Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Az A. 568. feladat (2012. szeptember)

A. 568. Adott az ABC háromszög, és a beírt körének középpontján átmenő \ell egyenes. Jelölje A', B', illetve C' az A, a B, illetve a C pont \ell-re vonatkozó tükörképét. Legyen az A', B' és C' pontokon át \ell-lel húzott párhuzamosok metszéspontja a BC, CA és AB egyenesekkel rendre P, Q, illetve R. Bizonyítsuk be, hogy a P, Q, R pontok egy egyenesen vannak, és ez az egyenes érinti a beírt kört.

(5 pont)

A beküldési határidő 2012. október 10-én LEJÁRT.


Megoldásvázlat. Mivel az \ell egyenes átmegy a beírt kör középpontján, az A'B', B'C', C'A' egyenesek is érintik a beírt kört. Rajzoljuk meg a P ponton át a beírt kör másik, B'C'-től különböző érintőjét is; messe ez az érintő a CA és AB egyeneseket a Q*, illetve az R* pontban. Azt akarjuk megmutatni, hogy Q*=Q és R*=R.

Legyen I az \ell egyenes ideális pontja. Legyen U az \ell, a BC és a B'C' egyenesek közös pontja, V az \ell, a CA és a C'A' egyenesek közös pontja, és W az \ell, a AB és a A'B' egyenesek közös pontja. (Mivel az A',B',C' pontok az A,B,C pontok \ell-re vontakozó tükörképei, ezek a pontok valóban léteznek.)

Alkalmazzuk a Brianchon-tételt a A'VQ*PUB' hurkolt hatszögre, amelynek oldalegyenesei érintik a beírt kört. A tétel szerint a hatszög A'P, VU és Q*B' átlóegyenesei egy ponton mennek át. Mivel A'P és VU=\ell párhuzamos, a közös pont I, vagyis Q*B' is párhuzmos \ell-el. Ugyanakkor a az A'C' egyenesnek Q az a pontja, amire QB' párhuzmos \ell-el. Tehát Q*=Q.

Hasonlóan, a Brianchon-tételt az A'WR*PUC' érintőhatszögre alkalmazva láthatjuk, hogy R*C' is prhuzamos \ell-el, következésképpen R*=R.

Megjegyzés. Vannak olyan elfajuló esetek, amikor a megoldás nem mondható el ebben a formában; például ha valamelyik csúcs az \ell egyenesre esik, vagy valamelyik oldal merőleges \ell-re. Az ilyen eseteket külön meg kell vizsgálnunk, vagy pedig az általános eset határeseteiként kell előállítanunk.


Statisztika:

7 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Herczeg József, Ioan Laurentiu Ploscaru, Janzer Olivér, Nagy Róbert, Szabó 928 Attila.
2 pontot kapott:2 versenyző.

A KöMaL 2012. szeptemberi matematika feladatai