Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Az A. 579. feladat (2013. január)

A. 579. A k1 kör belülről érinti a k kört, ami kívülről érinti a k2 kört. A k1 és k2 külső közös érintői u és v. Az u egyenes k1-et a P, k2-t a Q pontban érinti, a k kört pedig A-ban és B-ben metszi úgy, hogy a B metszéspont esik a PQ szakaszra. Hasonlóan, a v egyenes k1-et az R, k2-t az S pontban érinti, k-t pedig C-ban és D-ben metszi úgy, hogy a D pont esik az RS szakaszra, és k1 az A-t és C-t nem tartalmazó BD ívet érinti.

Mutassuk meg, hogy


\frac {AB\cdot AD} {AP\cdot AQ} = \frac {CB\cdot CD} {CR\cdot CS} .

(5 pont)

A beküldési határidő 2013. február 11-én LEJÁRT.


Megoldásvázlat. Legyen az ABD és CBD háromszögek beírt köreinek középpontja IA, illetve IC, továbbá legyen ugyanezekben a háromszögekben a BD oldalhoz hozzáírt körök középpontja JA, illetve IC.

Lemma. A PR szakasz átmegy az IA és IC pontokon, továbbá a QS egyenes átmegy a JA és JC pontokon.

A lemma első fele (a beírt körökre vonatkozó állítás) Sawayama-lemma néven ismert. Egy-egy bizonyítása megtalálható például az A. 505. feladat megoldásában vagy itt vagy itt. Az Olvasóra bízzuk annak végiggondolását, hogy a bizonyításokat hogyan lehet átírni hozzáírt körökre.

Jól ismert (és például az ABIA és AJAD háromszögek hasonlóságából könnyen igazolható), hogy

AB.AD=AIA.AJA,

és ugyanígy

CB.CD=CIC.CJC.

Az AIAP, AJAQ, CICR és CJCS háromszögek hasonlók, mert PR és QS párhuzamos. Ezért


\dfrac{AI_A}{AP} = \dfrac{AJ_A}{AQ} =\dfrac{CI_C}{CR} = \dfrac{CJ_C}{CS}.

Így


\dfrac{AB\cdot AD}{AP\cdot AQ} =
\dfrac{AI_A\cdot AJ_A}{AP\cdot AQ} =
\dfrac{AI_A}{AP}\cdot\dfrac{AJ_A}{AQ} =
\dfrac{CI_C}{CR}\cdot\dfrac{CJ_C}{CS} =
\dfrac{CI_C\cdot CJ_C}{CR\cdot CS} =
\dfrac{CB\cdot CD}{CR\cdot CS}.


Statisztika:

2 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Cyril Letrouit.
3 pontot kapott:1 versenyző.

A KöMaL 2013. januári matematika feladatai