Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Az A. 460. feladat (2008. szeptember)

A. 460. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges, 2n-nél kisebb fokú p(x) polinomra

$|p(n)| \le 2\sqrt{n} \cdot \max\big( |p(0)|, |p(1)|, \ldots, |p(n-1)|, |p(n+1)|, |p(n+2)|, \ldots, |p(2n)| \big).$

(5 pont)

A beküldési határidő 2008. november 17-én LEJÁRT.

Megoldásvázlat. Mint ismert, minden m-nél kisebb fokú p polinomra

$\sum_{k=0}^m (-1)^k \binom{m}{k} p(k) = 0.$

Ezt m=2n-re fogjuk használni.

Továbbá teljes indukcióval igazolható, hogy $\binom{2n}{n}\ge\frac{2^{2n-1}}{\sqrt{n}}$ .

Legyen $M=\max\big(|p(0)|, |p(1)|, \ldots, |p(n-1)|, |p(n+1)|, |p(n+2)|, \ldots, |p(2n)| \big)$ . A háromszög-egyenlőtlenségből

$\binom{2n}{n}|p(n)| = \left| \sum_{0\le k\le2n,~k\ne n} (-1)^k \binom{2n}{k} p(k) \right| \le \sum_{0\le k\le2n,~k\ne n} \binom{2n}{k} |p(k)| \le$

$\le \left(\sum_{0\le k\le2n,~k\ne n} \binom{2n}{k}\right) M = \left(2^{2n}-\binom{2n}{n}\right)M,$

$|p(n)| \le \frac{2^{2n}-\binom{2n}{n}}{\binom{2n}{n}} M= \left(\frac{2^{2n}}{\binom{2n}{n}}-1\right) M \le \left(2\sqrt{n}-1\right)M.$

7 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: Backhausz Tibor, Bodor Bertalan, Nagy 235 János, Nagy 314 Dániel, Tomon István.

0 pontot kapott: 2 versenyző.

7 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Backhausz Tibor, Bodor Bertalan, Nagy 235 János, Nagy 314 Dániel, Tomon István.
0 pontot kapott:	2 versenyző.