Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4616. feladat (2014. március)

B. 4616. Mely \(\displaystyle n\)-ekre adnak az \(\displaystyle 1!,2!, \ldots, n!\) számok páronként különböző maradékot \(\displaystyle n\)-nel osztva?

(4 pont)

A beküldési határidő 2014. április 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Ha \(\displaystyle n=1, 2\) vagy \(\displaystyle 3\), akkor könnyen ellenőrizhető, hogy különböző maradékot adnak. Ha \(\displaystyle n=4\), akkor \(\displaystyle 2!=2\) és \(\displaystyle 3!=6\) azonos maradékot adnak 4-gyel osztva, azaz \(\displaystyle n=4\) nem felel meg a feltételnek. Belátjuk, hogy ha \(\displaystyle 4<n\) összetett szám, akkor \(\displaystyle n|(n-1)!\). Ha az \(\displaystyle n\) szám felírható \(\displaystyle n=ab\) alakban, ahol \(\displaystyle a<b<n\) egészek, akkor \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) is szerepel az \(\displaystyle 1\cdot 2\cdot\dots\cdot (n-1)\) szorzatban, és így \(\displaystyle n|(n-1)!\). Csak akkor nem írható fel ilyen alakban \(\displaystyle n\), ha egy \(\displaystyle p\) prímszám négyzete, de ekkor \(\displaystyle 2p<n=p^2\), hiszen \(\displaystyle n>4\), és ezért \(\displaystyle 2n=p(2p)|(n-1)!\), azaz \(\displaystyle n|(n-1)!\) ekkor is teljesül. Tehát \(\displaystyle (n-1)!\) és \(\displaystyle n!\) azonos maradékot adnak \(\displaystyle n\)-nel osztva, vagyis a \(\displaystyle 4\)-nél nagyobb összetett számok sem felelnek meg a feltételnek. Végül, ha \(\displaystyle n>3\) prímszám, akkor a Wilson tétel miatt \(\displaystyle (n-1)!\equiv -1\ (n)\), és ezért \(\displaystyle (n-2)!\equiv 1\ (n)\), hiszen \(\displaystyle (n-1)!=(n-1)(n-2)!\equiv-(n-2)!\ (n)\). Tehát \(\displaystyle (n-2)!\) és \(\displaystyle 1!\) azonos maradékot adnak \(\displaystyle n\)-nel osztva (de \(\displaystyle 1\ne n-2\)), így a 3-nál nagyobb prímszámok sem megfelelők.

Tehát \(\displaystyle n\) értéke 1, 2 vagy 3 lehet.


Statisztika:

95 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:Andó Angelika, Balogh Menyhért, Baran Zsuzsanna, Bereczki Zoltán, Bősze Zsófia, Cseh Kristóf, Csépai András, Csernák Tamás, Di Giovanni Márk, Dömsödi Bálint, Fekete Panna, Fónai Martin, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Gál Hanna, Gáspár Attila, Geng Máté, Gyulai-Nagy Szuzina, Juhász 326 Dániel, Kovács 246 Benedek, Kovács 972 Márton, Kúsz Ágnes, Leitereg Miklós, Lengyel Ádám, Maga Balázs, Mócsy Miklós, Nagy Kartal, Nagy-György Pál, Nemes György, Petrényi Márk, Sal Kristóf, Schrettner Bálint, Schwarcz Tamás, Szajbély Zsigmond, Szebellédi Márton, Talyigás Gergely, Tompa Tamás Lajos, Tóth Viktor, Vágó Ákos, Williams Kada, Zsakó Ágnes.
3 pontot kapott:22 versenyző.
2 pontot kapott:15 versenyző.
1 pontot kapott:6 versenyző.
0 pontot kapott:11 versenyző.

A KöMaL 2014. márciusi matematika feladatai