 |
A K. 399. feladat (2013. december) |
K. 399. a) Hány olyan A szám van, amelyre 66, 88 és A legkisebb közös többszöröse 1212?
b) Hány olyan 1000-nél kisebb B szám van, amire 66, 303 és B legnagyobb közös osztója 33?
(6 pont)
A beküldési határidő 2014. január 10-én LEJÁRT.
Megoldás. a) \(\displaystyle 6^{6} = 2^{6} \cdot 3^{6}\) és \(\displaystyle 8^{8} = 2^{24}\), a legkisebb közös többszörös pedig \(\displaystyle 12^{12} = 2^{24} \cdot 3^{12}\), tehát a harmadik általunk keresett számban is csak 2-es és 3-as szorzók lehetnek, mégpedig 12 hármas, mert ez indokolja a legkisebb közös többszörösben is a 12-es kitevőt. A 2 kitevője azonban bármi lehet 0 és 24 között, így az \(\displaystyle A\) szám összesen 25 féle lehet.
b) \(\displaystyle 6^{6} = 2^{6} \cdot 3^{6}\) és \(\displaystyle 30^{3} = 2^{3} \cdot 3^{3} \cdot 5^{3}\), a legnagyobb közös osztó pedig \(\displaystyle 3^{3}\), tehát az általunk keresett számban is szerepelnie kell a 3-nak, mégpedig legalább a harmadik hatványon, viszont nem szerepelhet benne 2-es szorzó, mert akkor a közös osztóban is lennie kéne. Tehát a szám \(\displaystyle 3^{3} \cdot (2k+1)\) alakú, ahol \(\displaystyle 2k+1\) legfeljebb 37, hiszen \(\displaystyle 3^{3} \cdot37=999\). Ez összesen \(\displaystyle \frac{37+1}{2}=19\) darab szám.
Statisztika:
157 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: 53 versenyző. 5 pontot kapott: 42 versenyző. 4 pontot kapott: 28 versenyző. 3 pontot kapott: 18 versenyző. 2 pontot kapott: 6 versenyző. 1 pontot kapott: 3 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző. Nem versenyszerű: 5 dolgozat.
A KöMaL 2013. decemberi matematika feladatai