Az A. 463. feladat (2008. október)

A. 463. Legyenek a₁<a₂<...<a_n és b₁<b₂<...<b_n valós számok. Mutassuk meg, hogy

$\det\left(\matrix{ e^{a_1b_1} & e^{a_1b_2} & \dots & e^{a_1b_n} \cr e^{a_2b_1} & e^{a_2b_2} & \dots & e^{a_2b_n} \cr \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \cr e^{a_nb_1} & e^{a_nb_2} & \dots & e^{a_nb_n} \cr} \right) >0.$

(5 pont)

A beküldési határidő 2008. november 17-én LEJÁRT.

Megoldásvázlat. n szerinti indukcióval bizonyítunk. Az n=1 esetben az álítás e^a₁b₁>0, ami triviális. Legyen tehát n>1, és tegyük fel, hogy az állítás igaz kisebb n-ekre.

Legyen c_i=a_i-a₁>0. Ekkor

$\det\left(\matrix{ e^{a_1b_1} & e^{a_1b_2} & \dots & e^{a_1b_n} \\ e^{a_2b_1} & e^{a_2b_2} & \dots & e^{a_2b_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ e^{a_nb_1} & e^{a_nb_2} & \dots & e^{a_nb_n} \\ }\right)= \det\left(\matrix{ e^{a_1b_1} & e^{a_1b_2} & \dots & e^{a_1b_n} \\ e^{a_1b_1}e^{c_2b_1} & e^{a_1b_2}e^{c_2b_2} & \dots & e^{a_1b_n}e^{c_2b_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ e^{a_1b_1}e^{c_nb_1} & e^{a_1b_2}e^{c_nb_2} & \dots & e^{a_1b_n}e^{c_nb_n} \\ }\right) =$

$= e^{a_1(b_1+b_2+\dots+b_n)} \det\left(\matrix{ 1 & 1 & \dots & 1 \\ e^{c_2b_1} & e^{c_2b_2} & \dots & e^{c_2b_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ e^{c_nb_1} & e^{c_nb_2} & \dots & e^{c_nb_n} \\ }\right),$

és elég azt igazolni, hogy az utolsó deternimáns pozitív.

Hogy elimináljuk az első sort, vonjuk ki az (n-1)-edik oszopot az n-edik oszlopból. Utána vonjuk ki az (n-2)-edik oszlopot az (n-1)-edik oszlopból, ..., végül vonjuk ki az első oszlopot a másokiból:

$\det\left(\matrix{ 1 & 1 & \dots & 1 \\ e^{c_2b_1} & e^{c_2b_2} & \dots & e^{c_2b_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ e^{c_nb_1} & e^{c_nb_2} & \dots & e^{c_nb_n} \\ }\right)=$

$= \det\left(\matrix{ 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ e^{c_2b_1} & e^{c_2b_2}-e^{c_2b_1} & e^{c_2b_3}-e^{c_2b_2} & \dots & e^{c_2b_n}-e^{c_2b_{n-1}} \cr e^{c_3b_1} & e^{c_3b_2}-e^{c_3b_1} & e^{c_3b_3}-e^{c_3b_2} & \dots & e^{c_3b_n}-e^{c_3b_{n-1}} \cr \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \cr e^{c_nb_1} & e^{c_nb_2}-e^{c_nb_1} & e^{c_nb_3}-e^{c_nb_2} & \dots & e^{c_nb_n}-e^{c_nb_{n-1}} \cr }\right) =$

$= \det\left(\matrix{ e^{c_2b_2}-e^{c_2b_1} & e^{c_2b_3}-e^{c_2b_2} & \dots & e^{c_2b_n}-e^{c_2b_{n-1}} \cr e^{c_3b_2}-e^{c_3b_1} & e^{c_3b_3}-e^{c_3b_2} & \dots & e^{c_3b_n}-e^{c_3b_{n-1}} \cr \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \cr e^{c_nb_2}-e^{c_nb_1} & e^{c_nb_3}-e^{c_nb_2} & \dots & e^{c_nb_n}-e^{c_nb_{n-1}} \cr }\right).$

Tekintsük az

$f(t)=\det\left(\matrix{ e^{c_2t} & e^{c_2b_3}-e^{c_2b_2} & \dots & e^{c_2b_n}-e^{c_2b_{n-1}} \cr e^{c_3t} & e^{c_3b_3}-e^{c_3b_2} & \dots & e^{c_3b_n}-e^{c_3b_{n-1}} \cr \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \cr e^{c_nt} & e^{c_nb_3}-e^{c_nb_2} & \dots & e^{c_nb_n}-e^{c_nb_{n-1}} \cr }\right)$

függvényt:

$\det\left(\matrix{ e^{c_2b_2}-e^{c_2b_1} & e^{c_2b_3}-e^{c_2b_2} & \dots & e^{c_2b_n}-e^{c_2b_{n-1}} \cr e^{c_3b_2}-e^{c_3b_1} & e^{c_3b_3}-e^{c_3b_2} & \dots & e^{c_3b_n}-e^{c_3b_{n-1}} \cr \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \cr e^{c_nb_2}-e^{c_nb_1} & e^{c_nb_3}-e^{c_nb_2} & \dots & e^{c_nb_n}-e^{c_nb_{n-1}} \cr }\right)=f(b_2)-f(b_1).$

A Lagrange-középértékből kapjuk, hogy, hogy létezik olyan b₁<x₁<b₂ szám, amire f(b₂)-f(b₁)=(b₂-b₁)f'(x₁), azaz

$= (b_2-b_1)\det\left(\matrix{ c_2e^{c_2x_1} & e^{c_2b_3}-e^{c_2b_2} & \dots & e^{c_2b_n}-e^{c_2b_{n-1}} \cr c_3e^{c_3x_1} & e^{c_3b_3}-e^{c_3b_2} & \dots & e^{c_3b_n}-e^{c_3b_{n-1}} \cr \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \cr c_ne^{c_nx_1} & e^{c_nb_3}-e^{c_nb_2} & \dots & e^{c_nb_n}-e^{c_nb_{n-1}} \cr }\right).$

Megismételve ezt minden oszlopra, azt kapjuk, hogy alkalmas x_i $\in$ (b_i,b_i+1) (1 $\le$ i $\le$ n-1) számokra

$= \prod_{i=1}^{n-1}(b_{i+1}-b_i)\cdot \det\left(\matrix{ c_2e^{c_2x_1} & c_2e^{c_2x_2} & \dots & c_2e^{c_2x_{n-1}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_ne^{c_nx_1} & c_ne^{c_nx_2} & \dots & c_ne^{c_nx_{n-1}} \\ }\right)=$

$= \prod_{i=1}^{n-1}(b_{i+1}-b_i)\cdot \prod_{i=2}^nc_i\cdot \det\left(\matrix{ e^{c_2x_1} & e^{c_2x_2} & \dots & e^{c_2x_{n-1}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ e^{c_nx_1} & e^{c_nx_2} & \dots & e^{c_nx_{n-1}} \\ }\right).$

Az indukciós feltevés szerint ez pozitív.

Megjegyzés. A Lagrange-középértéktételre valójában nincs szükség, elég annyi, hogy a derivált pozitív.

Statisztika:

4 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: Nagy 235 János, Nagy 314 Dániel, Tomon István.

1 pontot kapott: 1 versenyző.

A KöMaL 2008. októberi matematika feladatai

4 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Nagy 235 János, Nagy 314 Dániel, Tomon István.
1 pontot kapott:	1 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?