Az A. 594. feladat (2013. szeptember)

A. 594. Az ABCD konvex érintőnégyszögbe írt kör az AB és BC oldalakat az E, illetve az F pontban érinti. Az AC átló a beírt kört a P és a Q pontban metszi; a Q pont az A és a P pontok között helyezkedik el. Mutassuk meg, hogy a BD, EP és FQ egyenesek egy ponton mennek át.

(5 pont)

A beküldési határidő 2013. október 10-én LEJÁRT.

1. megoldás (vázlat) A feladatot projektív geometriai eszközökkel oldjuk meg; felhasználjuk a körre vonatkozó polaritás néhány jól ismert tulajdonságát. (Ld. pl. itt, itt vagy itt.)

Legyen G és H a beírt kör érintési pontja a CD, illetve a DA oldalon. Messe a beírt kör a BD átlót az R és az S pontban (BR<BS), továbbá legyen O az EG és az FH szakasz metszéspontja. Jól ismert, hogy az AC, BD, EG és FH egyenesek egy ponton mennek át, tehát AC és BD is átmegy O-n.

Legyen X és Y a BD, illetve az AC egyenesnek a beírt körre vonatkozó pólusa. Szintén ismert, hogy az AC és BD egyensek konjugáltak, azaz átmennek egymás pólusán: X az AC, Y pedig a BD egyenesen van.

Mivel Y polárisa az AQPC egyenes, az YP és YQ szakaszok az Y pontból a beírt körhöz húzott érintők; hasonlóképpen, XR és XS az X pontból húzott érintők. Az A és Y pontok konjugáltak, mert A rajta van az Y pont AC polárisán, ezért Y is rajta van A polárisán, ami az EH egyenes. Tehát E,H,Y egy egyenesen van. Hasonlóan láthatjuk, hogy az F,G,Y, az E,F,X, iletve a G,H,X pontok egy egyenesen vannak.

Legyen U az AB és YQ, V pedig a BC és YP egyenesek metszéspontja. A BUYV érintőnégyszögben is igaz, hogy a BY és UV átlók, továbbá a szemközti érintési pontokat összekötő EP és FQ egyenesek egy ponton mennek át. (Az is igaz, hogy az UV egyenes átmegy X-en.)

2. megoldás (vázlat) Legyen ismét G és H a beírt kör érintési pontja a CD, illetve a DA oldalon, és legyen O az EG és az FH szakasz metszéspontja. Az O pont a kör belsejében van.

Ismert, hogy az ábrát lehetséges középpontosan egy másik síkra vetíteni úgy, hogy a beírt kör képe kör legyen, az O pont O' képe pedig a vetített kör középpontja. (A részletes bizonyítást ld. pl. Reiman István: Geometria és határterületei [1999], 384-387. old.).

Az X pont képét X'-szel jelölve, az A'B'C'D' négyszögben E'G' és F'H' a beírt kör átmérői, következésképp A'B'C'D' egy rombusz. Az E'P' és F'H' szakaszok szimmetrikusak a rombusz B'D' átlójára, ezért metszéspontjuk az átlón van.

Az eredeti síkra visszavetítve kapjuk, hogy EP, FQ és BD egy ponton megy át.

Statisztika:

15 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Fehér Zsombor, Herczeg József, Homonnay Bálint, Ioan Laurentiu Ploscaru, Janzer Barnabás, Kabos Eszter, Machó Bónis, Maga Balázs, Petrényi Márk, Simon 047 Péter, Szabó 789 Barnabás, Szőke Tamás, Williams Kada.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2013. szeptemberi matematika feladatai