A KöMaL 2024. márciusi matematika feladatai

K-jelű feladatok A beküldési határidő 2024. április 10-én LEJÁRT.

---

K. 804. Egy focimérkőzés végeredménye \(\displaystyle 4:3\) lett a hazai csapat javára. Hányféleképpen alakulhatott ki ez a végeredmény, ha volt olyan időszaka a mérkőzésnek, amikor a vendégcsapat vezetett?

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

K. 805. Rajzoljunk egy kis szabályos háromszöget, majd a következő ábrán ezt a háromszöget rakjuk körbe ugyanilyen kis háromszögekkel egy rétegben úgy, hogy egy nagyobb szabályos háromszöget kapjunk, majd ezt a második háromszöget is rakjuk körbe kis szabályos háromszögekkel úgy, hogy egy nagyobb szabályos háromszöget kapjunk, és így tovább.

\(\displaystyle a)\) Hány kis háromszögből áll a huszadik ilyen háromszög?

\(\displaystyle b)\) Hány kis háromszögből áll az \(\displaystyle n\)-edik ilyen háromszög?

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

K. 806. Gizinek a \(\displaystyle {\dfrac{4}{x-2}>5}\) egyenlőtlenséget kellett volna megoldania. A megoldás során azonban az 5 helyett egy másik pozitív egész számot írt, így – helyes lépések után – az általa kapott megoldás \(\displaystyle 2<x<4\) lett. Milyen pozitív egész számot írt az \(\displaystyle 5\) helyett?

(5 pont)

megoldás, statisztika

K/C-jelű feladatok A beküldési határidő 2024. április 10-én LEJÁRT.

---

K/C. 807. Hányféleképpen színezhetünk ki egy \(\displaystyle 3\times3\)-as rózsaszín táblán három mezőt zöldre, ha azokat a színezéseket nem tekintjük különbözőnek, amelyek tükrözéssel vagy elforgatással egymásba vihetőek?

Javasolta: Fried Katalin (Budapest), Korándi József (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

K/C. 808. Egy valós szám és reciproka összegének négyzete \(\displaystyle 5\).

\(\displaystyle a)\) Határozzuk meg a szám négyzetének és négyzete reciprokának összegét a szám kiszámítása nélkül.

\(\displaystyle b)\) Határozzuk meg a szám köbének és köbe reciprokának összegét a szám kiszámítása nélkül.

(5 pont)

megoldás, statisztika

C-jelű feladatok A beküldési határidő 2024. április 10-én LEJÁRT.

---

C. 1803. Hány olyan pozitív egész számokból álló számhármas van, amelyben a három szám legnagyobb közös osztója \(\displaystyle 4\), legkisebb közös többszöröse pedig \(\displaystyle 2024\)?

Javasolta: Kozma Katalin Abigél (Győr)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1804. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CA\), \(\displaystyle AB\) oldalainak felezőpontja rendre \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\), \(\displaystyle F\). Az \(\displaystyle AFE\), \(\displaystyle BDF\), \(\displaystyle CED\) háromszögek beírt köreinek középpontja rendre \(\displaystyle K_a\), \(\displaystyle K_b\), \(\displaystyle K_c\). Bizonyítsuk be, hogy a \(\displaystyle K_aFDE\), \(\displaystyle K_bDEF\) és \(\displaystyle K_cEFD\) négyszögek területének összege az \(\displaystyle ABC\) háromszög területével egyenlő.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1805. Oldjuk meg a \(\displaystyle \dfrac{6x-3}{3x}-\bigl(3y^2-14xy+8x\bigr)^2=x\) egyenletet, ha \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) pozitív valós számok.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1806. Egy okostelefon banki applikációja a belépéshez négyjegyű PIN-kódot kér, de biztonsági okokból mindig véletlenszerűen osztja ki a számjegyeket az ábrán látható billentyűhelyekre úgy, hogy minden lehetséges kiosztás valószínűsége azonos. (Egy lehetséges kiosztás szerepel az ábrán.) Ha négy különböző számjegyből áll a PIN-kódunk, akkor mekkora a valószínűsége annak, hogy két belépés során ugyanazokban a pozíciókban hagyunk ujjlenyomatot?

