KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A KöMaL 2016. októberi matematika feladatai

Kérjük, olvassa el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2016. november 10-én LEJÁRT.

A. 677. Határozzuk meg azokat a \(\displaystyle (p,q)\) (pozitív) prímszámokból álló párokat, amelyekre \(\displaystyle p^3+q^3+1\) osztható \(\displaystyle pq\)-val.

(5 pont)

Statisztika

A. 678. A \(\displaystyle \mathcal{K}\) konvex poliédernek öt csúcsa van, \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\), \(\displaystyle D\) és \(\displaystyle E\). A \(\displaystyle DE\) szakasz az \(\displaystyle ABC\) háromszög síkját a háromszög belső pontjában döfi. Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle \mathcal{K}\)-nak akkor és csak akkor van – mind a hat lapot érintő – beírt gömbje, ha az \(\displaystyle ABCD\) és \(\displaystyle ABCE\) tetraéderek beírt gömbjei érintik egymást.

(5 pont)

Statisztika

A. 679. Legyen \(\displaystyle n = 2^{128}\), \(\displaystyle M = \{1, 2, 3, 4\}\), és jelölje \(\displaystyle M^n\) az \(\displaystyle M\) elemeiből készíthető, \(\displaystyle n\) hosszú sorozatok halmazát. Döntsük el, léteznek-e olyan \(\displaystyle f_1,\ldots,f_n\) és \(\displaystyle g_1,\ldots,g_n\colon M^n\to M\) függvények, amelyekre tetszőleges

\(\displaystyle (x_1,\ldots,x_n),(y_1,\ldots,y_n)\in M^n \)

sorozatok esetén a következő állítások közül legalább az egyik teljesül:

\(\displaystyle \bullet\) \(\displaystyle f_i(y_1,\ldots,y_n) = x_i\) valamelyik \(\displaystyle 1\le i\le n\) indexre;

\(\displaystyle \bullet\) \(\displaystyle g_j(x_1,\ldots,x_n) = y_j\) valamelyik \(\displaystyle 1\le j\le n\) indexre.

Javasolta: Gerhard Woeginger (Eindhoven)

(5 pont)

Megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2016. november 10-én LEJÁRT.

B. 4813. Adott egy \(\displaystyle p\) prímszám. Oldjuk meg az egész számok körében a

\(\displaystyle \left|\frac{2}{x}-\frac{1}{y}\right|=\frac{1}{p} \)

egyenletet.

(3 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4814. Adott egy gömb belsejében a \(\displaystyle P\) pont. Tekintsük az \(\displaystyle S_1\), \(\displaystyle S_2\) és \(\displaystyle S_3\) páronként merőleges síkokat, amelyek \(\displaystyle P\)-ben metszik egymást. Mutassuk meg, hogy a síkokból a gömb által kivágott körök területeinek összege nem függ az \(\displaystyle S_1\), \(\displaystyle S_2\) és \(\displaystyle S_3\) választásától.

(Olasz feladat)

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4815. Az egész számok körében értelmezett kétváltozós \(\displaystyle \circ\) műveletre teljesül, hogy tetszőleges \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) egészek esetén

\(\displaystyle a\circ(b+c)=b\circ a+ c\circ a. \)

Mutassuk meg, hogy van olyan \(\displaystyle k\) egész, hogy \(\displaystyle a\circ b= k\cdot a~\cdot b\) minden \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) esetén.

(Olasz feladat)

(5 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4816. Legyen az \(\displaystyle AB\) szakasz felezőpontja \(\displaystyle O\), az \(\displaystyle OB\) szakaszon pedig \(\displaystyle C\) az a pont, amelyre \(\displaystyle \frac{AO}{OC}=\frac{OC}{CB}\). A \(\displaystyle C\) pontban az \(\displaystyle AB\)-re állított merőleges és \(\displaystyle AB\) Thalész-körének egyik metszéspontja \(\displaystyle D\). Az \(\displaystyle AD\) egyenes és az \(\displaystyle O\) középpontú \(\displaystyle OC\) sugarú kör két metszéspontja \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\). Mekkora az \(\displaystyle EOF\) szög?

Javasolta: Miklós Szilárd (Herceghalom)

(3 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4817. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert a valós számok halmazán:

\(\displaystyle x + y + z = xyz = 8,\)

\(\displaystyle \frac 1x- \frac 1y- \frac 1z= \frac 18.\)

Javasolta: Kovács Béla (Szatmárnémeti)

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4818. Az \(\displaystyle ABCD\) húrnégyszög \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle BD\) átlóinak metszéspontja \(\displaystyle M\). A \(\displaystyle CAD\sphericalangle\) és \(\displaystyle ACB\sphericalangle\) szögfelezője az \(\displaystyle ABCD\) húrnégyszög körülírt körét rendre az \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\) pontokban metszik. Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle EF\) egyenes merőleges az \(\displaystyle AMD\) szög felezőjére.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4819. Bizonyítsuk be, hogy ha \(\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}\), akkor

\(\displaystyle {(\tg x)}^{\sin x}+ {(\ctg x)}^{\cos x}\ge 2. \)

Mely \(\displaystyle x\)-ekre teljesül egyenlőség?

(Kvant)

(5 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4820. Egy egységnyi oldalú szabályos háromszögrácson kijelöltünk négy olyan rácspontot, amelyek egy \(\displaystyle \mathcal{P}\) paralelogramma csúcsai; a \(\displaystyle \mathcal{P}\) területe \(\displaystyle \sqrt{3}\) egység. Mekkora lehet a \(\displaystyle \mathcal{P}\) belsejébe eső rácsszakaszok összege?

