Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Az A. 551. feladat (2012. január)

A. 551. Mutassuk meg, hogy végtelen sok olyan, pozitív egészekből álló (a,b) pár létezik, amire ab+1 osztható (a+b)-vel, ab-1 osztható (a-b)-vel, b>1 és {a>b\sqrt3-1}.

(Megjegyzés. A nyomtatott számban feladat szövegéből kimaradt a b>1 feltétel.)

(5 pont)

A beküldési határidő 2012. február 10-én LEJÁRT.


Megoldásvázlat. Az A. 545. feladat megoldása alapján olyan a,b pozitív egészeket érdemes keresni, amikre

a2-3b2=-2.(1)

Ha az (a,b) pár megoldása (1)-nek, akkor a és b azonos paritásúak (sőt, mindkettő páratlan),

ab+1 = ab+\frac{3b^2-a^2}2 = (a+b)\frac{3b-a}2, tehát a+b|ab+1,

továbbá

ab-1 = ab-\frac{3b^2-a^2}2 = (a-b)\frac{a+3b}2, tehát a-b|ab-1;

végül

\sqrt3 b = \sqrt{a^2+2} < \sqrt{a^2+2a+1} = a+1, tehát a>\sqrt3b-1.

Az (1) Pell-típusú egyenletnek végtelen sok pozitív egész megoldása van, ezeket a következő alakban kaphatjuk meg:


a_n\pm b_n\sqrt3 = \big(1\pm \sqrt3\big)\cdot\big(2\pm \sqrt3\big)^n,


\matrix{
a_n = \dfrac{
\big(1+\sqrt3\big)\cdot\big(2+\sqrt3\big)^n+
\big(1-\sqrt3\big)\cdot\big(2-\sqrt3\big)^n}2, & \cr
b_n = \dfrac{
\big(1+\sqrt3\big)\cdot\big(2+\sqrt3\big)^n-
\big(1-\sqrt3\big)\cdot\big(2-\sqrt3\big)^n}{2\sqrt3}
& (n=0,1,2,\ldots).}

(Ugyanezeket kaphatjuk az a0=b0=1, an+1=2an+3bn, bn+1=an+2bn rekurzióból.)

n\ge1 esetén bn>1.


Statisztika:

7 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Ágoston Tamás, Gyarmati Máté, Janzer Olivér, Mester Márton, Omer Cerrahoglu, Strenner Péter, Szabó 789 Barnabás.

A KöMaL 2012. januári matematika feladatai