Javasolta: Gáspár Merse Előd (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1807. Legyen \(\displaystyle ABC\) egy olyan háromszög, amelyben igaz, hogy \(\displaystyle 2\beta=3\gamma\). Legyenek a \(\displaystyle D\) és az \(\displaystyle E\) az \(\displaystyle AC\) oldal pontjai úgy, hogy \(\displaystyle BD\) és \(\displaystyle BE\) a \(\displaystyle \beta\) szöget harmadolják, és a \(\displaystyle D\) pont az \(\displaystyle A\) és az \(\displaystyle E\) közé essen. Továbbá \(\displaystyle F\) legyen az \(\displaystyle AB\) oldal és a \(\displaystyle \gamma\) szögfelezőjének metszéspontja. Igazoljuk, hogy \(\displaystyle BE\) és \(\displaystyle DF\) párhuzamosak.

Svájci versenyfeladat

(5 pont)

megoldás, statisztika

B-jelű feladatok A beküldési határidő 2024. április 10-én LEJÁRT.

---

B. 5374. Az \(\displaystyle AB\) szakasz egyik oldalára megrajzoltuk az \(\displaystyle ABCD\) négyzetet, a másik oldalára pedig a \(\displaystyle BAEF\) rombuszt. A négyzet középpontja legyen \(\displaystyle K\), a rombuszé \(\displaystyle M\). Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle KM\) felezi az \(\displaystyle AMB\) szöget.

Javasolta: Vígh Viktor (Sándorfalva)

(3 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5375. Oldjuk meg a nemnegatív egész számpárok halmazán az \(\displaystyle (m-k)^{2}=m+k\) egyenletet.

Javasolta: Németh László (Fonyód)

(4 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5376. Tekintsük a pozitív egész \(\displaystyle n\) számot, és osszuk el maradékosan az összes nála kisebb pozitív egésszel. Jelölje \(\displaystyle f(n)\) az osztás során fellépő osztási maradékok összegét. (Például \(\displaystyle n=5\) esetén a maradékok \(\displaystyle 1\)-gyel, \(\displaystyle 2\)-vel, \(\displaystyle 3\)-mal és \(\displaystyle 4\)-gyel osztva rendre: \(\displaystyle 0\), \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\) és \(\displaystyle 1\), azaz \(\displaystyle f(5)=4\).)

Oldjuk meg az \(\displaystyle f(n)=n\) egyenletet.

Javasolta: Sztranyák Attila (Budapest)

(4 pont)

megoldás

---

B. 5377. Határozzuk meg azoknak a \(\displaystyle p\) valós számoknak a halmazát, amelyekre

\(\displaystyle \sqrt{a^2+b^2-ab}+ \sqrt{b^2+c^2-bc}\geq \sqrt{a^2+c^2-p\cdot ac} \)

teljesül minden pozitív valós \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) számhármas esetén, ahol a kifejezések értelmezve vannak.

Javasolta: Nagy Zoltán Lóránt (Budapest)

(4 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5378. Legyenek \(\displaystyle n\) és \(\displaystyle k\) pozitív egész számok. Bizonyítsuk be, hogy ha \(\displaystyle n \leq k^{11}\), akkor \(\displaystyle n\) felírható tíz olyan pozitív egész szám szorzataként, melyek közt nincs \(\displaystyle k^2\)-nél nagyobb összetett szám.

Javasolta: Pach Péter Pál (Budapest)

(5 pont)

megoldás

---

B. 5379. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle C\) csúcsánál derékszög van. A \(\displaystyle C\)-ből induló magasságvonal és szögfelező talppontja az \(\displaystyle AB\) átfogón \(\displaystyle H\), illetve \(\displaystyle D\). Az \(\displaystyle AHC\) szög felezője az \(\displaystyle AC\) oldalt az \(\displaystyle E\), a \(\displaystyle CHB\) szög szögfelezője pedig a \(\displaystyle BC\) oldalt az \(\displaystyle F\) pontban metszi. Jelöljük ki a \(\displaystyle HE\) szakaszon az \(\displaystyle M\), a \(\displaystyle HF\) szakaszon pedig az \(\displaystyle N\) pontot úgy, hogy \(\displaystyle HM: HE= HN : HF\) teljesüljön. Mutassuk meg, hogy a \(\displaystyle CD\), \(\displaystyle AM\) és \(\displaystyle BN\) egyenesek egy ponton mennek át.

