Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Az A. 468. feladat (2008. december)

A. 468. Adott két háromszög. Az oldalaik a, b, c, illetve A, B, C; területük t, illetve T. Igazoljuk, hogy

-a2A2+a2B2+a2C2+b2A2-b2B2+b2C2+c2A2+c2B2-c2C2\ge16tT.

(5 pont)

A beküldési határidő 2009. január 15-én LEJÁRT.


Megoldás. Legyen \gamma és \Gamma a két háromszögben a c, illetve C oldallal szemközti szög.

A koszinusztétel szerint a2+b2-c2=2abcos \gamma és A2+B2-C2=2ABsin \Gamma; a két terület pedig t=\frac12ab\sin\gamma és T=\frac12AB\sin\Gamma. Ezeket behelyettesítve,

-a2A2+a2B2+a2C2+b2A2-b2B2+b2C2+c2A2+c2B2-c2C2-16tT=

=2a2B2+2A2b2-(a2+b2-c2)(A2+B2-C2)-16tT=

=2a2B2+2A2b2-4abABcos \gammacos \Gamma-4abABsin \gammasin \Gamma=

=2(aB-Ab)2+4abAB(1-cos (\gamma-\Gamma))\ge0.


Statisztika:

12 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Éles András, Márkus Bence, Nagy 235 János, Nagy 648 Donát, Somogyi Ákos, Tomon István, Tossenberger Anna, Varga 171 László, Wolosz János.
4 pontot kapott:Backhausz Tibor.

A KöMaL 2008. decemberi matematika feladatai