Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Az A. 574. feladat (2012. november)

A. 574. Legyen n\ge2, és legyen p(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0 valós együtthatós polinom.

Bizonyítsuk be, hogy ha valamilyen pozitív egész k-ra p(x) osztható a (x-1)k+1 polinommal, akkor


\sum_{\ell=0}^{n-1} |a_\ell| > 1+\frac{2k^2}{n}.

CIIM 2012 (Guanajuato, Mexikó)

(5 pont)

A beküldési határidő 2012. december 10-én LEJÁRT.


Megoldásvázlat. Definiáljuk an=1-et is.

Lemma. Tetszőleges, legfeljebb k-adfokú q(y) polinomra \sum\limits_{\ell=0}^n a_\ell \, q(\ell) = 0.

Bizonyítás. Legyen \varphi0(y)=1, és legyen \varphi_\nu(y)=y(y-1)\ldots(y-\nu+1) minden \nu=1,2,\ldots esetén. Mivel (x-1)k|p(x), minden 0\le\nu\lek-ra


    \sum_{\ell=0}^n a_\ell \, \varphi_\nu(\ell) = p^{(\nu)}(1) = 0,

ahol p^{(\nu)} a p polinom \nu-edik deriváltját jelenti. Minden, legfeljebb k-adfokú polinom előáll a \varphi_0(y),\ldots,\varphi_k(y) polinomok lineáris kombinációjaként, tehát q(y)=\sum\limits_{\nu=0}^k c_\nu \varphi_\nu(y) alkalmas c_0,\ldots,c_k valós számokkal. Ezért


    \sum_{\ell=0}^n a_\ell \, q(\ell)
    = \sum_{\ell=0}^n a_\ell \left(
      \sum_{\nu=0}^k c_\nu \, \varphi_\nu(\ell) \right)
    = \sum_{\nu=0}^k c_\nu \left(
      \sum_{\ell=0}^n a_\ell \, \varphi_\nu(\ell) \right)
    = 0.

A lemmát egy olyan q polimomra fogjuk alkalmazni, amelyre q(0),q(1),...,q(n-1) kicsi, és hozzájuk képest q(n) nagy. A q megkonstruálásához a Tk Csebisev-polinomot fogjuk használni, amire Tk(cos t)=cos (kt). A |Tk(x)| értéke a [-1,1] intervallumban mindenhol legfeljebb 1, de az 1 közelében már nagyon gyosan nő.

Legyen


  q(y) = T_k\left(\frac2{n-1}y-1\right).

Ekkor q(0),\ldots,q(n-1)\in T_k\big([-1,1]\big)=[-1,1].

Könnyen ellenőrizhető, hogy


T_k'(1) =
\lim_{x\to 1-0} \frac{1-T_k(x)}{1-x} =
\lim_{t\to 0} \frac{1-\cos (kt)}{1-\cos t} =
\lim_{t\to 0} \frac{2\sin^2(kt/2)}{2\sin^2(t/2)} =
\lim_{t\to 0} \left(k^2\bigg(\frac{\frac{\sin(kt/2)}{kt/2}}{\frac{\sin(t/2)}{t/2}}\bigg)^2\right) = k^2.

A Tk polinom főegyütthatója pozitív, és mind a k gyöke a (-1,1) intervallumban van, ezért a polinom az [1,\infty) intervallumban szigorúan konvex. Ebből következik hogy


q(n) = T_k\left(1+\frac2{n-1}\right) >
T_k(1) + T_k'(1)\frac2{n-1} =
1+\frac{2k^2}{n-1} > 1+\frac{2k^2}{n}.

Ezek után a Lemmát alkalmazva,


  \sum_{\ell=0}^{n-1} |a_\ell|
  \ge \sum_{\ell=0}^{n-1} a_\ell\big(-q(\ell)\big)
  = q(n) > 1+\frac{2k^2}{n}.


Statisztika:

3 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Ioan Laurentiu Ploscaru.
1 pontot kapott:2 versenyző.

A KöMaL 2012. novemberi matematika feladatai