Javasolta: Nguyen Duy Khanh (Vietnám)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5380. Legalább hányadfokú az \(\displaystyle f\) egyváltozós polinomfüggvény, ha értékkészlete különbözik \(\displaystyle f\circ f\) értékkészletétől, de \(\displaystyle f\circ f\) és \(\displaystyle f\circ f\circ f\) értékkészlete megegyezik? (A \(\displaystyle \circ\) a függvénykompozíció műveletét jelöli.)

Javasolta: Hujter Bálint (Budapest)

(6 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5381. Adott az \(\displaystyle \Omega_1\) körbe írt \(\displaystyle ABCDEFGH\) nyolcszög, és \(\displaystyle \Omega_1\) belsejében az \(\displaystyle \Omega_2\) kör. Tegyük fel, hogy az \(\displaystyle \omega_1\), \(\displaystyle \omega_2\), \(\displaystyle \omega_3\), \(\displaystyle \omega_4\) körök kívülről érintik \(\displaystyle \Omega_2\)-t, továbbá \(\displaystyle \omega_1\) belülről érinti az \(\displaystyle \Omega_1\) kör \(\displaystyle AB\) ívét, az \(\displaystyle AF\) és a \(\displaystyle BE\) szakaszt; \(\displaystyle \omega_2\) belülről érinti a \(\displaystyle CD\) ívet, a \(\displaystyle CH\) és a \(\displaystyle DG\) szakaszt; \(\displaystyle \omega_3\) belülről érinti az \(\displaystyle EF\) ívet, az \(\displaystyle AF\) és a \(\displaystyle BE\) szakaszt; végül \(\displaystyle \omega_4\) belülről érinti a \(\displaystyle GH\) ívet, a \(\displaystyle CH\) és a \(\displaystyle DG\) szakaszt az ábra szerint. Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle AF\), \(\displaystyle BE\), \(\displaystyle CH\) és \(\displaystyle DG\) szakaszok által bezárt négyszögbe kört lehet írni.

Javasolta: Kós Géza (Budapest)

(6 pont)

megoldás

A-jelű feladatok A beküldési határidő 2024. április 10-én LEJÁRT.

---

A. 875. \(\displaystyle a)\) Két játékos egy kooperatív játékot játszik. A játék előtt megbeszélhetnek egy stratégiát, de a kezdés után nem beszélhetnek, és nem tudnak egymásról semmit. A játékvezető minden kör előtt szabadon dönt, hogy abban a körben melyik játékos következzen. Egy körben a soron lévő játékos megtippelheti, hogy hányadik kör van. A játékos tudja, hogy ez hányadik kör, amikor őt választotta a játékvezető, de semmit nem tud arról, hogy a másik játékos hányszor került sorra. Ha helyes a tipp, akkor kapnak egy pontot. A játékosok arról sem kapnak visszajelzést, hogy szereztek-e pontot. A játékosok akkor nyernek, ha összegyűjtöttek 100 pontot. Létezik-e olyan stratégia, amellyel biztosan nyernek véges sok körön belül?

\(\displaystyle b)\) Mi a helyzet akkor, ha a többi feltételt nem változtatva a játékosok a körükben kettőt is tippelhetnek, és ha valamelyik tippük helyes, akkor kapnak egy pontot?

Javasolta: Szűcs Gábor, (Budapest)

(7 pont)

megoldás

---

A. 876. Keressük meg az összes \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) nemnegatív egész számot, amelyekre \(\displaystyle {5^a+6=31^b}\) teljesül.

Javasolta: Füredi Erik (Budapest)

(7 pont)

megoldás, statisztika

---

A. 877. Az \(\displaystyle ABCD\) konvex érintőnégyszög beírt köre \(\displaystyle \omega\). \(\displaystyle \omega\) egyik \(\displaystyle AC\)-vel párhuzamos érintője a \(\displaystyle BD\) átlót a körön kívül lévő \(\displaystyle P\) pontban metszi. A \(\displaystyle P\) pontból az \(\displaystyle \omega\)-hoz húzott másik érintő \(\displaystyle \omega\)-t a \(\displaystyle T\) pontban érinti. Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle \omega\) és az \(\displaystyle ATC\) háromszög körülírt köre érintik egymást.

Javasolta: Nikolai Beluhov (Bulgária)

(7 pont)

megoldás, statisztika