A B. 4639. feladat (2014. május)

B. 4639. A \(\displaystyle P\) pont az \(\displaystyle F_1\) és \(\displaystyle F_2\) fókuszpontú \(\displaystyle \mathcal E\) ellipszis olyan külső pontja, amely nincs rajta a nagytengely egyenesén. Legyen a \(\displaystyle PF_1\) szakasz és \(\displaystyle \mathcal E\) metszéspontja \(\displaystyle M_1\), a \(\displaystyle PF_2\) szakasz és \(\displaystyle \mathcal E\) metszéspontja \(\displaystyle M_2\), az \(\displaystyle M_1F_2\) és \(\displaystyle M_2F_1\) egyenesek metszéspontja pedig \(\displaystyle R\). Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle PM_1RM_2\) érintőnégyszög.

Javasolta: Holló Gábor (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha \(\displaystyle PM_1RM_2\) érintőnégyszög, akkor a beírható köre egyúttal az \(\displaystyle F_1M_2P\) háromszögnek és az \(\displaystyle F_2M_1P\) háromszögnek is beírható köre. Vizsgáljik meg, hogy e két háromszögben a beírható kör a \(\displaystyle P\) csúcstól milyen távolságra érinti a \(\displaystyle P\)-n átmenő oldalakat. Ha e két távolság egyenlő, akkor a két kör egybeesik, mert az \(\displaystyle F_1PF_2\) szög szárait a szög csúcsától adott távolságra érintő kör egyértelműen létezik, középpontja a szög száraira az adott távolságban állított merőlegesek metszéspontja, sugara pedig e metszéspontnak a száraktól való távolsága (1. ábra).

1. ábra                                                             2. ábra

Ismert, hogy ha egy háromszög oldalai \(\displaystyle a,b\) és \(\displaystyle c\), akkkor a beírt kör oldalakon lévő érintési pontjainak a csúcsoktól való távolsága rendre \(\displaystyle (a+b-c)/2\), \(\displaystyle (b+c-a)/2\) és \(\displaystyle (c+a-b)/2\). (Ennek bizonyítását a 2. ábra alapján az olvasóra bízzuk, csak annyit kell felhasználni, hogy külső pontból egy körhöz húzott két érintő hossza megegyezik.)

Az \(\displaystyle F_1M_2P\) háromszög beírt köre tehát \(\displaystyle P\)-től \(\displaystyle \frac{PF_1+PM_2-F_1M_2}2\), az \(\displaystyle F_2M_1P\) háromszög beírt köre pedig \(\displaystyle P\)-től \(\displaystyle \frac{PF_2+PM_1-F_2M_1}2\) távolságra érinti az \(\displaystyle F_1PF_2\) szög szárait. Megmutatjuk, hogy e két távolság egyenlő. Ehhez elegendő azt belátnunk, hogy

\(\displaystyle PF_1+PM_2-F_1M_2=PF_2+PM_1-F_2M_1, \)

azaz

\(\displaystyle (PM_1+M_1F_1)+PM_2-F_1M_2=(PM_2+M_2F_2)+PM_1-F_2M_1 \)

teljesül. Ezt rendezve kapjuk, hogy elegendő megmutatnunk az

\(\displaystyle M_1F_1+F_2M_1=M_2F_2+F_1M_2 \)

egyenlőség fennállását, ami viszont azonnal következik abból, hogy \(\displaystyle M_1\) és \(\displaystyle M_2\) rajta vannak az \(\displaystyle F_1\) és \(\displaystyle F_2\) fókuszú \(\displaystyle {\mathcal E}\) ellipszisen.

Tehát az \(\displaystyle F_1M_2P\) és az \(\displaystyle F_2M_1P\) háromszögek beírható körei egybeesnek, így ez a kör érinti a \(\displaystyle PM_1RM_2\) négyszög minden oldalát, ezért \(\displaystyle PM_1RM_2\) érintőnégyszög.

Fekete Panna (Pécs, Leőwey K. Gimn., 11. évf.) dolgozata alapján

Statisztika:

17 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ágoston Péter, Baran Zsuzsanna, Cseh Kristóf, Fekete Panna, Forrás Bence, Geng Máté, Győrfi-Bátori András, Gyulai-Nagy Szuzina, Kúsz Ágnes, Lajkó Kálmán, Nagy-György Pál, Schrettner Bálint, Simkó Irén, Williams Kada.
4 pontot kapott:	Török Tímea.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2014. májusi matematika feladatai