A B. 4067. feladat (2008. február)

B. 4067. Egy k kerületű háromszög AB, BC, CA oldalaira állítsunk merőlegest rendre az A, B, C csúcsaiban. Az ezek által határolt új háromszög kerületét jelölje K. Bizonyítsuk be, hogy

$\frac{K}{k}= \mathop{\rm ctg}\alpha+ \mathop{\rm ctg}\beta+ \mathop{\rm ctg}\gamma,$

ahol $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ az ABC háromszög szögei.

(3 pont)

A beküldési határidő 2008. március 17-én LEJÁRT.

Megoldás: Az új háromszög csúcsait jelölje az ábrán látható módon A',B',C'. Mivel a szerkesztés során merőleges szárú szögek lépnek fel, az A'B'C' háromszög hasonló az eredeti ABC háromszöghöz. Ábránk ezt a hegyesszögű esetben szemlélteti, de könnyen ellenőrizhető, hogy ez mindig így lesz. Azt kell tehát csak megmutatnunk, hogy a hasonlóság aránya ctg $\alpha$ +ctg $\beta$ +ctg $\gamma$ .

Feltehetjük, hogy $\beta$ , $\gamma$ <90^o, ekkor a B csúcs az ábrán látható módon elválasztja a B' és C' pontokat, vagyis

$B'C'=BB'+BC'=\frac{c}{\sin\beta}+a\rm{ctg}\gamma.$

Azt szeretnénk megmutatni, hogy B'C'=a(ctg $\alpha$ +ctg $\beta$ +ctg $\gamma$ ). A fenti összefüggés és a szinusz-tétel alapján ez azzal ekvivalens, hogy

$\frac{\sin\gamma}{\sin\beta}=\sin{\alpha}(\rm{ctg}\alpha+ \rm{ctg}\beta).$

Ha sin $\beta$ -val felszorzunk, akkor az ezzel egyenértékű

sin $\gamma$ =sin $\beta$ cos $\alpha$ +sin $\alpha$ cos $\beta$

összefüggésre jutunk, ami pedig nyilván teljesül, hiszen sin $\gamma$ =sin (180^o- $\alpha$ - $\beta$ )=sin ( $\alpha$ + $\beta$ ).

Statisztika:

52 dolgozat érkezett.

3 pontot kapott: Aczél Gergely, Ágoston Tamás, Anda Roland, Balázs Barbara Anna, Balla Attila, Bencs 111 Ferenc, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Csere Kálmán, Deák Zsolt, Eckert János, Farkas Márton, Fonyó Dávid, Földi Sándor, Fukker Gábor, Gyurcsik Judit, Héricz Dalma, Hursán Zsófia, Huszár Kristóf, Kiss 902 Melinda Flóra, Kovács 235 Gábor, Lenger Dániel, Lovas Lia Izabella, Marák Károly, Mészáros András, Mihálykó Ágnes, Müller Márk, Nagy Róbert, Nguyen Sy Bang, Paripás Viktor, Peregi Tamás, Petróczy Dóra Gréta, Réti Dávid, Salát Zsófia, Szabó 895 Dávid, Szalai Szilárd, Szalkai Balázs, Szegedy Lóránt, Szepesvári Dávid, Szórádi Márk, Ta Phuong Linh, Vajk Dóra, Varju 105 Tamás, Wagner Zsolt, Weisz Ágoston, Welsz Edit, Zieger Milán, Zsupanek Alexandra.

2 pontot kapott: Bartha Éva Lili.

1 pontot kapott: 3 versenyző.

A KöMaL 2008. februári matematika feladatai

52 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	Aczél Gergely, Ágoston Tamás, Anda Roland, Balázs Barbara Anna, Balla Attila, Bencs 111 Ferenc, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Csere Kálmán, Deák Zsolt, Eckert János, Farkas Márton, Fonyó Dávid, Földi Sándor, Fukker Gábor, Gyurcsik Judit, Héricz Dalma, Hursán Zsófia, Huszár Kristóf, Kiss 902 Melinda Flóra, Kovács 235 Gábor, Lenger Dániel, Lovas Lia Izabella, Marák Károly, Mészáros András, Mihálykó Ágnes, Müller Márk, Nagy Róbert, Nguyen Sy Bang, Paripás Viktor, Peregi Tamás, Petróczy Dóra Gréta, Réti Dávid, Salát Zsófia, Szabó 895 Dávid, Szalai Szilárd, Szalkai Balázs, Szegedy Lóránt, Szepesvári Dávid, Szórádi Márk, Ta Phuong Linh, Vajk Dóra, Varju 105 Tamás, Wagner Zsolt, Weisz Ágoston, Welsz Edit, Zieger Milán, Zsupanek Alexandra.
2 pontot kapott:	Bartha Éva Lili.
1 pontot kapott:	3 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?