz András (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley