Az A. 498. feladat (2010. január)

A. 498. Legyen p(x) egész együtthatós polinom, w pedig egységnyi abszolút értékű komplex szám. Igazoljuk, hogy ha a c=p(w) szám tisztán valós, akkor létezik olyan q(x) egész együtthatós polinom, amire ${c=q\left(w+\frac 1w\right)}$ .

(5 pont)

A beküldési határidő 2010. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha w= $\pm$ 1, akkor p(w) egész szám, és az állítás triviális. A továbbiakban feltételezzük, hogy w nem tisztán valós.

Lemma. Minden egyes k nemnegatív egészhez létezik olyan egész együtthatós u_k(x) polinom, amire

sin (k+1)t=u_k(2cos t)^.sin t.

Bizonyítás. A lemmát k szerinti indukcióval igazoljuk. A k=0 és k=1 esetekben a u₀(x)=1, illetve u₁(x)=x polinomok megfelelnek, mert sin t=1^.sin t és sin 2t=2cos t^.sin t. Ha az állítás (k-1)-re és (k-2)-re igaz, akkor az

u_k(x)=u_k-1(x)^.x-u_k-2(x)

polinom is teljesíti a feltételeket, mert szintén egész együtthatós, és

sin (k+1)t=2sin ktcos t-sin (k-1)t=2^.u_k-1(2cos t)sin t^.cos t-u_k-2(2cos t)sin t=

=(u_k-1(2cos t)^.2cos t-u_k-2(2cos t))sin t=u_k(2cos t)sin t.

Ezzel a lemmát igazoltuk.

Ha $\displaystyle p(x)=\sum_{k=0}^na_kx^n$ , akkor definiáljuk q-t a következőképpen: $\displaystyle q(x) = \sum_{k=0}^n a_k u_k(x)$ .

Ha w=cos t+isin t, ahol a feltételünk szerint $\sin t=\mathrm{Im}\;w\ne0$ , akkor

$q\left(w+\frac1w\right) = q(2\cos t) = \sum_{k=0}^n a_k u_k(2\cos t) = \sum_{k=0}^n a_k \frac{\sin(k+1)t}{\sin t} = \sum_{k=0}^n a_k \frac{\cos kt \sin t + \sin kt \cos t}{\sin t} =$

$= \sum_{k=0}^n a_k \left(\cos kt + \frac{\cos t}{\sin t} \sin kt \right) = \sum_{k=0}^n a_k \cos kt + \frac{\cos t}{\sin t} \sum_{k=0}^n a_k \sin kt = \mathrm{Re}\; p(w) + \frac{\cos t}{\sin t} \mathrm{Im}\; p(w) = p(w).$

Megjegyzés. A feladat kapcsolódik az CIIM 1 (Egyetemisták első Ibero-Amerikai Matematika Versenye) 6. feladatához. A fenti megoldás Pablo Soberon Bravo (Mexikó) versenydolgozata felhasználásával készült.

Statisztika:

7 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: Backhausz Tibor, Bodor Bertalan, Éles András, Nagy 235 János, Nagy 648 Donát, Strenner Péter, Szabó 928 Attila.

A KöMaL 2010. januári matematika feladatai

7 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Backhausz Tibor, Bodor Bertalan, Éles András, Nagy 235 János, Nagy 648 Donát, Strenner Péter, Szabó 928 Attila.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?