(6 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4821. Van-e olyan \(\displaystyle a\ge 1\) egész szám, amelyre \(\displaystyle x^2+3\) és \(\displaystyle {(x+a)}^2+3\) relatív prímek bármely pozitív egész \(\displaystyle x\) esetén?

Javasolta: Kovács Dániel

(6 pont)

Megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2016. november 10-én LEJÁRT.

C. 1371. Egy egységnyi oldalú négyzet oldalait osszuk fel \(\displaystyle n\)–\(\displaystyle n\) egyenlő részre, és a szemközti oldalak osztópontjait eggyel elcsúsztatva kössük össze egymással az ábrán látható módon (az ábra az \(\displaystyle n=5\) esetet ábrázolja). Bizonyítsuk be, hogy a keletkező darabokból \(\displaystyle n^2+1\) egybevágó kisebb négyzetet lehet összerakni.

(5 pont)

Ezt a feladatot csak 1-10. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

C. 1372. Egy négyzetet szabályos nyolcszöggé alakítunk úgy, hogy a sarkait megfelelő módon levágjuk. A négyzet kerülete és területe közül melyik csökken nagyobb arányban?

(5 pont)

Ezt a feladatot csak 1-10. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

C. 1373. Az \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) pozitív egész számokra teljesül, hogy az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle 1/a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle 1/b\) hosszúságú szakaszokból egy-egy háromszög szerkeszthető. Bizonyítsuk be, hogy mindkét háromszög egyenlő szárú.

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 1374. Egy deltoid oldalainak hossza 6, illetve 8 cm, a különböző hosszúságú oldalak egymással derékszöget zárnak be. Mekkora a deltoidba írható és a deltoid köré írható körök középpontjainak a távolsága?

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 1375. Számoljuk össze, hány olyan kétjegyű szám van az \(\displaystyle n\) alapú számrendszerben, melyek számjegyeinek összege is kétjegyű (az \(\displaystyle n\)-es számrendszerben). Adjuk meg az eredményt az \(\displaystyle n\) alapú számrendszerben.

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 1376. Az \(\displaystyle x^2+px+q=0\) egyenlet gyökei 0-tól különböző egész számok. Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle p^2+{(q-1)}^2\) összetett szám.

(5 pont)

Ezt a feladatot csak 11-12. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

C. 1377. Egy 20 cm kerületű egyenlő szárú háromszöget az alapja körül megforgatunk. Legfeljebb mekkora lehet az így kapott kettőskúp térfogata?

(5 pont)

Ezt a feladatot csak 11-12. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2016. november 10-én LEJÁRT.

K. 511. Egy kereskedő rendszeresen vásárol baracklekvárt egy üzemtől. Egyik nap vásárolt egy bizonyos mennyiséget, és összesen \(\displaystyle 180\,000~\)Ft-ot fizetett a lekvárért. Egy hónap múlva ismét elment, és látta, hogy jelentős árengedménnyel adják éppen a baracklekvárt: 3 üveg lekvár rendes áráért most 5 üveg lekvárt adnak. A kereskedő annyira megörült ennek, hogy az előző hónapban megvásárolt lekvár­mennyiség négyszeresét vette meg. Mennyit fizetett összesen az árengedményes lekvárokért?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 512. Pisti, Peti és Pali hármasikrek. Egyik nap anyukájukkal sétálva megláttak egy rágógumi-automatát. Az automatában háromféle színű rágó van össze­keverve (piros, sárga és zöld). A gép 100 Ft bedobására kiad egy rágót. A hármas­ikrek ragaszkodtak hozzá, hogy azonos színű rágót kapjanak. Anyukájuk addig dobálta a pénzt a gépbe, amíg a gyerekek kívánságát teljesíteni nem tudta. Összesen négy napon át sétáltak arra, és minden nap ugyanígy vettek rágót. Legfeljebb hány Ft-ot költött el az anyuka, ha mindent megtett azért, hogy a lehető legkevesebbet kelljen költenie?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 513. Az ábra egy sakktáblán elhelyezett néhány sakkbábut ábrázol. Az X-szel jelölt mezőn egy futó, a további nagybetűkkel jelölt mezőkön egy-egy gyalog áll. Üssük le a futóval a gyalogokat egymás után úgy, hogy a futó minden lépése ütés legyen. Adjunk meg a gyalogok betűjelével egy megfelelő sorrendet.

(A feladat a www.sakkpalanta.hu oldalról származik, ahol további hasonló feladványok találhatók.)

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 514. Ha egy kétjegyű szám egyenlő számjegyei összegének hétszeresével, akkor a számjegyek megfordításával kapott szám hányszorosa a számjegyei összegének?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 515. Egy szabályos hatszög határvonalán végighaladva minden oldalát a menetiránynak megfelelő irányba a kétszeresére meghosszabbítjuk, és az így kapott pontokat összekötjük. Hányszorosa az így létrejött hatszög területe az eredeti hatszögének?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 516. Adott két halmaz: \(\displaystyle A = \{a; 2a+1; a^{2}+1\}\); \(\displaystyle B =\{b+3; 10; b-1\}\). Keressünk olyan \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) pozitív egész számokat, amelyekre a két halmaznak

\(\displaystyle a)\) nincs közös eleme;

\(\displaystyle b)\) pontosan 1 eleme közös;

\(\displaystyle c)\) pontosan 2 eleme közös;

\(\displaystyle d)\) minden eleme azonos.

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;

  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:

      KöMaL Szerkesztőség
      Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley