Az A. 497. feladat (2010. január) |
A. 497. Adott a síkon egy hegyesszögű ABC háromszög. A háromszög egy tetszőleges belső P pontjának a BC, CA és AB oldalakra eső vetületeit jelölje A1, B1, illetve C1. A PAC1, PC1B, PBA1, PA1C, PCB1 és PB1A háromszögek beírt köreinek sugarai legyenek rendre 1,2,...,6.
Határozzuk meg azon P pontok mértani helyét, amelyekre
1+3+5=2+4+6.
Javasolta: Vígh Viktor (Szeged)
(5 pont)
A beküldési határidő 2010. február 10-én LEJÁRT.
Megoldásvázlat.
Felhasználjuk azt a jól ismert tényt, hogy ha egy derékszögű háromszög befogóinak hossza a és b, átfogója c, a beírt kör sugara pedig , akkor
(2) |
(2) bizonyítása: Legyenek a háromszög csúcsai P,Q,R, a beírt kör középpontja I, az érintési pontok P1,Q1,R1 az ábra szerint. Az IP1Q1R négyzet oldalainak hossza P1R=Q1R=IP1=IQ1=, és a+b=(PQ1+Q1R)+(QP1+P1R)=(PQ1+QP1)+Q1R+P1R=(PR1+QR1)++=c+2.
Az (1) feltételbe behelyettesítve (2)-t,
1+3+5-2-4-6=
vagyis (1) ekvivalens azzal, hogy
AC1+BA1+CB1-C1B-A1C-B1A=0. | (3) |
Két ilyen pont a háromszögben például a körülírt kör középpontja (amikor AC1=C1B, BA1=A1C és CB1=B1A), illetve a beírt kör középpontja (amikor AC1=B1A, BA1=C1B és CB1=A1C).
Legyen az AB, BC, CA szakaszok felezőpontja rendre C0, A0 és B0, a körülírt kör középpontja O, továbbá legyen , és .
A vektornak az oldalakra eső előjeles vetületeit az u, v, w vektorokkal vett skaláris szorzatai adják meg:
Tehát
AC1+BA1+CB1-C1B-A1C-B1A=
A (3) feltétel tehát ekvivalens azzal, hogy
(4) |
Ha az ABC háromszög szabályos, akkor u+v+w=0. és (4) mindig teljesül.
Ha viszont az ABC háromszög nem szabályos, akkor u+v+w0, és (4) az O-átmenő, a u+v+w vektorra merőleges egyenes pontjain teljesül. Ennek az egyenesnek ismerjük még egy pontját: a beírt kör középppontját, ami nem esik egybe O-val.
A keresett halmaz tehát:
- szabályos háromszög esetén a háromszög belseje;
- nem szabályos háromszög esetén a körülírt és a beírt kör középpontját összekötő egyenesnek a háromszög belsejébe eső szakasza.
Statisztika:
14 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Bodor Bertalan, Éles András, Frankl Nóra, Mester Márton, Nagy 648 Donát, Nagy Balázs, Popper Dávid, Somogyi Ákos, Strenner Péter, Szabó 928 Attila, Weisz Ágoston. 4 pontot kapott: Frittmann Júlia, Nagy 235 János. 0 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2010. januári matematika feladatai